COMPARE OS RACIOCÍNIOS

Questão 18

Gabarito oficial: A. ← 17 19 →

A questão

Respostas das IAs

GPT-6 Astra

Respondeu

levou 17 s

Como pensou

No referencial que gira com o aro, a miçanga está sujeita ao peso e à força centrífuga, além da reação normal do aro.

Medindo \theta a partir da vertical para baixo, sua altura em relação ao centro é -R\cos\theta, e sua distância ao eixo de rotação é R\sin\theta. Assim, o potencial efetivo é

U_{\mathrm{ef}}(\theta) =-mgR\cos\theta-\frac12m\Omega^2R^2\sin^2\theta.

As posições de equilíbrio satisfazem

\frac{dU_{\mathrm{ef}}}{d\theta} =mR\sin\theta\left(g-\Omega^2R\cos\theta\right)=0.

Para um equilíbrio fora do eixo vertical,

\cos\theta_0=\frac{g}{\Omega^2R}.

Como queremos \theta_0>0, é necessário que

\frac{g}{\Omega^2R}<1 \quad\Longrightarrow\quad \Omega>\sqrt{\frac gR}.

Para verificar a estabilidade, calculamos a segunda derivada nesse equilíbrio:

U_{\mathrm{ef}}''(\theta_0) =m\Omega^2R^2\sin^2\theta_0>0.

Logo, ele corresponde a um mínimo do potencial efetivo e é estável. O equilíbrio no topo do aro, por sua vez, é sempre instável.

No limite \Omega=\sqrt{g/R}, temos \theta_0=0, excluído pelo enunciado. Portanto, o maior intervalo procurado é

\boxed{\Omega\in\left(\sqrt{\frac gR},+\infty\right)}.

Resposta: A

No referencial que gira com o aro, a miçanga está sujeita ao peso e à força centrífuga. Sendo \theta medido a partir da vertical para baixo, sua distância ao eixo de rotação é R\sin\theta. Assim, o potencial efetivo é

U_{\mathrm{ef}}(\theta) =-mgR\cos\theta-\frac12m\Omega^2R^2\sin^2\theta.

As posições de equilíbrio satisfazem

\frac{dU_{\mathrm{ef}}}{d\theta} =mR\sin\theta\left(g-\Omega^2R\cos\theta\right)=0.

Além dos pontos inferior e superior — sendo o superior sempre instável —, há equilíbrio quando

\cos\theta_0=\frac{g}{\Omega^2R}.

Para que esse equilíbrio tenha \theta_0>0, precisamos de

\frac{g}{\Omega^2R}<1 \quad\Longrightarrow\quad \Omega>\sqrt{\frac gR}.

Verificando a estabilidade nessa posição:

U_{\mathrm{ef}}''(\theta_0) =m\Omega^2R^2\sin^2\theta_0>0,

portanto ela é um mínimo do potencial efetivo e o equilíbrio é estável.

Na igualdade \Omega=\sqrt{g/R}, temos \theta_0=0, que não atende ao enunciado. Logo, o maior intervalo é

\boxed{\Omega\in\left(\sqrt{\frac gR},+\infty\right)}.

Resposta: A

GPT-6 Luna

Respondeu

levou 7 s

Como pensou

No referencial que gira com o aro, a miçanga está em equilíbrio quando a componente tangencial da força efetiva é nula. Para um ângulo \theta, sua distância ao eixo de rotação é R\sin\theta, e sua altura em relação ao centro é -R\cos\theta. Assim, o potencial efetivo é

U(\theta)=-mgR\cos\theta-\frac12m\Omega^2R^2\sin^2\theta.

A condição de equilíbrio, dU/d\theta=0, resulta em

mR\sin\theta\bigl(g-\Omega^2R\cos\theta\bigr)=0.

Para um equilíbrio com \theta_0>0, deve valer

\cos\theta_0=\frac{g}{\Omega^2R}.

Esse ângulo existe quando \Omega^2R>g. Além disso, nesse ponto,

\frac{d^2U}{d\theta^2}=m\Omega^2R^2\sin^2\theta_0>0,

logo o equilíbrio é estável. Portanto, o intervalo é \Omega>\sqrt{g/R}.

Resposta: A

Claude Fable 5.1

Respondeu

levou 12 s

Como pensou

Clássico problema da miçanga no aro girante.

Equilíbrio no referencial girante

No referencial que gira com o aro, a miçanga está sujeita ao peso mg (para baixo), à força centrífuga m\Omega^2 r = m\Omega^2 R\sin\theta (horizontal, para fora do eixo) e à normal do aro (radial). Para equilíbrio, a componente tangencial deve se anular:

m\Omega^2 R\sin\theta\cos\theta - mg\sin\theta = 0

Soluções:

\sin\theta = 0 → \theta = 0 (ponto mais baixo) ou \theta = \pi;
\cos\theta_0 = \dfrac{g}{\Omega^2 R}, que só existe se \dfrac{g}{\Omega^2 R} < 1, ou seja, \Omega > \sqrt{g/R}.

Estabilidade

Usando a energia potencial efetiva no referencial girante:

U_{ef}(\theta) = -mgR\cos\theta - \tfrac{1}{2}m\Omega^2R^2\sin^2\theta

U_{ef}'' = mgR\cos\theta - m\Omega^2R^2\cos 2\theta

Em \theta=0: U'' = mR(g - \Omega^2 R) → estável só se \Omega < \sqrt{g/R}.
Em \theta_0 (com \cos\theta_0 = g/\Omega^2R):

U'' = m\Omega^2R^2\left(\cos^2\theta_0 - \cos2\theta_0\right) = m\Omega^2R^2\sin^2\theta_0 > 0

→ sempre estável quando existe.

Portanto, há equilíbrio estável em um ângulo \theta_0 > 0 exatamente quando \Omega > \sqrt{g/R}, isto é, \Omega \in \left]\sqrt{g/R},+\infty\right[ (bifurcação de forquilha: para \Omega > \sqrt{g/R} o ponto mais baixo torna-se instável e surgem dois pontos estáveis simétricos em \pm\theta_0).

Resposta: A

Claude Opus 5.5

Respondeu

levou 10 s

Como pensou

This is the classic bead-on-rotating-hoop problem, with equilibrium at cos θ0 = g/(Ω²R), existing only when Ω exceeds sqrt(g/R), and stable there. That points to answer A.

Resposta: A, ou seja, Ω > √(g/R).

Uso o referencial que gira junto com o aro. Nele atuam sobre a miçanga o peso, a normal e a força centrífuga.

Energia potencial efetiva. Com θ medido a partir da vertical inferior:

U(θ) = −mgR cos θ − ½ m Ω² R² sen²θ

Condição de equilíbrio. Derivando:

dU/dθ = mgR sen θ − mΩ²R² sen θ cos θ = mR sen θ (g − Ω²R cos θ) = 0

As soluções são:

θ = 0 (ou θ = π);
cos θ₀ = g/(Ω²R).

A segunda solução, com θ₀ > 0, só existe se g/(Ω²R) < 1, isto é, Ω > √(g/R).

Estabilidade. A segunda derivada é:

d²U/dθ² = mR [g cos θ − Ω²R cos 2θ]

Em cos θ₀ = g/(Ω²R), usando cos 2θ₀ = 2cos²θ₀ − 1:

d²U/dθ² = mR [Ω²R cos²θ₀ − Ω²R(2cos²θ₀ − 1)] = mΩ²R² (1 − cos²θ₀) = mΩ²R² sen²θ₀ > 0

Portanto, esse equilíbrio é sempre estável quando existe. Além disso, nessa faixa de Ω o ponto θ = 0 passa a ser instável.

Assim, há equilíbrio estável em θ₀ > 0 para todo Ω ∈ ]√(g/R), +∞[.

Resposta: A

Claude Sonnet 5.5

Respondeu

levou 5 s

Como pensou

Este é o problema clássico da conta num aro girante. No referencial do aro, a energia potencial efetiva, com θ medido a partir da posição mais baixa, é

U(θ) = −mgR cosθ − ½ m Ω² R² sen²θ

A condição de equilíbrio é

dU/dθ = mgR senθ − mΩ²R² senθ cosθ = 0,

ou seja, senθ (g − Ω²R cosθ) = 0.

Os equilíbrios são θ = 0 e cosθ₀ = g/(Ω²R). Este último só existe, com θ₀ > 0, se Ω²R > g, isto é, Ω > √(g/R).

Para verificar a estabilidade, calculamos a derivada segunda:

d²U/dθ² = mgR cosθ − mΩ²R² cos2θ.

Em cosθ₀ = g/(Ω²R):

mgR cosθ₀ = mg²/Ω²
cos2θ₀ = 2cos²θ₀ − 1 = 2g²/(Ω⁴R²) − 1

Então

d²U/dθ² = mg²/Ω² − mΩ²R²(2g²/(Ω⁴R²) − 1) = mg²/Ω² − 2mg²/Ω² + mΩ²R² = mΩ²R² − mg²/Ω² = (m/Ω²)(Ω⁴R² − g²).

Isso é positivo quando Ω²R > g, que é exatamente a condição de existência do equilíbrio. Logo, sempre que o equilíbrio com θ₀ > 0 existe, ele é estável.

O intervalo de Ω em que há sempre equilíbrio estável em θ₀ > 0 é, portanto, Ω > √(g/R).

Resposta: A

Grok 4.7

Respondeu

levou 1 min 41 s

Como pensou

The problem involves a rotating circular ring with angular velocity Ω and a bead sliding without friction on it. The task is to find the largest interval of Ω for which the bead maintains stable equilibrium at an angle θ₀ > 0°, as seen by an observer rotating with the ring. The wording means the largest interval of Ω for which a stable equilibrium at θ₀ > 0° always exists. The ring rotates about its vertical diameter, and in the rotating frame the bead is subject to centrifugal force. The angle θ₀ is measured from the downward vertical to the radius line connecting the center of the ring to the bead. The bottom of the ring is at θ = 0 and the top at θ = π. The center of the ring is at the origin with the vertical axis pointing upward, so the bead sits at z = ±R. The bead’s height is z = -R cosθ and its distance from the vertical axis is r = R sinθ. The effective potential is V_eff = -mgR cosθ − 1/2 mΩ²R² sin²θ. Setting its derivative to zero gives the equilibrium condition sinθ(g − Ω²R cosθ) = 0. The non-trivial equilibrium occurs at θ₀ = arccos(g/(Ω²R)), which lies between 0° and 90°. This requires Ω² ≥ g/R, so the minimum angular velocity is √(g/R). The second derivative of the potential is now being examined to determine stability. The second derivative of the potential is d²V/dθ² = m Ω² R² sin²θ₀. Since this is always positive whenever θ₀ ≠ 0°, the equilibrium at that angle is stable. The case where Ω² R = g corresponds to θ = 0°, which is the bottom of the ring. The second derivative at θ = 0° is m R (g − Ω² R). This means the bottom equilibrium is stable only when Ω² < g/R and unstable when Ω² > g/R. The top equilibrium at θ = π° is always unstable. Therefore, for Ω < √(g/R) the bead can only remain stably at the bottom. For Ω > √(g/R) it can also remain stably at the angle θ₀ = arccos(g/(Ω² R)). The interval is exactly Ω ∈ ]√(g/R), +∞[. This corresponds to option A, since for any Ω greater than √(g/R) the bead can remain stably at an angle θ₀ > 0°. The equilibrium angle θ₀ is always below the horizontal because cosθ₀ = g/(Ω²R) is positive. Even at very high angular velocities Ω, the bead cannot rise above the horizontal plane; it simply approaches that limit from below.

A análise é feita no referencial do aro (não inercial). Adotando o ângulo \theta a partir da vertical inferior (\theta=0 no ponto mais baixo), a energia potencial efetiva da miçanga é

V(\theta)=-mgR\cos\theta-\frac12 m\Omega^2 R^2\sin^2\theta.

Os pontos de equilíbrio satisfazem V'(\theta)=0, o que fornece

\sin\theta=0\qquad\text{ou}\qquad\cos\theta=\frac{g}{\Omega^2 R}.

A segunda solução só existe para \Omega>\sqrt{g/R} e corresponde a um ângulo \theta_0\in(0,\pi/2). O cálculo da derivada segunda mostra que

V''(\theta_0)=m\Omega^2 R^2\sin^2\theta_0>0,

logo esse equilíbrio é sempre estável. Para \Omega\le\sqrt{g/R} o único equilíbrio estável ocorre em \theta=0.

Consequentemente, existe equilíbrio estável com \theta_0>0 se e somente se \Omega\in\bigl]\sqrt{g/R},+\infty\bigr[. Esse é o maior intervalo com a propriedade pedida.

Resposta: A

DeepSeek V4.1 Flash

Respondeu

levou 8 s

Como pensou

A questão pede o maior intervalo de velocidade angular $\Omega$ em que há sempre equilíbrio estável da miçanga em um ângulo $\theta_0 > 0^\circ$, quando considerado um observador que gira junto com o aro. Vamos analisar as forças no referencial não inercial que gira com o aro. A miçanga de massa $m$ está sujeita à força peso $m\vec{g}$ e à força normal $\vec{N}$ do aro. No referencial que gira com velocidade angular $\Omega$, há uma força centrífuga $m\Omega^2 r$, onde $r = R \sin\theta$ é a distância ao eixo vertical. A miçanga pode deslizar sem atrito ao longo da circunferência. A força resultante tangencial ao aro deve ser nula para o equilíbrio. As forças que atuam na direção tangencial são: - Componente tangencial do peso: $mg \sin\theta$ (puxando para baixo, ou seja, para $\theta = 0$) - Componente tangencial da força centrífuga: $m\Omega^2 (R \sin\theta) \cos\theta$ (puxando para cima, ou seja, para $\theta = \pi/2$) Para o equilíbrio em $\theta_0 > 0$, devemos ter: $mg \sin\theta_0 = m\Omega^2 R \sin\theta_0 \cos\theta_0$ Como $\theta_0 > 0$, $\sin\theta_0 > 0$, podemos cancelar $\sin\theta_0$: $g = \Omega^2 R \cos\theta_0 \implies \cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R}$ Para que exista um ângulo $\theta_0 > 0$ de equilíbrio, precisamos que $\cos\theta_0 < 1$. Portanto, $\frac{g}{\Omega^2 R} < 1 \implies \Omega^2 > \frac{g}{R} \implies \Omega > \sqrt{\frac{g}{R}}$. Isso nos dá o intervalo de $\Omega$ para que o equilíbrio exista em $\theta_0 > 0$. Agora vamos analisar a estabilidade. A energia potencial efetiva no referencial girante é: $U_{ef}(\theta) = U_{grav} + U_{cf}$ $U_{grav} = -mg R \cos\theta$ (tomando o centro como referência, ou $mg$ vezes a altura) Vamos tomar $U=0$ no ponto mais baixo ($\theta=0$). Então $U_{grav}(\theta) = mgR(1 - \cos\theta)$. A energia potencial centrífuga é $U_{cf} = -\frac{1}{2} m \Omega^2 r^2 = -\frac{1}{2} m \Omega^2 R^2 \sin^2\theta$. Assim, $U_{ef}(\theta) = mgR(1 - \cos\theta) - \frac{1}{2} m \Omega^2 R^2 \sin^2\theta$. Para encontrar os pontos de equilíbrio, derivamos em relação a $\theta$ e igualamos a zero: $\frac{dU_{ef}}{d\theta} = mgR \sin\theta - m\Omega^2 R^2 \sin\theta \cos\theta = 0$ $mgR \sin\theta (1 - \frac{\Omega^2 R}{g} \cos\theta) = 0$ Os pontos de equilíbrio são $\sin\theta = 0 \implies \theta = 0$ ou $\theta = \pi$. E $\cos\theta = \frac{g}{\Omega^2 R}$, que tem solução se $\frac{g}{\Omega^2 R} \le 1$. Para analisar a estabilidade, calculamos a segunda derivada: $\frac{d^2U_{ef}}{d\theta^2} = mgR \cos\theta - m\Omega^2 R^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$ $= mgR \cos\theta - m\Omega^2 R^2 (2\cos^2\theta - 1)$ Vamos avaliar a estabilidade no ponto $\theta_0$ onde $\cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R}$. Substituindo na segunda derivada: $\frac{d^2U_{ef}}{d\theta^2} \Big|_{\theta_0} = mgR \left(\frac{g}{\Omega^2 R}\right) - m\Omega^2 R^2 \left(2\left(\frac{g}{\Omega^2 R}\right)^2 - 1\right)$ $= \frac{mg^2}{\Omega^2} - m\Omega^2 R^2 \left(\frac{2g^2}{\Omega^4 R^2} - 1\right)$ $= \frac{mg^2}{\Omega^2} - \frac{2mg^2}{\Omega^2} + m\Omega^2 R^2$ $= m\Omega^2 R^2 - \frac{mg^2}{\Omega^2}$ $= \frac{m}{\Omega^2} (\Omega^4 R^2 - g^2)$ Para que o equilíbrio seja estável, $\frac{d^2U_{ef}}{d\theta^2} > 0$. Como $\Omega > 0$, $m > 0$, temos: $\Omega^4 R^2 - g^2 > 0 \implies \Omega^4 R^2 > g^2 \implies \Omega^2 R > g \implies \Omega^2 > \frac{g}{R}$ Isso é exatamente a mesma condição para que exista o equilíbrio em $\theta_0 > 0$. Portanto, sempre que existe $\theta_0 > 0$, ele é estável. Assim, o intervalo de $\Omega$ para que haja equilíbrio estável em $\theta_0 > 0$ é $\Omega \in \left]\sqrt{\frac{g}{R}}, +\infty\right[$. Vamos checar as alternativas. A) $\Omega \in \left]\sqrt{g/R}, +\infty\right[$ B) $\Omega \in \left]\sqrt{2g/R}, +\infty\right[$ C) $\Omega \in \left]0, \sqrt{g/R}\right[$ D) $\Omega \in \left]0, \sqrt{2g/R}\right[$ E) $\Omega \in \left]0, +\infty\right[$ A alternativa correta é a A. Vamos revisar os passos. Forças: - Peso $mg$ vertical para baixo. - Força centrífuga $m\omega^2 r = m\omega^2 R \sin\theta$ horizontal para fora. O equilíbrio ocorre quando as componentes ao longo da tangente se anulam. Componente do peso ao longo da tangente (aumentando $\theta$): $-mg \sin\theta$ Componente da força centrífuga ao longo da tangente (aumentando $\theta$): $m\omega^2 R \sin\theta \cos\theta$ Soma: $-mg \sin\theta + m\omega^2 R \sin\theta \cos\theta = 0$ $mg \sin\theta = m\omega^2 R \sin\theta \cos\theta$ Para $\theta > 0$, $\sin\theta \neq 0$: $g = \omega^2 R \cos\theta \implies \cos\theta = \frac{g}{\omega^2 R}$ Como $\cos\theta < 1$ para $\theta > 0$, temos $\frac{g}{\omega^2 R} < 1 \implies \omega^2 > \frac{g}{R} \implies \omega > \sqrt{\frac{g}{R}}$. Energia potencial: $U(\theta) = mgR(1 - \cos\theta) - \frac{1}{2} m\omega^2 R^2 \sin^2\theta$ $U'(\theta) = mgR \sin\theta - m\omega^2 R^2 \sin\theta \cos\theta = 0$ (mesma equação de equilíbrio) $U''(\theta) = mgR \cos\theta - m\omega^2 R^2 (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$ No ponto de equilíbrio $\theta_0$, $\cos\theta_0 = \frac{g}{\omega^2 R}$. $U''(\theta_0) = m\omega^2 R^2 \left( \left(\frac{g}{\omega^2 R}\right)^2 - \left(\frac{g}{\omega^2 R}\right)^2 + \sin^2\theta_0 \right) = m\omega^2 R^2 \sin^2\theta_0 > 0$. Portanto, é sempre estável se existir. A condição é $\omega > \sqrt{g/R}$. A alternativa A é $\left]\sqrt{g/R}, +\infty\right[$. A resposta é A.

Para resolver a questão, vamos analisar as forças que atuam na miçanga no referencial que gira junto com o aro (referencial não inercial).

1. Forças atuantes:

Força peso: m\vec{g}, vertical para baixo.
Força centrífuga: m\Omega^2 r, horizontal para fora do eixo de rotação, onde r = R\sin\theta é a distância da miçanga ao eixo vertical.

2. Condição de equilíbrio:
No equilíbrio, a força resultante tangencial ao aro deve ser nula.

Componente tangencial do peso: -mg\sin\theta (tende a puxar a miçanga para baixo, diminuindo \theta).
Componente tangencial da força centrífuga: m\Omega^2(R\sin\theta)\cos\theta (tende a empurrar a miçanga para cima, aumentando \theta).

Igualando as componentes tangenciais:

mg\sin\theta_0 = m\Omega^2 R\sin\theta_0\cos\theta_0

Para \theta_0 > 0, temos \sin\theta_0 \neq 0. Assim, podemos cancelar \sin\theta_0:

g = \Omega^2 R\cos\theta_0 \implies \cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R}

3. Existência e estabilidade do equilíbrio:
Como \theta_0 > 0^\circ, sabemos que \cos\theta_0 < 1. Portanto:

\frac{g}{\Omega^2 R} < 1 \implies \Omega^2 > \frac{g}{R} \implies \Omega > \sqrt{\frac{g}{R}}

Para verificar a estabilidade, analisamos a energia potencial efetiva U(\theta) no referencial girante:

U(\theta) = mgR(1 - \cos\theta) - \frac{1}{2}m\Omega^2 R^2\sin^2\theta

Derivando em relação a \theta para encontrar os pontos críticos:

U'(\theta) = mgR\sin\theta - m\Omega^2 R^2\sin\theta\cos\theta = 0

O que nos leva à mesma condição de equilíbrio \cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R}.

Derivando novamente para analisar a estabilidade:

U''(\theta) = mgR\cos\theta - m\Omega^2 R^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)

Substituindo o ponto de equilíbrio \cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R} na segunda derivada, obtemos:

U''(\theta_0) = m\Omega^2 R^2\sin^2\theta_0

Como \sin^2\theta_0 > 0 para \theta_0 > 0, temos U''(\theta_0) > 0, o que garante que o equilíbrio é sempre estável quando existe.

Portanto, há equilíbrio estável para \theta_0 > 0 no intervalo:

\Omega \in \left]\sqrt{\frac{g}{R}}, +\infty\right[

Resposta: A

Gemini 3.8 Flash

Respondeu

levou 21 s

Como pensou

**Exploring Bead-On-Ring Dynamics** I'm currently analyzing the motion of a bead sliding on a rotating hoop. The focus is on understanding the forces at play and deriving the equations of motion. I've begun by setting up a coordinate system and considering the constraints imposed by the hoop's rotation. **Investigating Stable Equilibria** I'm now examining the stability of equilibrium points for the bead on the rotating hoop. Specifically, I'm looking for the range of angular velocities where stable equilibrium exists at a non-zero angle. The provided options relate to thresholds involving $g/R$ and $2g/R$. **Deriving Effective Potential** I'm now focusing on the effective potential in the rotating frame, incorporating both gravitational and centrifugal forces. I've established the bead's coordinates relative to the hoop and defined the potential energy terms. My current task is to differentiate this effective potential to find the equilibrium points. **Finding Equilibrium Conditions** I've successfully set the derivative of the effective potential to zero and identified equilibrium points. Specifically, I've determined that stable, non-trivial equilibria exist when $\Omega^2 > g/R$, indicating the threshold for new equilibrium positions to emerge. **Analyzing Equilibrium Stability** I'm now calculating the second derivative of the effective potential at the derived equilibrium points. My goal is to evaluate this second derivative to confirm stability for the $\theta_0$ equilibrium and explore the conditions under which it remains stable. **Confirming Stability Threshold** I've confirmed that the equilibrium point at $\theta_0 > 0$ is always stable whenever it exists. This occurs for all angular velocities $\Omega > \sqrt{g/R}$. This range aligns with the question's request for the largest interval of stable, non-trivial equilibrium. **Verifying Solution Range** My analysis confirms that the stable, non-trivial equilibrium for the bead on the rotating hoop exists for all angular velocities $\Omega > \sqrt{g/R}$. This outcome aligns perfectly with Alternative A, suggesting a complete verification of the problem's conditions.

Para determinar o intervalo de velocidade angular \Omega em que existe equilíbrio estável em um ângulo \theta_0 > 0^\circ, analisamos a dinâmica da miçanga a partir do referencial que gira junto com o aro.

1. Energia Potencial Efetiva

Tomando a origem no centro do aro de raio R e medindo o ângulo \theta a partir da linha vertical inferior, a posição vertical z e a distância r ao eixo de rotação são dadas por:

z = -R\cos\theta

r = R\sin\theta

No referencial não inercial girante, a energia potencial efetiva U_{\text{eff}}(\theta) inclui a energia potencial gravitacional e o potencial associado à força centrífuga fictícia:

U_{\text{eff}}(\theta) = U_{\text{grav}} + U_{\text{centrífuga}}

U_{\text{eff}}(\theta) = -mgR\cos\theta - \frac{1}{2}m\Omega^2 r^2 = -mgR\cos\theta - \frac{1}{2}m\Omega^2 R^2 \sin^2\theta

2. Condição de Equilíbrio

Os pontos de equilíbrio ocorrem onde a primeira derivada da energia potencial efetiva em relação a \theta é nula:

\frac{dU_{\text{eff}}}{d\theta} = mgR\sin\theta - m\Omega^2 R^2\sin\theta\cos\theta = mgR\sin\theta \left(1 - \frac{\Omega^2 R}{g}\cos\theta\right) = 0

Para encontrar um ângulo de equilíbrio \theta_0 > 0^\circ (logo, \sin\theta_0 \neq 0), devemos ter:

1 - \frac{\Omega^2 R}{g}\cos\theta_0 = 0 \implies \cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R}

Como a função cosseno satisfaz \cos\theta_0 < 1 para \theta_0 > 0^\circ, a existência dessa solução exige que:

\frac{g}{\Omega^2 R} < 1 \implies \Omega^2 > \frac{g}{R} \implies \Omega > \sqrt{\frac{g}{R}}

3. Estabilidade do Equilíbrio

Para verificar a estabilidade, calculamos a segunda derivada de U_{\text{eff}}(\theta):

\frac{d^2 U_{\text{eff}}}{d\theta^2} = mgR\cos\theta - m\Omega^2 R^2\cos(2\theta)

Utilizando a identidade \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1:

\frac{d^2 U_{\text{eff}}}{d\theta^2} = mgR\cos\theta - m\Omega^2 R^2(2\cos^2\theta - 1)

Substituindo \cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R}:

\frac{d^2 U_{\text{eff}}}{d\theta^2}\Bigg|_{\theta_0} = mgR\left(\frac{g}{\Omega^2 R}\right) - m\Omega^2 R^2\left(\frac{2g^2}{\Omega^4 R^2} - 1\right)

\frac{d^2 U_{\text{eff}}}{d\theta^2}\Bigg|_{\theta_0} = \frac{mg^2}{\Omega^2} - \frac{2mg^2}{\Omega^2} + m\Omega^2 R^2 = m\Omega^2 R^2 - \frac{mg^2}{\Omega^2} = m\Omega^2 R^2\left(1 - \frac{g^2}{\Omega^4 R^2}\right)

\frac{d^2 U_{\text{eff}}}{d\theta^2}\Bigg|_{\theta_0} = m\Omega^2 R^2 (1 - \cos^2\theta_0) = m\Omega^2 R^2 \sin^2\theta_0

Como \theta_0 > 0^\circ, temos \sin^2\theta_0 > 0, o que garante que:

\frac{d^2 U_{\text{eff}}}{d\theta^2}\Bigg|_{\theta_0} > 0

Portanto, o equilíbrio em \theta_0 é sempre estável para qualquer valor de \Omega no qual ele existe.

Assim, o intervalo de velocidades angulares é:

\Omega \in \left]\sqrt{g/R}, +\infty\right[

Resposta: A