DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6 Luna
Na prova ITA 2027 · 1ª fase: 46 acertos em 47 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | E | E | Seja \(c\) a distância do centro de cada elipse a um foco. Para uma elipse de excentricidade \(e\), temos \[ a=\frac{c}{e},\qquad b=a\sqrt{1-e^2}, \] em que \(a\) e \(b\) são os semieixos maior e menor. Como a área é proporcional a \(ab\)… |
| 2 | D | D | Adotemos \(A=(0,0)\), \(B=(10,0)\) e \(C=(10,10)\). Assim, a diagonal \(AC\) tem equação \(y=x\). Se \(E=(t,0)\), a reta \(r\), paralela a \(AC\) e passando por \(E\), tem equação \(y=x-t\). A distância entre essas retas paralelas é \(t/… |
| 3 | C | C | Seja \(C=(x,y)\). A área do triângulo é \[ \frac12\left|\det\begin{pmatrix}2&4\\x&y\end{pmatrix}\right| =|y-2x|. \] Como \(C\) pertence à circunferência de centro \((4,0)\) e raio \(2\), podemos escrever \[ x=4+2\cos t,\qquad y=2\sin t. … |
| 4 | A | A | **I. Verdadeira.** Como \(A^t=A^{-1}\) e \(B^t=B\), \[ A(I_n-BA)^t =A(I_n-A^tB^t) =A-AA^{-1}B =A-B. \] **II. Falsa.** Tome \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) e \(B=I_2\). As matrizes comutam e \(A^2=B^2=I_2\), mas \(A\ne B\) e \… |
| 5 | C | C | Seja \(A\) a pontuação do jogador A. Como ele lança até sair cara, \[ P(A=k)=\left(\frac12\right)^k,\qquad k\ge 1. \] Já a pontuação \(B\) tem distribuição binomial \(\operatorname{Bin}(3,1/2)\): \[ P(B=0,1,2,3)=\frac{1,3,3,1}{8}. \] **I… |
| 6 | C | C | O módulo da base de \(z\) é \[ \left|\frac34+\frac{\sqrt3}{4}i\right|=\frac{\sqrt3}{2}. \] Como \(|z|=\frac{81}{256}=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^8\), segue que \(m=8\). Para a base de \(w\), \[ \left|-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i… |
| 7 | B | B | A expressão está definida somente quando \(\cos x\ne 1\) e \(\tan(x/2)\) existe. Nesses casos, \[ \frac{\sen^2 x}{1-\cos x}=1+\cos x \quad\text{e}\quad (1+\cos x)\tan\left(\frac x2\right)=\sen x. \] Assim, a equação se reduz a \[ \sen x=1… |
| 8 | D | D | I. A afirmação é falsa: a função identidade, \(f(x)=x\), satisfaz \(f(x)=f(f(x))\), mas não é constante. II. A afirmação é verdadeira. Como \(f(f(x))=2x-7\), a composição \(f\circ f\) é bijetora. Isso implica que \(f\) é injetora: se \(f… |
| 9 | D | D | Sejam \(s_1<s_2<\cdots<s_9\) os elementos de \(S\). **I. Verdadeira.** Como há 9 elementos distintos entre 1 e 60, temos \(s_i\le 51+i\). Portanto, os quatro menores somam no máximo \[ s_1+s_2+s_3+s_4\le 52+53+54+55=214\le220. \] **II. … |
| 10 | E | E | Seja \(n\) o grau de \(p\), e \(a\neq 0\) seu coeficiente líder. Os graus de \(p(p(x))\) e \(p(x^3)\) são, respectivamente, \(n^2\) e \(3n\). Para que a diferença tenha grau \(8\), os termos de maior grau precisam se cancelar. Isso só po… |
| 11 | B | B | Sejam \(AB\) e \(CD\) as arestas opostas de comprimento \(2\). Escolhendo coordenadas, \[ A=(-1,0,0),\qquad B=(1,0,0). \] Como as quatro arestas restantes medem \(\sqrt3\), os pontos \(C\) e \(D\) são equidistantes de \(A\) e \(B\). Porta… |
| 12 | B | B | Para todo inteiro \(n\) não múltiplo de 5, \(p(n)\equiv 0\pmod 5\). Assim, ao reduzir \(p\) módulo 5, os resíduos \(1,2,3,4\) são raízes. Como o polinômio é mônico de grau 4, \[ p(x)\equiv (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-1\pmod 5. \] Logo, \(a,b… |
| 13 | A | A | A constante de Planck reduzida tem dimensão \([\hbar]=\mathrm{M\,L^2\,T^{-1}}\), a velocidade da luz \([c]=\mathrm{L\,T^{-1}}\) e o alcance \([r]=\mathrm{L}\). Assim, \[ \left[\frac{\hbar}{cr}\right] = \frac{\mathrm{M\,L^2\,T^{-1}}} {(\m… |
| 14 | D | D | Sejam \(N\) a força normal de contato entre as esferas e \(T\) a força de atrito nesse contato. Escolhemos \(T>0\) no sentido tangencial \((1/3,-2\sqrt2/3)\). A geometria dos centros dá, para a normal dirigida sobre a esfera menor, as com… |
| 15 | A | E | A velocidade horizontal inicial é \(36\ \text{km/h}=10\ \text{m/s}\). Assim, a bola chega ao rebatedor após \[ t=\frac{5}{10}=0{,}5\ \text{s}. \] Até esse instante, sua velocidade vertical inicial é zero e a gravidade a faz cair \( \tfrac… |
| 16 | B | B | Para o bloco, o atrito estático fornece a força centrípeta. O deslizamento começa quando essa força atinge o valor máximo: \[ m\omega^2R=\mu_e mg \quad\Rightarrow\quad \omega=\sqrt{\frac{\mu_e g}{R}} =\sqrt{\frac{0{,}40\cdot10}{2{,}0}} =… |
| 17 | C | C | Seja \(x\) a distância da nave ao centro da Terra ao longo da linha Terra–Lua. O ponto crítico que a nave precisa ultrapassar é aquele em que as atrações gravitacionais da Terra e da Lua se equilibram: \[ \frac{GM}{x^2}=\frac{G(M/81)}{(D… |
| 18 | A | A | No referencial que gira com o aro, a miçanga está em equilíbrio quando a componente tangencial da força efetiva é nula. Para um ângulo \(\theta\), sua distância ao eixo de rotação é \(R\sin\theta\), e sua altura em relação ao centro é \(-… |
| 19 | C | C | A energia necessária para congelar a água, por unidade de área, é \[ \frac{Q}{A}=\rho\,h\,L =(10\ \text{kg/m}^3)(0{,}01\ \text{m})(334\,000\ \text{J/kg}) =3{,}34\times10^6\ \text{J/m}^2. \] A potência irradiada por unidade de área a \(0… |
| 20 | D | D | A velocidade do som em cada camada é dada por \[ c_1=c_0\sqrt{\frac{T_1}{T_0}} \qquad\text{e}\qquad c_2=c_0\sqrt{\frac{T_2}{T_0}}. \] A distância direta entre a explosão e o engenheiro é \[ \sqrt{30^2+40^2}=50\ \text{m}. \] Assim, para o… |
| 21 | B | B | Como \(\varepsilon_r=\mu_r=-1\), o metamaterial tem índice de refração negativo, \(n=-1\). Assim, ao entrar na placa, cada raio oblíquo refrata em sentido oposto ao que refrataria em um meio de índice positivo. Seja \(x=0\) a face esquer… |
| 22 | B | B | A fase acumulada em uma ida e volta na cavidade é \[ \delta=\frac{4\pi nd}{\lambda_{\rm vácuo}}. \] No experimento (II), \(n=3/2\) e \(\lambda' = 3\lambda/4\). Portanto, \[ \delta_{\rm II} =\frac{4\pi(3/2)d}{(3/4)\lambda} = \frac{8\pi d}{… |
| 23 | A | A | Seja \(\theta\) o ângulo que cada barra faz com a vertical. Pela simetria, o ângulo entre as barras é \(2\theta\). No início, \(\theta=\beta/2\); no instante em que o ângulo entre elas atinge seu mínimo, \(\theta=\alpha\). Em ambos os ins… |
| 24 | C | C | Na fissão, a energia liberada corresponde ao aumento da energia de ligação total. Pelo gráfico, aproximadamente, \[ \left(\frac BA\right)_{A=90}\approx 8{,}6\ \text{MeV}, \qquad \left(\frac BA\right)_{A=180}\approx 8{,}0\ \text{MeV}. \] … |
| 25 | A | A | Como há X não solubilizado nas duas temperaturas, a fase aquosa está saturada em ambas. Sua massa é a soma da massa de água com a massa de X dissolvida. A 90 °C, dissolvem-se 200 g de X em 100 g de água. Assim, a densidade da fase aquosa… |
| 26 | C | anulada | Para o sal \(AX\), a dissolução é \(AX(s)\rightleftharpoons A^+ + X^-\). Como \(K_{ps}=[A^+][X^-]=s^2=10^{-2}\), a solubilidade é \(s=0{,}10\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\). Em \(1\ \mathrm L\) de solução, há \(0{,}10\) mol de sal dissolvido, cor… |
| 27 | C | C | Na estrutura 3, o enxofre está ligado a dois átomos de carbono no anel, caracterizando um **tioéter** (sulfeto), e não um **tiol** — que exigiria uma ligação S–H. As demais funções indicadas na alternativa C estão presentes, mas a afirmaç… |
| 28 | A | A | I. A glicose e o etanol não se ionizam significativamente em água, então X e Z têm condutividade elétrica desprezível. Já NaCl e CaCl₂ são eletrólitos fortes. Em concentrações iguais, o CaCl₂ gera três íons por fórmula, contra dois do NaC… |
| 29 | D | D | A hipótese **I é correta**: mantendo a temperatura constante, pode-se variar a concentração inicial de Q e analisar como a velocidade inicial ou a evolução de sua concentração depende dela, determinando a ordem da reação. A **II também é… |
| 30 | C | C | A dissolução do sal é descrita por \[ \mathrm{QX(s)\rightleftharpoons Q^{2+}(aq)+X^{2-}(aq)} \] e sua constante é \(K_{ps}=6\times10^{-18}\). As duas etapas de dissociação do ácido são \[ \mathrm{H_2X\rightleftharpoons H^+ + HX^-}\qua… |
| 31 | C | C | I é correta: as interações eletrostáticas em sólidos iônicos são não direcionais, favorecendo redes cristalinas; em geral, esses sólidos têm alta dureza e altos pontos de fusão. II é incorreta: no estado sólido, os íons estão presos em p… |
| 32 | B | B | Após \(2t\), a fração de J que decaiu é \[ 1-\left(\frac12\right)^2=\frac34. \] Como a meia-vida de L é \(t/3\), nesse intervalo decorrem seis meias-vidas. Portanto, a fração de L que decaiu é \[ 1-\left(\frac12\right)^6=\frac{63}{64}.… |
| 33 | E | E | I. **Incorreta.** O erlenmeyer é usado principalmente para misturar ou conduzir reações; não mede volumes com alta precisão. Para isso, usam-se vidrarias volumétricas, como pipetas e balões volumétricos. II. **Incorreta.** A bureta mede … |
| 34 | B | B | Isolando a pressão na equação de van der Waals, para \(n=T=1\), \[ P(V)=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}. \] Com \(a=10^6\) e \(b=4\times10^{-5}\), ao passar de \(V=1\) para \(V=2\ \mathrm{m^3}\), a parcela atrativa diminui de \(10^6\) para… |
| 35 | B | B | O volume da substância anfifílica corresponde a 1% do volume da gota: \[ V=0{,}01\times 0{,}05\ \text{mL}=5\times10^{-4}\ \text{cm}^3. \] A mancha tem raio de \(28\ \text{cm}\), então sua área é \[ A=\pi(28)^2=784\pi\ \text{cm}^2. \] … |
| 36 | C | C | A alternativa **C** é a errada. No tetracloreto de carbono, o carbono central forma quatro ligações e não possui pares de elétrons não ligantes; portanto, a geometria molecular é **tetraédrica**, não quadrada planar. A molécula é apolar p… |
| 37 | D | D | No texto, **upstream** diz respeito à etapa de desenvolvimento das tecnologias, na qual inclusão, segurança e proteção de dados devem ser consideradas desde o início. **Downstream** refere-se aos efeitos posteriores dos produtos e serviço… |
| 38 | B | B | A expressão **“without”** significa “sem”. No trecho, a falta de um entendimento compartilhado é apresentada como condição para que não seja surpreendente haver dúvidas sobre o impacto positivo da tecnologia. Pode-se reformular: “Se não h… |
| 39 | C | C | A expressão **“inherently values-driven”** significa que as tecnologias digitais podem ser **essencialmente orientadas por valores**. O trecho seguinte dá exemplos desses valores, como inclusão, segurança, proteção de dados e transparênci… |
| 40 | D | D | A expressão idiomática “barely puts a foot wrong” significa que alguém quase não comete erros. No contexto, o filme tem uma trama complexa, mas evita a maioria dos deslizes narrativos. Resposta: D |
| 41 | C | C | O texto descreve o ritmo do filme como “deliberadamente lânguido” e afirma que, aos poucos, uma paranoia inquietante se infiltra em tudo, até que “até a luz do sol parece errada”. Esses elementos indicam que o ritmo e as mudanças de tom i… |
| 42 | B | B | A frase significa: “Não fica claro, a princípio, por que eles estão perseguindo-o.” **Initially** equivale a “at first” (“a princípio”), portanto a paráfrase correta é a alternativa B. **Quite why** expressa a ideia de “exatamente por quê… |
| 43 | C | C | A expressão **“could hardly be better timed”** significa que a produção brasileira dificilmente poderia ter começado em um momento mais oportuno — isto é, o momento foi muito favorável. Isso corresponde à alternativa C: **“could scarcely … |
| 44 | D | D | No contexto, **coveted** significa “muito desejados” ou “cobiçados”. A tradução mais adequada é **cobiçados**. Resposta: D |
| 45 | A | A | O **present perfect** em **“has issued”** indica uma ação passada cujos efeitos ou relevância permanecem no presente. No contexto, o governo brasileiro lançou recentemente uma chamada para projetos, iniciativa que busca estimular o setor … |
| 46 | C | C | O parágrafo **B** deve ocupar a lacuna [I]: apresenta a origem de Silva e sua motivação patriótica, introduzindo a trajetória que o texto passa a narrar. Em seguida, o parágrafo já presente sobre sua entrada na Força Aérea é coerente com … |
| 47 | B | B | “Though” introduz uma relação concessiva: apesar de a empresa ter crescido, Silva percebeu que seu sucesso duradouro dependia de independência em relação aos ciclos políticos. “Much as” também pode expressar concessão com o sentido de “e… |
| 48 | C | C | A expressão **“their fate is sealed… as is mine”** significa que o destino deles está decidido — isto é, eles terão de ir à escola, assim como Wallace. A fala expressa uma resignação bem-humorada diante de algo que ele não pode evitar. R… |