Questão 23

I'm setting up the geometry: two charged spheres on rods from a common pivot, swinging under gravity and the downward electric force, with the half-angle θ determining height drop and separation. I'm working toward energy conservation between the initial release angle β and the minimum angle 2α, using the Coulomb repulsion potential energy between the spheres as they swing closer together. Equating total energy at θ=β/2 and θ=α and solving for E, I get E = (kQ/4ℓ²)[1/sinα − 1/sin(β/2)]/[cosα − cos(β/2)] − mg/Q, which matches option A, and checking signs confirms this is positive and consistent since α is less than β/2.

I'm applying energy conservation: each sphere feels effective downward force mg+QE, with height depending on ℓcosθ as the half-angle changes from β/2 to α. The separation between spheres is r=2ℓsinθ, which feeds into the Coulomb potential energy term. Setting initial and final energies equal, I solve for mg+QE in terms of the given angles, then isolate E by subtracting mg/Q, giving the expression in answer choice A.

I'm setting up the physics: two charged spheres on rods of length ℓ pivoting together, separated initially by angle β, under gravity mg and electric force QE both pulling downward, with Coulomb repulsion pushing them apart at separation distance 2ℓ sin(θ/2). Since the spheres swing inward to a smaller angle 2α, I need to use energy conservation to relate the initial and minimum configurations. Using half-angle φ with the Coulomb and gravitational-plus-electric potential energies, I set U at α equal to U at β/2, which checks out since cosα > cos(β/2) makes both sides positive as expected for the spheres moving inward. Solving for mg+QE gives me the field strength E in terms of kQ, ℓ, α, and β/2, matching the form of answer A, and I confirm this minimum angle configuration is consistent with the dynamics.

The problem is in Portuguese from ITA 2027. Two identical charged spheres are suspended by thin insulating rods in a uniform downward electric field. They are released from a symmetric initial angle. The goal is to find the electric field E so that the minimum angle between the rods equals 2α. The system behaves like two pendulums connected at a pivot, with gravity, the downward electric field, and Coulomb repulsion all acting. The downward electric field adds to gravity, so the effective weight is mg + QE. The equilibrium angle depends on this combined downward force. The symmetric motion means each rod makes angle θ with the vertical, so the angle between them is 2θ. The initial configuration places each rod at β/2 from the vertical, and the minimum occurs when each rod reaches α. Because the forces are conservative, energy conservation can be used to relate these angles. At the minimum angle, the angular velocity is zero. Energy conservation between the initial and final states is valid because the motion oscillates between two turning points. The effective potential must allow this symmetric swing. The next step is to write the potential energy as a function of θ and set it equal at the initial angle β/2 and the minimum angle α. Because both states have zero velocity, the change in potential energy must be zero. The pivot is set at the origin with y positive upward. The height of each sphere is y = -ℓ cos θ, where θ is measured from the downward vertical. The electric potential energy for each sphere is U_elec = -Q E ℓ cos θ. The total potential energy is therefore U = -m g ℓ cos θ − Q E ℓ cos θ. The total potential energy is now fully written as a function of θ. It combines the effective gravitational and electric potential for both spheres with the Coulomb repulsion between them. The distance between the spheres is 2ℓ sinθ, so the repulsive term is kQ²/(2ℓ sinθ). The final expression is U(θ) = −2(mg+QE)ℓ cosθ + kQ²/(2ℓ sinθ). The energy conservation equation is now written out explicitly. The difference between the potential energies at the minimum angle α and the initial angle β/2 equals zero. This yields an equation that can be solved for E. The energy conservation equation is now fully rearranged into a single expression. Because α is smaller than β/2, the cosine term is negative while the inverse sine term is positive. The signs are consistent. The left side is negative because cos(β/2) exceeds cosα. The right side is also negative since 1/sin(β/2) exceeds 1/sinα. The equation can be rewritten with the cosine term on the left and the inverse sine term on the right. The algebraic manipulation is complete. The electric field E is now isolated in terms of the given parameters and angles. The expression is E = (k Q)/(4 ℓ²) · { [1/sinα − 1/sin(β/2)] / [cosα − cos(β/2)] } − (m g)/Q. This result will be compared with the provided options. The derived expression for E matches option A exactly. The user is now questioning whether a mistake was made, since the resulting field could be positive or negative depending on the angles. The user is now questioning whether the derived energy equation necessarily guarantees that the angle θ will oscillate between α and β/2. They are asking whether the potential energy curve actually forces this symmetric motion, or if the equality at the turning points alone is sufficient. The user is now questioning whether the energy equality alone guarantees that the angle will oscillate between α and β/2. They worry that a potential maximum between these points could block the motion, but then note that for this system the effective potential typically has only one minimum. The effective potential has a single minimum, so the two turning points lie on either side of it and the oscillation is physically valid. The derived expression matches option A exactly. Because the electric field is downward, a positive E would strengthen the downward force and pull the spheres closer together, which aligns with the observed inward motion. The user notes that options D and E use a plus sign in the numerator, which would be a common mistake from misreading the potential difference. They also verify that the Coulomb energy change is positive, since 1/sinα exceeds 1/sin(β/2). The user is now examining the limit where α approaches β/2. If the minimum angle equals the initial angle, the spheres would remain at rest. This means the effective potential must have a zero derivative at that point, which sets a specific value for E rather than allowing it to diverge. The energy equality at the turning points is trivially satisfied when α equals β/2, so it does not constrain E in that limit. The equilibrium condition dU/dθ = 0 was also derived, but it applies to static balance rather than the oscillatory motion. The equilibrium angle must be smaller than the initial angle β/2 for the spheres to swing inward. The ratio in the expression grows rapidly as α decreases because 1/sinα increases faster than cosα − cos(β/2). Therefore a larger electric field is required to achieve a smaller minimum angle α.

Precisamos resolver a questão de múltipla escolha. Vamos entender. Temos duas pequenas esferas metálicas puntiformes idênticas, cada uma massa m e carga positiva Q, presas às extremidades de duas barras isolantes finas de mesmo comprimento ℓ e massas desprezíveis, fixadas em um mesmo ponto. As esferas podem mover-se em um mesmo plano vertical fixo. O sistema é colocado em uma região onde atua campo elétrico uniforme vertical E = -E ŷ, como mostra a figura (apontando para baixo). Inicialmente, as esferas são mantidas em repouso em configuração simétrica tal que o ângulo entre os fios é β. Em seguida, são liberadas. Despreze resistência do ar e assinale alternativa que corresponde à expressão do campo elétrico E para que, durante o movimento, o ângulo entre os fios atinja um valor mínimo igual a 2α. Temos duas cargas positivas Q, massas m, suspensas por fios de comprimento ℓ, presas no mesmo ponto. Campo elétrico vertical para baixo E (módulo E). As cargas positivas sofrem força elétrica qE = QE para baixo (já que E = -E ŷ e carga positiva: F = Q E = -Q E ŷ, para baixo). Então tanto gravidade quanto força elétrica apontam para baixo, então podemos definir uma aceleração efetiva g' = g + QE/m (para baixo). Mas as cargas também interagem entre si: repulsão coulombiana. Precisamos analisar movimento. O sistema é um pêndulo duplo? Na verdade são dois pêndulos simples independentes, mas acoplados pela repulsão elétrica. Como as esferas têm mesma massa e carga, e simetria, o movimento é simétrico em relação à vertical. O ângulo entre os fios é 2θ, onde θ é o ângulo de cada fio com a vertical. Inicialmente ângulo entre fios = β, então cada fio faz ângulo β/2 com a vertical. Liberadas do repouso. Elas vão se mover? A repulsão elétrica e a gravidade/força elétrica vertical. Vamos ver: Se estão inicialmente em repouso, a soma dos torques em cada esfera deve ser zero? Mas o problema diz "Inicialmente, as esferas são mantidas em repouso em uma configuração simétrica tal que o ângulo entre os fios é β. Em seguida, elas são liberadas." Isso significa que nessa configuração inicial não necessariamente é equilíbrio; elas são mantidas e depois liberadas. Então vão oscilar. O ângulo mínimo entre os fios durante o movimento será 2α. Provavelmente o movimento é oscilatório, e o ângulo mínimo ocorre quando elas chegam à distância mínima? Mas como são liberadas do repouso, a energia mecânica se conserva. A energia potencial efetiva (gravitacional + elétrica + força elétrica) e energia cinética. O ângulo mínimo durante o movimento? Inicialmente têm velocidade zero, então é um ponto de retorno (máximo ou mínimo?). Como são liberadas em β, se β não é equilíbrio, elas vão se mover. A força repulsiva elétrica tende a aumentar o ângulo, enquanto a gravidade/força elétrica vertical tende a diminuir? Vamos analisar. Para uma esfera, as forças: peso mg para baixo, força elétrica QE para baixo (total mg + QE = m g_eff para baixo). Tensão T no fio. Força de repulsão coulombiana entre as cargas: F_C = k Q^2 / d^2, onde d é a distância entre as esferas = 2 ℓ sen θ (com θ = ângulo do fio com vertical; metade do ângulo entre fios). A repulsão é horizontal, afastando as esferas. A componente vertical? Não, repulsão é ao longo da linha que une as esferas, que é horizontal (já que simétrico). Então F_C horizontal. Torque em relação ao ponto de suspensão: A força gravitacional efetiva (mg + QE) vertical para baixo, distância horizontal ℓ sen θ, torque restaurador: τ_g = - (mg + QE) ℓ sen θ (tendendo a diminuir θ). A força elétrica repulsiva horizontal F_C, atua na esfera afastando, distância vertical ℓ cos θ do ponto de suspensão, então torque τ_C = + F_C ℓ cos θ (tendendo a aumentar θ). A equação de movimento: I θ'' = τ_total = ℓ [ F_C cos θ - (mg + QE) sen θ ]? Cuidado: para uma partícula de massa m presa a uma haste/fio de massa desprezível, o momento de inércia I = m ℓ^2. A equação: m ℓ^2 θ'' = ℓ F_C cos θ - ℓ (mg + QE) sen θ? Sim, torque = r × F. Para θ positivo (lado direito), a repulsão horizontal para direita? Vamos definir θ como ângulo do fio com a vertical, positivo para a direita. Para a esfera da direita, a repulsão aponta para a direita (afastando), então torque em relação ao pivô: r = ℓ (sen θ, -cos θ)? A força F_C = (F_C, 0) horizontal para direita; torque = r_x F_y - r_y F_x = (ℓ sen θ)*0 - (-ℓ cos θ)*(F_C) = ℓ F_C cos θ. Positivo (anti-horário? Para a direita, θ aumentando? Se θ positivo para direita, aumentar θ significa girar no sentido horário? Vamos definir θ como ângulo com a vertical, e a posição x = ℓ sen θ, y = -ℓ cos θ. A velocidade angular θ' positiva corresponde a aumento de θ. O torque da força horizontal para direita: τ = x F_y - y F_x = (ℓ sen θ)*0 - (-ℓ cos θ) F_C = ℓ F_C cos θ. Positivo, então tende a aumentar θ. O torque do peso efetivo para baixo: F = (0, -m g_eff). τ = x F_y - y F_x = (ℓ sen θ)(-m g_eff) - (-ℓ cos θ)*0 = - m g_eff ℓ sen θ. Negativo, tende a diminuir θ. Então equação: m ℓ^2 θ'' = ℓ [ F_C cos θ - m g_eff sen θ ]. Dividindo por m ℓ^2: θ'' = (1/(m ℓ)) [ F_C cos θ - m g_eff sen θ ] = (F_C cos θ)/(m ℓ) - (g + QE/m) sen θ / ℓ? Wait: g_eff = g + QE/m. Então θ'' = (F_C cos θ)/(m ℓ) - (g + QE/m) sen θ / ℓ? Unidades: F_C/(m ℓ) tem dimensão aceleração/comprimento? F_C = N = kg m/s^2, dividido por kg m = 1/s^2, sim. E g_eff sen θ / ℓ? g_eff tem m/s^2, dividido por ℓ m dá 1/s^2. Ok. F_C = k Q^2 / d^2 = k Q^2 / (2 ℓ sen θ)^2 = k Q^2 / (4 ℓ^2 sen^2 θ). Então F_C cos θ = k Q^2 cos θ / (4 ℓ^2 sen^2 θ). Então: θ'' = [ k Q^2 cos θ / (4 ℓ^2 sen^2 θ) - m (g + QE/m) sen θ ] / (m ℓ?) Wait, dividimos por m ℓ^2? Vamos refazer: Equação: m ℓ^2 θ'' = ℓ F_C cos θ - ℓ m g_eff sen θ. Divide por m ℓ^2: θ'' = (F_C cos θ)/(m ℓ) - (g_eff sen θ)/ℓ. F_C cos θ = (k Q^2 cos θ)/(4 ℓ^2 sen^2 θ). Então: θ'' = (k Q^2 cos θ)/(4 m ℓ^3 sen^2 θ) - (g_eff sen θ)/ℓ. Mas g_eff = g + QE/m. Então: θ'' = (k Q^2 cos θ)/(4 m ℓ^3 sen^2 θ) - (g + QE/m) sen θ / ℓ. Isso é uma equação diferencial não linear. Queremos condições para que o ângulo mínimo entre os fios durante o movimento seja 2α. Como inicialmente liberado do repouso em θ_i = β/2. O movimento é oscilatório? O ângulo θ varia entre um mínimo θ_min = α (já que ângulo entre fios mínimo 2α => θ_min = α) e um máximo θ_max = β/2 (se partir do repouso e não houver mais energia? Mas pode ser que a configuração inicial β/2 seja o máximo, e o mínimo seja α). Na verdade, se liberado do repouso, a energia total é constante. O movimento pode ser periódico entre θ_min e θ_max. Dado que a força repulsiva tende a aumentar θ, e a gravidade efetiva tende a diminuir θ. Dependendo do campo E, o equilíbrio pode ser em algum θ. Se E for grande o suficiente, a força vertical efetiva para baixo é grande, então o equilíbrio é com θ pequeno. Inicialmente em β/2, se β/2 > equilíbrio, a esfera cai (θ diminui) até que a repulsão a pare, e então volta. O mínimo seria simétrico? Mas o problema afirma que o ângulo mínimo atinge 2α, então α < β/2. Precisamos encontrar E tal que a amplitude de oscilação seja de β/2 até α. Usamos conservação de energia. A energia potencial total do sistema (duas esferas) em função de θ: energia potencial gravitacional + energia potencial elétrica + energia potencial da força elétrica externa? A força elétrica externa é conservativa com potencial U_E = Q * V, onde V = E y? Campo E = -E ŷ, então potencial elétrico φ = E y + const (pois E = -∇φ = -∂φ/∂y ŷ => ∂φ/∂y = E => φ = E y + C). Carga Q positiva, então U_E = Q φ = Q E y + const. y = -ℓ cos θ. Então U_E = - Q E ℓ cos θ. Gravidade: U_g = m g y = - m g ℓ cos θ. Juntas: U_vert = - (m g + Q E) ℓ cos θ (por esfera). Duas esferas: -2 (mg + QE) ℓ cos θ. Energia potencial elétrica de interação entre as cargas: U_C = k Q^2 / d = k Q^2 / (2 ℓ sen θ). Energia cinética: cada esfera tem (1/2) m (ℓ θ')^2 = (1/2) m ℓ^2 θ'^2. Duas: m ℓ^2 θ'^2. Conservação: E_total = m ℓ^2 θ'^2 + U_total(θ) = constante. U_total(θ) = -2 (mg + QE) ℓ cos θ + k Q^2 / (2 ℓ sen θ). No ponto de retorno, θ' = 0. Inicialmente em θ_i = β/2, velocidade zero. No mínimo θ_f = α, velocidade zero? O ângulo mínimo ocorre quando a velocidade angular é zero (ponto de retorno). Então a energia potencial em θ_i e θ_f deve ser igual: U_total(β/2) = U_total(α). Assim: -2 (mg + QE) ℓ cos(β/2) + k Q^2 / (2 ℓ sen(β/2)) = -2 (mg + QE) ℓ cos α + k Q^2 / (2 ℓ sen α). Rearranjando: 2 (mg + QE) ℓ [ cos α - cos(β/2) ] = k Q^2 / (2 ℓ) [ 1/sen α - 1/sen(β/2) ]? Vamos ver sinais. Levar termos: -2 (mg + QE) ℓ cos(β/2) + k Q^2/(2ℓ sen(β/2)) = -2 (mg + QE) ℓ cos α + k Q^2/(2ℓ sen α) => 2 (mg + QE) ℓ [ cos α - cos(β/2) ] = k Q^2/(2ℓ) [ 1/sen α - 1/sen(β/2) ]? Wait, mover termos: 2 (mg + QE) ℓ cos α - 2 (mg + QE) ℓ cos(β/2) = k Q^2/(2ℓ sen α) - k Q^2/(2ℓ sen(β/2)) => 2 (mg + QE) ℓ (cos α - cos(β/2)) = (k Q^2/(2ℓ)) (1/sen α - 1/sen(β/2)). Sim. Então: 2 (mg + QE) ℓ = [ k Q^2/(2ℓ) (1/sen α - 1/sen(β/2)) ] / (cos α - cos(β/2)). => mg + QE = [ k Q^2/(2ℓ) (1/sen α - 1/sen(β/2)) ] / [ 2 ℓ (cos α - cos(β/2)) ] = k Q^2 / (4 ℓ^2) * [ 1/sen α - 1/sen(β/2) ] / [ cos α - cos(β/2) ]. Então: mg + QE = (k Q^2)/(4 ℓ^2) * [ 1/sen α - 1/sen(β/2) ] / [ cos α - cos(β/2) ]. Resolvendo para E: QE = (k Q^2)/(4 ℓ^2) * [ 1/sen α - 1/sen(β/2) ] / [ cos α - cos(β/2) ] - mg. E = (k Q)/(4 ℓ^2) * [ 1/sen α - 1/sen(β/2) ] / [ cos α - cos(β/2) ] - mg/Q. Isso corresponde a alguma alternativa? Vejamos: A) kQ/(4ℓ²) [ (1/sen α - 1/sen(β/2)) / (cos α - cos(β/2)) ] - mg/Q. B) mesmo com + mg/Q. C) kQ/(4ℓ²) [ (1/sen α - 1/sen(β/2)) / (cos(β/2) - cos α) ] - mg/Q. (denominador invertido) D) kQ/(4ℓ²) [ (1/sen α - 1/sen(β/2)) / (cos(β/2) - cos α) ] + mg/Q. E) kQ/(4ℓ²) [ (1/sen α + 1/sen(β/2)) / (cos(β/2) - cos α) ] + mg/Q. Nossa expressão tem denominador (cos α - cos(β/2)). Mas note que β > 2α? O ângulo mínimo 2α < β? Provavelmente α < β/2, então sen α < sen(β/2), então 1/sen α - 1/sen(β/2) > 0. E cos α > cos(β/2) (pois α < β/2 e cosseno decrescente no primeiro quadrante). Então cos α - cos(β/2) > 0. Então numerador e denominador positivos, então o termo é positivo. E a expressão tem - mg/Q. A alternativa A parece exatamente a nossa, mas com sinal? Vamos comparar: A: kQ/(4ℓ²) * [1/sen α - 1/sen(β/2)] / [cos α - cos(β/2)] - mg/Q. Sim! É a alternativa A. Mas vamos verificar se há alguma pegadinha. O campo elétrico E na figura aponta para baixo, então a força elétrica sobre cargas positivas é para baixo, aumentando a força vertical efetiva. Nossa equação de energia considerou U_E = - Q E ℓ cos θ? Vamos checar o sinal. Se E aponta para baixo (E = -E ŷ, com E > 0), então o potencial elétrico φ diminui com y? E = -∇φ = - dφ/dy ŷ. Se E = -E ŷ, então -dφ/dy = -E => dφ/dy = E => φ = E y + const. y = -ℓ cos θ (se origem no pivô, para baixo negativo). Então φ = - E ℓ cos θ + const. U_E = Q φ = - Q E ℓ cos θ. Correto. Então a força elétrica é QE para baixo (pois F = -∇U = - d/dy (-QE y?) Wait, U = - Q E ℓ cos θ = Q E y (com y negativo). F_y = -dU/dy = - Q E = - Q E (para baixo). Sim. Então a energia potencial vertical é -(mg + QE) ℓ cos θ por esfera. Correto. A conservação de energia: no ponto de retorno θ = α, a velocidade angular é zero? Mas será que o mínimo é ponto de retorno? Sim, na oscilação, a velocidade angular se anula nos extremos. Inicialmente em β/2, liberado do repouso, é um extremo (máximo?). O mínimo α é outro extremo. Então energia igual. Portanto, a resposta é A. Mas vamos confirmar com a equação de torque: a equação de movimento tem θ'' = ... Nós usamos energia. O termo E aparece linearmente. A expressão para E obtida é consistente. Verificar se a configuração inicial β/2 é maior que α? O problema diz "ângulo entre os fios atinja um valor mínimo igual a 2α". Isso implica que durante o movimento o ângulo entre os fios diminui até 2α, então α é o mínimo. Inicialmente β é maior que 2α? Provavelmente sim. Mas a expressão de E pode ser positiva? Se E > 0, então a força elétrica é para baixo, aumentando o peso efetivo. Para que o ângulo mínimo seja α, precisamos de um campo E tal que a energia em α iguale a energia em β/2. Nossa fórmula dá E em função de α e β. Se α = β/2, então numerador zero, E = -mg/Q? Mas se α = β/2, não há movimento, equilíbrio? Mas se não há movimento, o campo E poderia ser qualquer? Hmm. Se β/2 = α, então o sistema é liberado no repouso e permanece em repouso? Mas para permanecer em repouso, a soma dos torques deve ser zero. A nossa fórmula com α = β/2 dá E = -mg/Q, ou seja, campo para cima? Mas o campo é para baixo? Vamos checar: se α = β/2, a energia em β/2 é igual à energia em α trivialmente, então qualquer E? Não, se α = β/2, o mínimo é o próprio inicial, então não há movimento, mas para que não haja movimento, é necessário que a força resultante seja zero naquela configuração. Nossa conservação de energia não impõe equilíbrio, apenas que a energia em dois pontos é igual. Se α = β/2, a igualdade é trivial para qualquer E, então não determina E. Mas o problema assume que α ≠ β/2. Provavelmente β > 2α > 0. Então ok. Vamos testar com um caso limite. Se E for muito grande positivo, a força vertical efetiva é grande, o sistema fica quase na vertical, então α pequeno. Nossa fórmula: para α pequeno, 1/sen α ~ 1/α grande, cos α ~ 1 - α²/2. Numerador positivo grande, denominador cos α - cos(β/2) ~ (1 - α²/2) - cos(β/2). Se β/2 fixo, denominador positivo (se α < β/2), então E grande positivo. Sim, coerente. Se E negativo (campo para cima), a força elétrica é para cima, reduzindo o peso efetivo, então o ângulo mínimo poderia ser maior? Nossa fórmula com E negativo seria possível se o termo kQ... for menor que mg/Q? Mas o problema provavelmente considera E > 0? A figura mostra E para baixo. A alternativa A tem - mg/Q, então E pode ser positivo se o primeiro termo > mg/Q. Ok. Portanto, alternativa A. Mas vamos verificar as alternativas: A e C diferem no denominador: A tem cos α - cos(β/2); C tem cos(β/2) - cos α. Como cos α > cos(β/2), A tem denominador positivo. C teria denominador negativo, então o primeiro termo seria negativo (se numerador positivo), e a expressão seria - (algo) - mg/Q, o que daria E negativo grande. Para que o campo para baixo (E > 0) a alternativa A é plausível. B tem + mg/Q, mas nossa derivação deu - mg/Q. Vamos revisar a derivação dos sinais para garantir. Equação de conservação: E_total = K + U = constante. U(θ) = -2 (mg + QE) ℓ cos θ + k Q^2 / (2 ℓ sen θ). Em θ_i = β/2, K=0. Em θ_f = α, K=0 (mínimo). Então U(β/2) = U(α). -2 (mg + QE) ℓ cos(β/2) + k Q^2/(2 ℓ sen(β/2)) = -2 (mg + QE) ℓ cos α + k Q^2/(2 ℓ sen α). Trazer termos com (mg+QE) para um lado: -2 (mg + QE) ℓ cos(β/2) + 2 (mg + QE) ℓ cos α = k Q^2/(2 ℓ sen α) - k Q^2/(2 ℓ sen(β/2)) => 2 (mg + QE) ℓ [cos α - cos(β/2)] = (k Q^2/(2ℓ)) [1/sen α - 1/sen(β/2)]. Isso está correto? Vamos expandir: Lado esquerdo: -2(...)cosβ/2 + 2(...)cosα = 2(...)(cosα - cosβ/2). Sim. Lado direito: kQ²/(2ℓ senα) - kQ²/(2ℓ senβ/2) = kQ²/(2ℓ)[1/senα - 1/senβ/2]. Sim. Então: 2 (mg + QE) ℓ = kQ²/(2ℓ) [1/senα - 1/senβ/2] / [cosα - cosβ/2] => mg + QE = kQ²/(4ℓ²) * [1/senα - 1/senβ/2] / [cosα - cosβ/2] => QE = kQ²/(4ℓ²) * ... - mg => E = kQ/(4ℓ²) * ... - mg/Q. Sim, alternativa A. Portanto, resposta A. Mas vamos ver se há alguma consideração sobre o movimento ser restrito ao plano vertical e as hastes isolantes finas (barras) em vez de fios? Diz "barras isolantes finas de mesmo comprimento ℓ e massas desprezíveis, fixadas em um mesmo ponto. As esferas podem mover-se em um mesmo plano vertical fixo." Isso é como pêndulos simples com barras rígidas (sem colapso). A equação é a mesma para pequenas oscilações? Não, mas para grandes também, pois a barra mantém o comprimento ℓ fixo. A energia é a mesma. Verificar se a força elétrica entre as esferas é considerada? Sim, U_C = k Q² / d. d = 2ℓ sen θ. Sim. A alternativa A é exatamente a expressão. Vamos ver se a expressão poderia ser simplificada usando identidades trigonométricas? Talvez o denominador cos α - cos(β/2) pode ser escrito como -2 sen((α+β/2)/2) sen((α-β/2)/2)? Mas não é necessário. As alternativas estão nessa forma. Parece que a resposta é A. Mas vamos verificar se há algum erro de sinal na energia potencial elétrica. A interação entre cargas positivas é repulsiva, então U_C = + k Q² / d. Sim, positivo. A energia potencial total é U = U_vert + U_C. Em θ = α (mínimo), a distância entre esferas é menor (pois sen α < sen β/2), então U_C é maior. Para compensar, a energia potencial vertical deve ser menor (mais negativa) em α? Vamos ver: U_vert(α) = -2(mg+QE)ℓ cos α. Como cos α > cos(β/2), U_vert(α) é mais negativo (menor) que U_vert(β/2). Então a soma U_C + U_vert: em α, U_C é maior, U_vert é menor. Para que a soma seja igual, o aumento em U_C deve ser compensado pela diminuição em U_vert. Isso requer que (mg+QE) seja positivo e suficientemente grande. Nossa equação reflete isso. Se E for negativo (força para cima), mg+QE poderia ser negativo, então U_vert(α) seria menos negativo? Vamos ver: se E muito negativo, mg+QE < 0, então U_vert = -2(mg+QE)ℓ cos θ = +2|mg+QE|ℓ cos θ. Aí cos α > cos(β/2), então U_vert(α) > U_vert(β/2). Aí precisaríamos que U_C(α) < U_C(β/2) para igualar, mas U_C(α) > U_C(β/2) (pois α < β/2). Então não teria solução. Portanto E deve ser positivo (ou pelo menos mg+QE > 0) para que o mínimo α seja possível. A fórmula dá E = ... - mg/Q, que pode ser positivo se o primeiro termo > mg/Q. Ok. Portanto, alternativa A. Vou redigir a explicação. Passos: 1. Definir θ como metade do ângulo entre os fios. 2. Analisar forças: peso mg, força elétrica QE (ambas para baixo) => peso efetivo m g_eff = mg + QE. 3. Energia potencial por esfera: U_vert = - (mg + QE) ℓ cos θ. Duas esferas: -2(mg+QE)ℓ cos θ. 4. Energia potencial elétrica entre as cargas: U_C = k Q² / d, com d = 2ℓ sen θ => U_C = k Q² / (2ℓ sen θ). 5. Conservação de energia entre θ_i = β/2 e θ_min = α (ambos com velocidade zero). 6. Igualar U_total(β/2) = U_total(α). 7. Isolar E. Chegar na expressão da alternativa A. Resposta: A. Vamos escrever em português. Verificar se a alternativa A não tem erro de digitação: A) kQ/(4ℓ²) * [ (1/sen α - 1/sen(β/2)) / (cos α - cos(β/2)) ] - mg/Q. Sim. Portanto, resposta A.

**Analyzing the Physics Problem** I'm currently deciphering the initial conditions of this physics challenge. The core elements involve two identical point-like metallic spheres, each possessing mass $m$ and a positive charge $Q$. These spheres are affixed to the endpoints of two identical, thin insulating rods, each of length $\ell$. **Exploring Equilibrium Configurations** I'm now considering the system's dynamics. I've noted the downward forces of gravity and the electrostatic field acting on the positively charged spheres. A key consideration is how the mutual repulsion between the spheres interacts with these external forces as they move in a vertical plane. **Investigating Minimum Angle** I'm delving into the minimum angle observation. It appears the system transitions from an initial state, where each rod makes an angle $\beta/2$ with the vertical, to a state where the angle is $\alpha$. This minimum configuration is characterized by zero angular velocity, indicating a turning point. The physics suggests gravity and downward electric forces are counteracted by electrostatic repulsion, driving this inward motion. **Revisiting Energy Conservation** My focus has shifted to applying conservation of energy. I'm setting up the energy equations for the initial release from rest and the point of minimum angle, where angular velocity is zero. This should allow me to relate the initial and final configurations through energy transformations. **Analyzing Potential Energy** I am now meticulously calculating the total potential energy of the system. This involves summing the gravitational potential energy and the energy derived from the external electric field for both spheres, while carefully tracking their positions as the angle $\theta$ changes. The distance between the charged spheres is also being factored in for electrostatic potential energy. **Deriving Potential Energy Equations** I've successfully combined the gravitational and external electric field potentials, effectively creating an "effective gravity" term. This allows me to express the total potential energy as a function of the angle, encompassing both external forces and the mutual electrostatic repulsion between the spheres. The conservation of energy principle is now being applied to the initial and final states to establish the relationship between the initial and minimum angles. **Solving for Electric Field** I've refined the energy conservation equation and am now solving for the unknown electric field $E$. The derivation involved careful manipulation of trigonometric terms and ensuring the physical plausibility of the resulting signs. I've isolated $E$ on one side of the equation, yielding a definitive expression. **Checking Solution Options** I am now meticulously comparing my derived expression for the electric field with the provided options. I'm scrutinizing the signs and algebraic manipulations within each alternative, particularly focusing on the denominator's structure and the presence of the gravitational term. My current work suggests Option A holds promise. **Confirming Electric Field Expression** I have meticulously verified that my derived expression for the electric field aligns precisely with Option A. The careful analysis of signs, trigonometric relationships, and the inclusion of gravitational terms confirms this match. I'm confident in this result now. **Evaluating Electric Field Sign** I'm re-examining Option C, where the denominator's structure implies a negative first term and thus a negative electric field. This contradicts the physical requirement of a downward field to facilitate the observed angle change against Coulomb repulsion. Therefore, Option C is likely incorrect. **Reviewing Derivations** I'm performing a final algebra check on my derived electric field expression to ensure absolute accuracy. I'm carefully re-examining each step, particularly the manipulation of trigonometric terms and the incorporation of gravitational forces, to confirm alignment with Option A. **Verifying the Energy Equation** I'm cross-referencing my energy conservation equation with the derived expressions for the initial and final states. My focus is on ensuring the algebraic manipulation accurately represents the potential energy changes, considering both gravitational and electrostatic contributions, as the system transitions to its minimum angle configuration.