Questão 14

**Analyzing force and motion** I'm explaining how a force (F) tends to act in a clockwise direction, while also considering the floor's velocity. The floor's force is at the bottom, acting left, and needs to act right. The contact moves clockwise and tangentially down to the right, while tension (t) goes up to the left. I think the equilibrium conditions favor a positive force on the floor, though I’m uncertain about some rotations and translations. Overall, I’m just trying to clarify how these forces interact!

**Avoiding assumptions** I need to be careful not to assume that both options are saturated without any justification. It's crucial for me to analyze the information available before I jump to conclusions. I want to make sure I’m grounding my thoughts in facts and data rather than just intuition or guesswork. Taking this approach will help me think more clearly and provide a better analysis in whatever context it is needed.

**Exploring Fmax Expression** I need to think about how to show the Fmax expression decreasing over time (t). I'm curious about the specific variables involved and what it might imply. Is there a formula or a graphical representation I should use to visualize this? Maybe looking into trend lines or decay functions could help explain this relationship. I’ll need to check different scenarios to see how the Fmax changes as t increases and present that clearly.

I'm setting up the geometry: small sphere radius R centered at height R, large sphere radius 2R centered at height 2R, with centers 3R apart. The horizontal separation works out to 2√2 R, giving me the angle the line between centers makes with the floor, where sin α = R/3R. Now I'm listing out the forces acting on the small sphere — its weight, the floor's normal and friction, the contact normal and friction from the large sphere, and the applied horizontal force at a height R/2 above center — then computing torques about the small sphere's center from each force to set up the equilibrium equations. I'm reasoning through the direction the sphere tends to rotate: since F is applied above center it creates a clockwise torque, which would make the bottom contact point tend to slip leftward, so I need to figure out which way friction at the floor and at the large-sphere contact must act to oppose that. I'll set up both frictions as unknowns and solve the equilibrium system directly rather than guessing signs. As F increases, I need to figure out how the sphere would actually move — it could climb up along the big sphere's surface, or rotate in place while sliding at both contacts. The floor blocks pure translation and the big sphere blocks rightward motion, so I'm checking whether climbing the curved surface (with N1 dropping to zero) is the relevant failure mode versus simultaneous slipping at both contacts. So climbing toward 180° means moving left and up, meaning a rightward force F doesn't actually help the sphere climb — it's essentially wedged in place. That means the only possible motion is rotation in place with slipping at both contact points, and as F increases, one contact likely saturates at μN first while the other continues to adjust, creating an indeterminate friction distribution until the sphere actually starts moving. Since F acts above center, the torque tendency is clockwise, so both frictions must act counterclockwise to oppose it. Writing torque balance with f1 and f2 as the friction forces at each contact... I'm working out the friction directions geometrically: at the floor contact, friction points opposite the slip direction (rightward), and at the sphere contact I'm projecting the clockwise velocity onto the tangential direction to find the friction vector, confirming it produces a counterclockwise torque consistent with the balance equation. Now I'm setting up the x-component force balance combining F, f1, and the normal/friction components at the sphere contact. Plugging in sinα = 1/3, cosα = 2√2/3, and μ = √2/8, I'm substituting into the y-equation to express N1 in terms of N2 and mg, getting N1 = mg + N2/6, then substituting into the x-equation to solve for F in terms of N2. Combining the torque equation F/2 = μ(N1+N2) with the x-equation lets me equate the two expressions for F to solve for N2 in terms of mg. Working through the algebra, N2 = (18/19)mg, giving F = (10√2/19)mg. I verify by plugging N2 back into the other expression for F to confirm consistency. So the answer is D.

I'm setting up the geometry with the small sphere's center at the origin height and the large sphere offset by distance 3R, computing the horizontal separation as 2√2 R and the unit normal between centers. Then I'm identifying the contact normal and friction directions and placing the applied force at R/2 above the small sphere's center to work out the torque. Now I'm writing the torque equation about the small sphere's center—showing the applied force tends to rotate it clockwise—then setting up equilibrium equations: torque balance giving f1 + f2 = F/2, plus the horizontal and vertical force balances involving N1, N2, f1, and f2. This leaves four unknowns but only three equations, so I'm noting the system is statically indeterminate and that the maximum F will occur when both frictional forces reach their limiting values simultaneously. Since the sphere is wedged between the floor and the fixed big sphere, moving at all requires slipping at one or both contacts—if it stays touching both, its center can't translate, so it can only spin in place with slipping at both points. The alternative is rolling up the big sphere without slipping while lifting off the floor, which would mean N1 drops to zero; I'm now examining the first case, where both contacts are at their friction limits and the sphere just spins clockwise. I set up the force balance: friction at the bottom contact resists the clockwise spin, giving f1 pointing in the direction opposite motion, consistent with μN1 acting positively. Combining f1+f2=F/2 with the normal force equations and plugging in μ=√2/8, I solve for N1 in terms of N2, then substitute into the x-direction equation to isolate F in terms of N2. Equating both expressions for F, I solve for N2 = 18/19 mg, then substitute back to get F = 10√2/19 mg, matching option D. Now I'm checking the alternate scenario where N1=0, meaning the small sphere lifts off the ground and rolls purely over the big sphere, which requires a separate torque condition.

I'm working out the geometry: small sphere of radius R sits on the floor with center height R, while the large sphere of radius 2R touches both floor and step, giving center-to-center distance 3R between spheres. The horizontal separation comes out to 2√2 R, with the contact line making an angle θ where sinθ = 1/3 and cosθ = 2√2/3 — now I need to account for the applied force acting at height 3R/2 above the floor. Setting up equilibrium for the small sphere, I'm identifying the unknown forces: the horizontal push F, gravity, the floor's normal and friction forces, and the normal/friction forces at the contact with the big sphere. With four unknowns but only three equilibrium equations, the system is statically indeterminate unless both contacts reach their friction limits simultaneously at the point of impending slip, so I'm assuming that condition holds and setting up coordinate directions (normal along the line of centers, friction tangent to it) to write out the force components. I'm analyzing the torque from F about the small sphere's center, which creates a clockwise rotation tendency, meaning the sphere would tend to roll upward and over the big sphere rather than slide. I'm working out the velocity direction at the contact point consistent with this clockwise rotation around the big sphere's center, to determine which way the friction forces should point at the limiting condition. I'm working out the contact point velocity by combining the center's translational velocity with the rotational contribution from clockwise spin, so the bottom point ends up moving leftward relative to the center. If the no-slip condition at the big contact point required the velocity to point purely along the tangential direction, it would give the bottom point an upward component—which isn't physical if the sphere is resting on the floor, since that would mean it's lifting off. That suggests the floor's normal force drops to zero at this configuration, which I need to reconcile with the actual constraint. Actually, I should check whether N at the floor is really zero—since friction there only matters when contact persists. Separation from the big sphere requires N2≥0, so the small sphere's options are to slide left while separating (dropping N2 to zero), lift off the floor (N1 to zero), or rotate in place without translating. This rotation-in-place case seems to be the intended scenario, since friction coefficients are specified at both contacts. I'm now setting up the force balance equations in x and y, including both friction forces at their limiting values, and starting the torque balance about the floor contact point. Plugging in the specific angle values (sinθ=1/3, cosθ=2√2/3) and μ=√2/8, I'm solving for F in terms of N and N2 from the torque equation, then substituting into the x and y force equations to work out the remaining unknowns. Solving these simultaneously, N comes out to 11N2/9, which combined with the N equation gives N2 = 18mg/19 and N = 22mg/19. Plugging back in, F = 10√2/19 mg, matching answer choice D.

The problem concerns two homogeneous spheres. The smaller sphere has mass m and radius R. The larger fixed sphere has radius 2R. Both rest on the floor. The larger sphere also touches a step. The coefficient of static friction is μ = √2 / 8. A horizontal force F is applied to the smaller sphere at height 3R/2. The goal is to find the maximum force F that keeps the smaller sphere at rest. The options are A) (2√2 / 5) mg, B) 4√2 mg, C) (√18 / 19) mg, D) (10√2 / 19) mg, and E) (5√2 / 9) mg. The smaller sphere's center sits at height R, while the applied force acts at 3R/2. The fixed larger sphere pushes the smaller one against the floor. The maximum force F must be balanced by friction and normal forces. The sphere could slide, rotate, or climb over. The fixed large sphere does not need equilibrium analysis. Only the smaller sphere needs to be considered. I am setting up coordinates with O1 as the center of the small sphere and O2 as the center of the fixed large sphere. The distance between the centers is 3R. The line of centers makes an angle θ with the horizontal. sinθ = 1/3 and cosθ = 2√2/3. The forces on the small sphere are now being identified. Gravity acts downward, the floor normal upward, and the large sphere's normal along the line of centers. Friction from the floor will oppose the horizontal push. The normal force from the large sphere acts along the line connecting the two centers, pointing from the fixed sphere toward the smaller one. Static equilibrium requires both zero net force and zero net torque. Friction can reach its maximum value μN. The exact point of application is unclear, so the analysis must account for possible slipping or rolling. The rigid body has three equilibrium equations but too many unknowns. The frictional constraints limit the forces. The sphere cannot climb because the large sphere is fixed and pushes it downward. I will define the forces more carefully. The normal force from the large sphere points left and down, so its components are N_x = -N cosφ and N_y = -N sinφ. The friction at the contact between the two spheres is tangential to the surface, perpendicular to this normal. The contact point lies at distance R from the small sphere's center along the direction (cosφ, sinφ). The two possible unit tangent vectors are (-sinφ, cosφ) and (sinφ, -cosφ). I need to determine which one corresponds to the actual friction direction. The applied force sits at height 3R/2, between the sphere's center and its top. Because the large sphere blocks horizontal translation, the small sphere likely wants to rotate. I am checking which friction direction will oppose this rotation. I am assigning symbols to the floor contact forces: N1 for the upward normal and f_f for the friction. I still need to determine whether that friction points left or right. The horizontal component of the large sphere's normal force likely balances the applied force. The maximum F occurs when one friction reaches its limiting value μN. I must verify that the friction directions are consistent with this limit. There are five unknowns and only three force equations. The friction constraints become inequalities. I will solve for the maximum F that still allows equilibrium. The tangent unit vector is fixed as (-sinφ, cosφ). The friction force on the small sphere is f times this vector. The torque will be calculated about the contact point. The floor friction is taken to point rightward, and the applied force is assumed to act on the left side of the sphere at height 3R/2. The point at height 3R/2 is horizontally offset by −(√3 / 2)R from the center. The torque about the center is therefore F times that vertical distance. The torque from the horizontal force is simply F times the vertical distance from the center, τ = −(R/2)F. The horizontal offset does not contribute to the moment. The torque is τ = F·(R/2). The direction of rotation from pushing right above the center is being checked. The torque sense is confirmed: pushing the right side of the sphere upward causes clockwise rotation. The horizontal equilibrium equation is being derived. The sum of forces in the x direction gives F + f_f = N cosφ + f_s sinφ. The vertical equilibrium equation is being derived. The sum of forces in the y direction gives N_f = mg + N sinφ − f_s cosφ. The torque about the center is now being computed. The applied force contributes −(R/2)F. Gravity produces no torque because it acts at the center. The floor normal also produces no torque because its line of action passes through the center. The torque from the floor friction is +R·f_f. The normal force from the large sphere is now being examined. The torque from the friction between the two spheres is +R·f_s. The radial normal force produces no torque about the center. The torque equation about the center is now complete. The sum of torques equals zero: −(R/2)F + R·f_f + R·f_s = 0. The torque equation is simplified by dividing through by R. This yields f_f + f_s = F/2. Substituting this into the horizontal force balance gives an expression for f_s in terms of F and N. The vertical equilibrium equation is also written out. The friction limits are now being applied. The floor friction must satisfy |f_f| ≤ μ·N_f, and the sphere-to-sphere friction must satisfy |f_s| ≤ μ·N. The problem is being framed as an optimization: maximize F while satisfying the friction limits and equilibrium equations. The next step is to express the remaining forces in terms of N and f_s, then solve for the maximum F. The friction coefficients and angle are chosen so both friction forces likely reach their limits simultaneously. The applied force creates clockwise torque, so the friction torques must act counterclockwise to balance it. This means f_f and f_s must both be positive. The direction of the floor friction is confirmed: a positive f_f points rightward, opposing the leftward slip tendency from clockwise rotation. The relative velocity at the contact point with the large sphere is now being examined to determine the correct friction direction. The direction of the contact friction is confirmed. Positive f_s produces counterclockwise torque, opposing the clockwise slip tendency. The tangential vector points perpendicular to the radius, rotated 90 degrees counterclockwise. The friction directions are confirmed: both forces point in the positive tangent direction to oppose the clockwise rotation. The next question is whether the motion is purely rotational. The motion may involve both translation and rotation. Friction directions depend on the combined slip velocity at each contact, so they might not both oppose pure rotation at the limit. The maximum force could occur when the total slip velocity is zero. The friction directions will not be assumed a priori. The exact expression for f_s is being derived by substituting the known angle values into the earlier equation. The exact expressions for f_s and f_f are now written in terms of F and N. The floor normal is being substituted into the vertical equilibrium equation. The next step is to maximize F by setting both friction forces to their limiting values. The maximum force occurs at a vertex where two friction constraints are active. The first case to test is both frictions at their positive limits: f_s = μ N and f_f = μ N_f. The first limiting case is being solved. Setting f_s = μ N and f_f = μ N_f yields F = (2/3)N[c + μ(1+s)]. The floor normal is N_f = mg + N(s − μc). The next step is to verify whether the second friction limit is actually satisfied. The limiting case is being evaluated numerically. With the chosen angle and friction coefficient, the maximum force is F = (5√2 / 9) N. The floor friction in this case is f_f = (11√2 / 72) N. The next step is to check whether this value satisfies the second limiting condition f_f = μ N_f. The second limiting condition is being checked numerically. The floor normal is N_f = mg + N/6, so μ N_f contains a mass term. The floor friction f_f = (11√2 / 72) N does not match this expression. The equation reduces to a contradiction: the coefficient of N on the left is larger than on the right, leaving no consistent solution. The second limiting condition is satisfied. Solving for N gives N = (18/19) mg, and the maximum force is F = (10√2 / 19) mg, which matches option D. The next step is to verify whether this solution is physically valid. The assumed limiting case is physically valid. Both friction forces are positive and satisfy their respective limits. The question now is whether this configuration truly yields the maximum force. The limiting configuration is physically achievable. The next step is to verify whether a larger force is possible when only one friction force reaches its limit, or when the signs differ. This requires deriving the full feasibility range by eliminating one variable. The exact numerical match with option D suggests this is the correct answer. To confirm it is the maximum, the next step is to check whether a larger applied force can still satisfy equilibrium when one friction force is below its limit. The large-sphere contact force must also remain within the friction cone. The large-sphere contact force must also lie within the friction cone, so its direction is constrained by arctanμ. The applied force F will be expressed in terms of the friction ratios k_s = f_s/N and k_f = f_f/N_f, with |k_s| ≤ μ and |k_f| ≤ μ. The earlier derivation for F before assuming limiting values is being revisited. The second limiting condition is being checked numerically. The floor normal is N_f = mg + N/6, so μ N_f contains a mass term. The floor friction f_f = (11√2 / 72) N does not match this expression. The equation reduces to a contradiction: the coefficient of N on the left is larger than on the right, leaving no consistent solution. The second limiting condition is satisfied. Solving for N gives N = (18/19) mg, and the maximum force is F = (10√2 / 19) mg, which matches option D. The next step is to verify whether this solution is physically valid. The assumed limiting case is physically achievable. The next step is to verify whether a larger force is possible when only one friction force reaches its limit, or when the signs differ. This requires deriving the full feasibility range by eliminating one variable. The exact numerical match with option D suggests this is The derivation is being extended to check whether a larger force is possible when the large-sphere friction is below its limit. The expression for F in terms of f_s is being examined. The coefficient of f_s is positive, so the maximum force for a given N occurs when f_s reaches its limit. The next step is to check whether reducing f_s below that limit allows N to grow larger, and what sets the upper bound on N. The problem is being recast as a constrained optimization. Variables N and f_s are being introduced to maximize F = (2/3)[c N + (1+s) f_s] subject to the friction limits, the floor normal constraint, and non-negativity. The next step is to check whether reducing f_s below its limit allows N to grow beyond 18/19 mg and yield a larger force. The floor friction term simplifies to F/2 − y = (c/3) x − (5/9) y. The next step is to check whether this expression can be made positive and bounded by μ N_f for larger values of N. The analysis is now checking whether the maximum force occurs when only the floor friction reaches its limit, while the large-sphere friction remains below its limit. The floor normal and applied-force relations are being substituted to see if a larger force is possible under this partial-limit configuration. The small sphere's equilibrium is being analyzed using vector friction cones. The floor contact force must lie within the cone defined by |f_f| ≤ μ N_f, which restricts its direction to within arctanμ of the vertical. The large-sphere contact force must also lie within its friction cone. The equilibrium equations are being written out: the horizontal forces balance as F + P_x + Q_x = 0, and the vertical forces balance as P_y + Q_y = mg. This gives F = −P_x − Q_x. Maximizing F requires minimizing P_x + Q_x, so both horizontal components must be as negative as possible. Torque balance is also being considered. Torque balance is essential because the contact points are fixed. The earlier force-cone approach cannot be used alone; the positions of the forces must be included. The maximum force is F = (10√2 / 19) mg ≈ 0.744 mg. The upper bound for a given N is (5√2 / 9) N ≈ 0.785 N, so any larger force would require N > 0.948 mg. This suggests the limiting configuration may already yield the maximum. The maximum force is confirmed. The upper bound F ≤ (5√2/9) N is reached only when f_s = μ N. That case also requires N ≤ (18/19) mg, so the largest possible force is exactly (10√2/19) mg. If N exceeds 18/19 mg, f_s cannot reach its friction limit because that would violate the floor constraint. The next step is to derive the maximum force directly from the inequalities. The derivation is being recast in terms of x = N and y = f_s. The floor friction simplifies to f_f = (c/3)x − (5/9)y, and the applied force becomes F = (2c/3)x + (8/9)y. The next step is to enforce the friction limit |f_f| ≤ μ N_f = μ(mg + sx − cy) and maximize F. The boundary equation f_f = μ N_f is being solved numerically. Substituting c = 2√2/3, μ = √2/8, and s = 1/3 gives the left side (2√2/9)x − (5/9)y and the right side (√2/8)mg + (√2/24)x − (√2/12)y. This yields a linear relation between x and y that will be used to maximize F. The boundary equation is being simplified by collecting terms. The coefficient of N becomes (13√2/72), and the coefficient of f_s is being computed. The boundary equation is solved for the large-sphere friction: y = (√2/28)(13x − 9mg). This gives the exact relation between the normal force and the friction force when the floor friction reaches its limit. The applied force F is being rewritten as a function of the normal force N alone. Substituting the boundary relation for the large-sphere friction into the expression F = (2/3)cN + (8/9)f_s yields F = √2[(4/9)N + (26/63)N − (18/63)mg]. This gives the exact dependence of the maximum force on N. The expression for the applied force is being simplified. After combining the coefficients of N, it reduces to F = (2√2/7)(3N − mg). This is valid only on the boundary where the floor friction reaches its limit. The boundary expression F = (2√2/7)(3N − mg) increases with N, so the maximum on this branch occurs at the largest possible N. The constraint |y| ≤ μ N is being checked numerically to find that upper bound. The inequality 19N ≤ 18mg confirms the maximum normal force is exactly 18/19 mg. When N exceeds this value, the large-sphere friction would need to exceed its limit to satisfy the floor constraint, which is impossible. For smaller N, the force F = (2√2/7)(3N − mg) decreases because the coefficient of N is positive. Therefore the maximum force is uniquely achieved at N = 18/19 mg. The boundary expression is being verified numerically at N = 18/19 mg, confirming the maximum force is exactly 10√2/19 mg. The negative friction limit and interior points of the cone are also being checked to see if a larger force is possible. The analysis is now probing the case where N exceeds 18/19 mg. If y is forced to its friction limit μ N, then f_f = μ N_f is violated. The boundary relation for y from f_f = μ N_f would exceed μ N for larger N, so the maximum allowed y stays at μ N. This creates a contradiction: the floor friction cannot reach its limit while the large-sphere friction also reaches its limit. The next step is to see whether any valid interior point exists. The analysis is now checking whether the floor friction can be reduced by lowering the large-sphere friction below its limit. Since f_f decreases as y increases, the next step is to see if a smaller y can satisfy the floor constraint while still allowing a larger applied force. The difference μ N_f − f_f is being expanded into a linear function of the large-sphere friction y. The coefficient of N is −13√2/72, and the coefficient of y is being computed next. The coefficient of y is 7/18. The floor constraint μ N_f − f_f ≥ 0 is solved for the minimum large-sphere friction: y ≥ (13√2/28)N − (9√2/28)mg. The minimum large-sphere friction required by the floor constraint is y ≥ (√2/28)(13N − 9mg). This lower bound must not exceed the upper bound μ N = (√2/8)N. The two bounds intersect at N = 18/19 mg, confirming that the maximum force is only achievable at that exact normal force. The applied force is rewritten as F = (4√2/9)N + (8/9)y. For N ≤ 18/19 mg, y can be chosen anywhere between the floor constraint’s minimum and the friction limit μ N. The applied force increases with the large-sphere friction, so the maximum for each normal force is reached at the friction limit y = μ N. The next step is to check whether the lower bound f_f ≥ −μ N_f restricts the maximum. The negative friction bound is automatically satisfied because the applied force is positive. The maximum force of (10√2/19) mg is therefore fully achievable at the boundary point. The maximum force is confirmed as 10√2/19 mg. This matches option D. The other choices are rejected: A and C are too small, and B is impossible because the friction coefficient is too small to support such a large force. The torque arm F/2 is being double-checked. The 19 in the final answer likely comes from 19 N = 18 mg. The contact friction and torque geometry appear correct. The normal force direction and friction torque sign are being verified. The force balance in the x-direction is also being checked. Torques will be computed about alternative points to confirm the moment equation. The torque equation is being verified by summing moments about the bottom contact point B. The weight mg acts vertically through the center of the small sphere, which lies directly above B, so its moment arm about B is zero. This confirms that gravity contributes no torque to the equilibrium condition. The torque arm about the bottom contact point B is 3R/2. The direction of rotation caused by the applied force is being reconsidered. The applied force is being reconsidered. It acts at a surface point with height 3R/2, which has a negative x-coordinate rather than sitting on the vertical line through the center. This changes the moment arm and rotation direction about the bottom contact point. The horizontal line of action of the applied force is y = 3R/2, independent of x. Torque about the bottom contact point B is therefore −(3R/2)F. The contact point C is located at (R cosφ, R(1 + sinφ)). The contact force Q from the large sphere is decomposed into components. Its torque about B is being calculated to balance the applied force torque. The torque balance about the bottom contact point is being checked numerically against the earlier result. The first method is trusted because the applied force line is horizontal and its moment arm does not depend on x. The equations are being verified to confirm consistency. The torque balance about the bottom contact point is being verified algebraically. The contact force components and the position vector are substituted into the moment equation. After expanding and simplifying, the normal force coefficient reduces to cosφ and the friction coefficient reduces to 1 + sinφ. This confirms the torque expression matches the earlier result.

Vamos analisar o problema com cuidado. Temos duas esferas homogêneas em contato entre si, repousam sobre um piso. A esfera maior tem raio 2R e está fixa. A esfera menor tem massa m e raio R. O coeficiente de atrito estático entre as esferas e entre a esfera menor e o piso é μ = √2/8. Uma força F horizontal é aplicada na esfera menor a uma altura 3R/2 (ou seja, acima do centro da esfera menor, que está a altura R do piso). A força é aumentada gradualmente. Queremos a máxima intensidade de F para que a esfera menor ainda permaneça em repouso. Vamos desenhar o diagrama de forças na esfera menor. A esfera menor está em contato com: - O piso (ponto de contato inferior, vamos chamar de P). - A esfera maior (ponto de contato, vamos chamar de Q). A esfera maior está fixa. A esfera menor tende a rolar ou deslizar? Como a força F é aplicada acima do centro, ela cria um torque que tende a girar a esfera menor no sentido horário (se F aponta para a direita). A esfera menor pode tender a subir a esfera maior? Ou deslizar? Primeiro, vamos encontrar a geometria. O centro da esfera menor: O1 = (0, R) se colocarmos a origem no ponto de contato com o piso? Melhor: Vamos colocar o centro da esfera menor em (0, R) e o piso em y=0. A esfera maior tem raio 2R, centro em O2. Como as esferas estão em contato, a distância entre O1 e O2 é R + 2R = 3R. A esfera maior também toca o piso, então seu centro está a altura 2R. Logo O2 = (x2, 2R). A distância entre O1 e O2: (x2 - 0)^2 + (2R - R)^2 = (3R)^2 => x2^2 + R^2 = 9R^2 => x2^2 = 8R^2 => x2 = 2√2 R (a esfera maior está à direita da menor). Portanto, O2 = (2√2 R, 2R). O ponto de contato Q entre as esferas: está na linha que une os centros, a uma distância R de O1. O vetor de O1 para O2 é (2√2 R, R), cujo módulo é 3R. O vetor unitário é (2√2/3, 1/3). Então Q = O1 + R*(2√2/3, 1/3) = (2√2 R/3, R + R/3) = (2√2 R/3, 4R/3). Forças na esfera menor: 1. Peso: mg para baixo, no centro O1. 2. Força F: horizontal para a direita, a uma altura 3R/2 acima do piso. Vamos calcular o ponto de aplicação em relação ao centro O1. O centro está a altura R. A força é aplicada a 3R/2, então está a 3R/2 - R = R/2 acima do centro. Então o vetor posição do ponto de aplicação em relação a O1 é (0, R/2) (considerando que F é aplicada na vertical alinhada com o centro? O enunciado não especifica se é aplicada no centro ou deslocada horizontalmente. Normalmente, se diz "a uma altura 3R/2", assume-se que a linha de ação é horizontal e passa por algum ponto. Mas o torque depende do ponto de aplicação. Vamos supor que a força é aplicada na superfície da esfera? Ou apenas em um ponto material? O enunciado diz "aplicada horizontalmente na esfera menor a uma altura 3R/2". Isso sugere que a linha de ação da força é horizontal e está a uma altura 3R/2 do piso. Se não especifica o ponto horizontal, o torque em relação ao centro depende apenas da altura (braço de alavanca vertical). De fato, o torque de F em relação ao centro O1 é F * (3R/2 - R) = F * R/2, no sentido anti-horário? Vamos ver: F para a direita, aplicada acima do centro. Em relação ao centro, o vetor posição é (0, R/2). O torque τ = r × F = (0, R/2) × (F, 0) = (0*0 - R/2*F) k = - (F R/2) k. Isso é torque no sentido horário (negativo na convenção anti-horário). Então F tende a girar a esfera no sentido horário. 3. Força normal do piso: N_p, vertical para cima, no ponto P = (0,0). 4. Força de atrito do piso: f_p, horizontal. Como F empurra para a direita, a esfera tende a deslizar para a direita, então o atrito do piso aponta para a esquerda. f_p. 5. Força normal da esfera maior: N_e, ao longo da linha que une os centros, no ponto Q. A direção é de O2 para O1 (ou de O1 para O2?). A esfera maior empurra a menor. A normal aponta do ponto de contato para o centro da esfera menor? Não, a normal é perpendicular à superfície de contato. No ponto Q, a normal está na direção radial. Como a esfera maior está à direita e acima, a normal que a esfera maior exerce na menor aponta para a esquerda e para baixo? Vamos ver: A esfera menor está à esquerda da maior. A superfície da esfera maior no ponto Q tem normal apontando para fora da esfera maior, ou seja, na direção de O2 para Q, que é na direção de O2 para O1. Então a força normal N_e que a esfera maior exerce na menor aponta de Q para O1? Não, a normal é perpendicular à superfície. A força normal empurra a esfera menor para longe da esfera maior. O vetor de O1 para Q é (2√2/3, 1/3) (para cima e para a direita). A normal que a esfera maior exerce na menor aponta na direção oposta, ou seja, de Q para O1, que é (-2√2/3, -1/3) (para baixo e para a esquerda). Vamos confirmar: Se a esfera menor está encostada na maior, a maior impede que a menor se mova para a direita. Então a normal aponta para a esquerda e para baixo? Na verdade, a normal é perpendicular à tangente comum. A linha dos centros é a normal. O ponto de contato Q está na linha dos centros. A força normal na esfera menor aponta do ponto de contato para o centro da esfera menor? Não, a normal de contato entre duas esferas é ao longo da linha que une os centros. A esfera maior empurra a menor na direção de O2 para O1? Vamos pensar fisicamente: Se você empurra a esfera menor contra a maior, a maior exerce uma força de reação na menor. Essa força aponta para fora da esfera maior? A esfera maior está à direita da menor. A normal que a esfera maior exerce na menor aponta para a esquerda (e para baixo, porque o contato é acima do centro da menor). Sim, a normal aponta de O2 para O1. O vetor unitário de O2 para O1 é (-2√2/3, -1/3). Então N_e = N_e * (-2√2/3, -1/3). Espera, isso significa que a normal tem componente vertical para baixo? Isso não pode estar certo, porque a esfera menor está apoiada no chão. A esfera maior não puxa a esfera menor para baixo. Mas a esfera menor está encostada na maior. Se a esfera menor tentar subir, a normal da maior teria componente vertical para baixo? Não, a normal é perpendicular à superfície. No ponto Q, a reta normal é a linha dos centros. A força que a esfera maior exerce na menor é de repulsão (não pode ser de atração). Se a esfera menor está à esquerda e abaixo da maior, a força normal que a maior exerce na menor aponta para a esquerda e para baixo? Vamos analisar a geometria: O centro da maior está em (2√2 R, 2R) e o centro da menor em (0, R). O vetor de O1 para O2 é (2√2 R, R). A força que a esfera maior exerce na esfera menor é na direção de O2 para O1, ou seja, (-2√2/3, -1/3) se normalizado. Isso significa que a componente vertical é negativa (para baixo). Mas a esfera menor está em contato com o piso. Se a normal da esfera maior tem componente para baixo, ela aumenta a força normal no piso. Isso é fisicamente possível? Sim, porque a esfera maior está por cima da esfera menor, então a esfera maior pode empurrar a esfera menor para baixo? Não, a esfera menor está apoiada no chão. A esfera maior está ao lado e acima. O ponto de contato Q está acima do centro da esfera menor? O centro da menor está a altura R. Q está a 4R/3, que é maior que R. Então Q está acima do centro da menor. A normal da maior na menor aponta de Q para O1 (para baixo e para a esquerda). Isso significa que a esfera maior empurra a esfera menor para baixo. Mas a esfera menor não pode ir para baixo porque o chão a impede. Então a normal do chão aumentará. Isso é possível. 6. Força de atrito entre as esferas: f_e, tangencial no ponto Q. A direção é perpendicular à normal. Como a esfera menor tende a girar no sentido horário devido a F, no ponto de contato Q, a superfície da esfera menor tende a se mover para cima e para a direita? Vamos ver: Se a esfera menor gira no sentido horário, o ponto Q (que está no quadrante superior direito da esfera menor) se move para baixo e para a esquerda? Vamos calcular a velocidade do ponto Q se a esfera girar no sentido horário. O centro O1 se move? A esfera está em repouso, então O1 está fixo. O ponto Q está a uma distância R de O1, com vetor posição relativa (2√2 R/3, R/3). Se a esfera gira com velocidade angular ω no sentido horário, a velocidade de Q é v_Q = ω × r. Em 2D, se ω é no sentido horário (negativo na convenção anti-horário), v_Q = ω k × r? Vamos usar a regra da mão direita. Sentido horário: ω = -ω k. r = (2√2 R/3, R/3, 0). v = ω × r = (-ω k) × (2√2 R/3 i + R/3 j) = -ω (2√2 R/3)(k × i) - ω (R/3)(k × j) = -ω (2√2 R/3) j - ω (R/3) (-i) = (ω R/3) i - (2√2 ω R/3) j. Então a velocidade de Q tem componente para a direita e para baixo. Portanto, a superfície da esfera menor no ponto Q tende a se mover para a direita e para baixo em relação à esfera maior. Isso significa que a força de atrito entre as esferas na esfera menor aponta para a esquerda e para cima, pois o atrito se opõe ao movimento relativo. Então f_e tem componentes (-f_e * algo, +f_e * algo). A direção tangencial é perpendicular à normal. A normal é (-2√2/3, -1/3). A tangente pode ser (1/3, -2√2/3) ou (-1/3, 2√2/3). Como o movimento relativo é para a direita e para baixo, o atrito na esfera menor é para a esquerda e para cima, ou seja, na direção (-1/3, 2√2/3). Vamos confirmar: A tangente unitária é (1/3, -2√2/3) (para direita e para baixo) ou (-1/3, 2√2/3) (para esquerda e para cima). O atrito se opõe ao movimento, então se o ponto Q da esfera menor tende a se mover para direita e para baixo, o atrito na esfera menor aponta para esquerda e para cima, que é a direção (-1/3, 2√2/3). Então f_e = f_e * (-1/3, 2√2/3) (com f_e > 0 se for nessa direção). Vamos manter f_e como uma incógnita, podendo ser positiva ou negativa. Vamos listar as equações de equilíbrio: Forças na esfera menor: - Peso: (0, -mg) no centro. - F: (F, 0) aplicada em (0, R/2) em relação ao centro. - N_p: (0, N_p) no ponto (0, -R) em relação ao centro? O ponto de contato com o piso é (0,0), que em relação ao centro O1=(0,R) é (0, -R). A normal é (0, N_p). - f_p: (-f_p, 0) no ponto (0, -R). (Assumindo que o atrito do piso é para a esquerda, se F empurra para a direita). - N_e: N_e * (-2√2/3, -1/3) no ponto Q, cujo vetor em relação a O1 é (2√2 R/3, R/3). - f_e: f_e * (-1/3, 2√2/3) no ponto Q. Equações de força: Σ Fx = F - f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0 ... (1) Σ Fy = N_p - mg - (1/3) N_e + (2√2/3) f_e = 0 ... (2) Equação de torque em relação ao centro O1 (sentido anti-horário positivo): - Peso: torque zero (no centro). - F: aplicada em (0, R/2), F na direção x. r × F = (0, R/2, 0) × (F, 0, 0) = (0*0 - (R/2)*F) k = - (F R/2) k. Torque = - F R/2. - N_p: aplicada em (0, -R), força (0, N_p). r × F = (0, -R, 0) × (0, N_p, 0) = 0. Torque zero. - f_p: aplicada em (0, -R), força (-f_p, 0). r × F = (0, -R, 0) × (-f_p, 0, 0) = ( (-R)*0 - 0*(-f_p) ) k = 0? Cuidado: r × F = (r_x F_y - r_y F_x) k. r_x=0, r_y=-R, F_x=-f_p, F_y=0. Então (0*0 - (-R)*(-f_p)) = - (R f_p) k. Então torque = - R f_p. (sentido horário). Isso faz sentido: f_p para esquerda na parte de baixo da esfera cria torque horário? Sim, se a esfera fosse girar, o atrito do chão para esquerda na base puxa a base para esquerda, o que gira a esfera no sentido horário? Não, imagine: força para esquerda na base. Em relação ao centro, isso cria um torque que tende a girar a esfera no sentido horário? Vamos ver: Se você puxa a base para esquerda, a esfera gira no sentido horário. Sim, torque negativo (horário). - N_e: aplicada em Q = (2√2 R/3, R/3), força N_e * (-2√2/3, -1/3). r × F = (r_x F_y - r_y F_x) k. r_x = 2√2 R/3, r_y = R/3. F_x = - (2√2/3) N_e, F_y = - (1/3) N_e. r_x F_y = (2√2 R/3) * (-1/3) N_e = -2√2 R N_e / 9. r_y F_x = (R/3) * (-2√2/3) N_e = -2√2 R N_e / 9. r_x F_y - r_y F_x = (-2√2 R N_e / 9) - (-2√2 R N_e / 9) = 0. Interessante! O torque da normal N_e em relação ao centro é zero, porque a linha de ação da normal passa pelo centro da esfera menor. De fato, a normal é radial, então seu torque em relação ao centro é zero. Sempre. - f_e: aplicada em Q, força f_e * (-1/3, 2√2/3). r × F = ? r_x = 2√2 R/3, r_y = R/3. F_x = -f_e/3, F_y = (2√2/3) f_e. r_x F_y = (2√2 R/3) * (2√2/3) f_e = (4*2 R /9) f_e = (8 R /9) f_e. r_y F_x = (R/3) * (-f_e/3) = - R f_e /9. r_x F_y - r_y F_x = (8 R /9) f_e - (- R f_e /9) = (8 R /9 + R /9) f_e = (9 R /9) f_e = R f_e. Então torque = R f_e (sentido anti-horário, positivo). Vamos checar: f_e na direção (-1/3, 2√2/3) em Q. Isso significa que f_e tem componente para esquerda e para cima. Em relação ao centro, uma força para cima no lado direito cria torque anti-horário? Sim, porque o braço é para direita e a força para cima, então gira no sentido anti-horário. A componente para esquerda também contribui? O torque da componente para esquerda em Q (que está acima do centro) é: força para esquerda acima do centro gira no sentido anti-horário? Sim, se você empurra o topo para esquerda, a esfera gira no sentido anti-horário. Então ambos contribuem positivamente. O cálculo deu R f_e, que é positivo. Então a equação de torque: Σ τ = - F R/2 - R f_p + R f_e = 0 => - F/2 - f_p + f_e = 0 => f_e = F/2 + f_p ... (3) Agora, precisamos das condições de não deslizamento. A esfera menor está em repouso, então não há deslizamento nos pontos de contato. Isso significa que as forças de atrito não atingiram o limite máximo? Na iminência de movimento, o atrito estático atinge seu valor máximo. Mas a esfera pode perder o contato com o piso? Ou começar a deslizar? A força F é aumentada gradualmente. A esfera permanece em repouso até que alguma condição de equilíbrio seja violada. As possibilidades: - A esfera menor desliza no piso (f_p atinge μ N_p). - A esfera menor desliza na esfera maior (f_e atinge μ N_e). - A esfera menor perde contato com o piso (N_p = 0). - A esfera menor perde contato com a esfera maior (N_e = 0). - A esfera menor começa a rolar? Mas como está em contato com o piso e a esfera maior, e a esfera maior está fixa, a esfera menor não pode rolar sem deslizar em um dos contatos. Se ela rolar, teria que deslizar em algum lugar. Então a condição de repouso é mantida até que o atrito em algum contato atinja o limite. Precisamos determinar qual contato atinge o limite primeiro. Vamos analisar as forças em função de F. Temos as equações (1), (2), (3). Mas temos 4 incógnitas (f_p, N_p, N_e, f_e) e 3 equações. Precisamos de mais uma equação. A condição de não deslizamento não dá uma equação direta porque a esfera está em repouso, então f_p e f_e são determinados pelo equilíbrio. Mas o sistema é indeterminado? Na verdade, para uma esfera em repouso sob forças, as forças de atrito são determinadas pelas equações de equilíbrio. Mas temos 4 incógnitas e 3 equações, então há uma indeterminação? Isso ocorre porque a esfera é um corpo rígido e as forças de atrito dependem da deformação? Não, em estática, para um corpo em contato com múltiplos pontos, as forças normais podem ser indeterminadas se houver mais de 3 pontos de contato? Aqui temos dois pontos de contato (piso e esfera). Para um corpo 2D, temos 3 equações de equilíbrio (2 forças e 1 torque). Temos 4 forças incógnitas (N_p, f_p, N_e, f_e). Mas as direções das forças normais são conhecidas. A normal no piso é vertical, a normal na esfera é radial. A força de atrito no piso é horizontal, a força de atrito na esfera é tangencial. Então temos 4 incógnitas. Mas a esfera está em repouso, então as forças de atrito são estáticas e podem assumir qualquer valor até o limite. O sistema é indeterminado? Na verdade, para uma esfera apoiada em um plano e encostada em outra esfera, se não houver deformação, as forças de atrito não são determinadas apenas pela estática. Mas há uma condição adicional: a esfera menor está em equilíbrio, mas como ela foi colocada lá? Normalmente, em problemas de estática, consideramos que as forças de atrito são nulas se não houver tendência de movimento. Mas aqui a força F cria uma tendência. A esfera tende a se mover? Vamos analisar a tendência de movimento sem atrito. Sem atrito (f_p = f_e = 0), as equações (1), (2), (3) dariam: (3) 0 = F/2 + 0 => F = 0. Então sem atrito, a esfera não pode estar em equilíbrio sob F > 0. Isso significa que o atrito é essencial para o equilíbrio. Mas as forças de atrito são determinadas pelas equações? Se fixarmos F, as equações (1) e (2) dão: F - f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0 N_p - mg - (1/3) N_e + (2√2/3) f_e = 0 E a equação (3): f_e = F/2 + f_p. Substituindo f_e em (1): F - f_p - (2√2/3) N_e - (1/3)(F/2 + f_p) = 0 F - f_p - (2√2/3) N_e - F/6 - f_p/3 = 0 (5/6)F - (4/3) f_p - (2√2/3) N_e = 0 => multiplicando por 6: 5F - 8 f_p - 4√2 N_e = 0 => N_e = (5F - 8 f_p)/(4√2). ... (4) Substituindo f_e em (2): N_p - mg - (1/3) N_e + (2√2/3)(F/2 + f_p) = 0 N_p - mg - (1/3) N_e + (√2/3) F + (2√2/3) f_p = 0 N_p = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F - (2√2/3) f_p. ... (5) Ainda temos f_p como parâmetro livre. Isso significa que há infinitas combinações de f_p e N_e que satisfazem o equilíbrio. Mas fisicamente, a esfera menor está em contato com o piso e a esfera maior. Se ela está em repouso, as forças de atrito se ajustam para manter o equilíbrio. No entanto, a esfera menor pode ter uma tendência de movimento que depende de como a força é aplicada. Normalmente, em problemas assim, consideramos que a esfera menor tende a rolar ou deslizar. Como a força F é aplicada acima do centro, ela cria um torque que tende a girar a esfera. Para impedir a rotação, os atritos devem agir. Mas o sistema é indeterminado porque a esfera pode se ajustar de diferentes maneiras? Na verdade, a esfera é um corpo rígido. Se ela está em repouso, a soma dos torques e forças é zero. Mas as forças de atrito não são conhecidas a priori. Em problemas de estática com múltiplos contatos, às vezes assumimos que a esfera tende a girar e os atritos se opõem. Mas aqui, como a esfera maior está fixa, a esfera menor não pode girar sem deslizar em algum contato. Se não há deslizamento, a esfera não gira. Então a condição de não deslizamento é que a velocidade do ponto de contato seja zero. Mas como a esfera está em repouso, isso é automaticamente satisfeito. A questão é: qual atrito atinge o limite primeiro? Para responder isso, precisamos considerar a configuração de forças que realmente ocorre. Em geral, em problemas de estática, a indeterminação é resolvida considerando a rigidez dos corpos ou a história do carregamento. Mas aqui, como a esfera é rígida, a distribuição de forças depende de como a força F é aplicada. Normalmente, assume-se que a esfera tende a rolar sobre a esfera maior? Ou deslizar? Vamos analisar a tendência de movimento sem atrito. Se não houvesse atrito, a esfera menor seria empurrada para a direita e para baixo? Vamos ver: A força F empurra para a direita. A esfera maior impede o movimento para a direita. A normal N_e teria que ser grande para equilibrar F. Mas sem atrito, a esfera não pode equilibrar o torque de F. Ela giraria. Para evitar a rotação, o atrito no piso e na esfera maior agem. O atrito no piso (para esquerda) cria torque horário, opondo-se ao torque anti-horário? F cria torque horário. Então o atrito no piso (para esquerda) cria torque horário, que soma com F? Não, F cria torque horário. O atrito no piso para esquerda na base cria torque horário? Vamos rever: F aplicada acima do centro, para direita: torque horário. Atrito do piso para esquerda na base: a força é para esquerda, o braço é para baixo. r = (0, -R), F = (-f_p, 0). τ = r × F = (0, -R, 0) × (-f_p, 0, 0) = (0*0 - (-R)*(-f_p)) k = - R f_p k. Negativo, ou seja, horário. Então o atrito do piso também cria torque horário! Isso é interessante. Ambos F e f_p criam torque horário. Para equilibrar, precisamos de um torque anti-horário. Quem fornece? O atrito na esfera maior, f_e. Se f_e for na direção (-1/3, 2√2/3), seu torque é positivo (anti-horário), como calculamos. Então f_e deve ser positivo (para esquerda e para cima) para equilibrar os torques horários. Isso faz sentido: a esfera menor tende a girar no sentido horário, então no ponto de contato com a esfera maior, a superfície da esfera menor tende a se mover para baixo e para direita, então o atrito da esfera maior na menor é para cima e para esquerda. Isso cria torque anti-horário. Então f_e > 0. Agora, vamos analisar as forças. Temos f_e = F/2 + f_p. Como f_e > 0, e F > 0, f_p pode ser negativo? Se f_p for negativo, significa que o atrito do piso é para a direita. Mas isso é possível? Se F empurra para a direita, a esfera tende a deslizar para a direita no piso, então o atrito do piso deveria ser para esquerda (f_p > 0). Mas se f_p > 0, então f_e > F/2. Vamos ver as equações (4) e (5): N_e = (5F - 8 f_p)/(4√2). N_p = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F - (2√2/3) f_p. Substituindo N_e: N_p = mg + (1/3)*(5F - 8 f_p)/(4√2) - (√2/3) F - (2√2/3) f_p = mg + (5F - 8 f_p)/(12√2) - (√2/3) F - (2√2/3) f_p. Vamos simplificar (√2/3) F = (2√2/6) F = (4√2/12) F. Então: N_p = mg + (5F - 8 f_p)/(12√2) - (4√2/12) F - (2√2/3) f_p. Colocando tudo sobre 12√2? Vamos multiplicar o termo (√2/3) F por 12√2: (√2/3) F * 12√2 = (√2 * 12√2 / 3) F = (12*2/3) F = 8F. Então (√2/3) F = 8F / (12√2). Da mesma forma, (2√2/3) f_p = (2√2/3) f_p * (12√2)/(12√2) = (2*12*2/3) f_p / (12√2) = (48/3) f_p / (12√2) = 16 f_p / (12√2). Então: N_p = mg + (5F - 8 f_p - 8F - 16 f_p) / (12√2) = mg + (-3F - 24 f_p) / (12√2) = mg - (3F + 24 f_p) / (12√2) = mg - (F + 8 f_p) / (4√2). ... (6) Agora temos N_p em função de f_p. Para que a esfera permaneça em contato com o piso, N_p ≥ 0. Isso dá uma condição. Além disso, as forças de atrito devem satisfazer |f_p| ≤ μ N_p e |f_e| ≤ μ N_e. Como f_p e f_e provavelmente são positivos (direções que assumimos), podemos usar f_p ≤ μ N_p e f_e ≤ μ N_e (se forem positivos). Mas precisamos determinar qual limite é atingido primeiro. Para isso, precisamos encontrar o valor de f_p que satisfaz as equações. Mas o sistema é indeterminado. Como resolver? Em problemas de estática com múltiplos contatos, a indeterminação é resolvida considerando que a esfera é rígida e que as forças de atrito são determinadas pela minimização da energia potencial? Ou pela compatibilidade de deformações? Normalmente, em problemas de Olimpíada, considera-se que a esfera menor tende a rolar sobre a esfera maior (sem deslizar nela) e deslizar no piso, ou vice-versa. Precisamos identificar qual é o modo de falha. Vamos analisar a condição de não deslizamento. Se a esfera menor não desliza em nenhum contato, ela permanece em repouso. Mas se apenas um dos atritos atinge o limite, a esfera pode começar a se mover. A questão é: qual atrito atinge o limite primeiro? Para F aumentando gradualmente, a esfera permanece em repouso até que a primeira condição de deslizamento seja violada. Nesse ponto, a esfera começa a se mover. Se o atrito no piso atinge o limite primeiro, a esfera desliza no piso. Se o atrito na esfera maior atinge o limite primeiro, a esfera desliza na esfera maior. Se N_p = 0, a esfera perde contato com o piso. Para determinar isso, precisamos encontrar a relação entre f_p e F. Mas ainda temos um grau de liberdade. Na verdade, a esfera menor é um corpo rígido. Se ela está em repouso, as forças de atrito são determinadas pelas equações de equilíbrio, mas como há mais incógnitas que equações, o sistema é indeterminado. No entanto, fisicamente, a esfera menor está em contato com o piso e a esfera maior. Se não há deslizamento, a esfera não se move nem gira. Isso significa que a soma dos torques é zero. Mas as forças de atrito podem assumir qualquer valor dentro dos limites. Em problemas reais, a distribuição de forças depende da deformação local. Mas em problemas de Olimpíada, geralmente consideramos que a esfera tende a girar e que o atrito em um dos contatos é máximo enquanto o outro se ajusta. Mas qual? Vamos tentar outra abordagem: considere que a esfera menor está na iminência de perder o equilíbrio. O equilíbrio é mantido por forças de atrito. A força F é aplicada a uma altura 3R/2. Se F for muito grande, a esfera pode: - Tombar sobre a esfera maior? Mas a esfera maior está fixa. - Deslizar no piso. - Deslizar na esfera maior. - Perder contato com o piso e subir a esfera maior? Se ela subir, N_p = 0. Vamos calcular as forças para alguns casos extremos. Suponha que a esfera menor esteja na iminência de deslizar no piso. Então f_p = μ N_p. Nesse caso, ainda temos a equação (3): f_e = F/2 + f_p. E as equações (4), (5), (6). Com f_p = μ N_p, podemos resolver para F. Substitua f_p = μ N_p em (6): N_p = mg - (F + 8 μ N_p) / (4√2) Multiplicando por 4√2: 4√2 N_p = 4√2 mg - F - 8 μ N_p => N_p (4√2 + 8 μ) = 4√2 mg - F => N_p = (4√2 mg - F) / (4√2 + 8 μ). Como μ = √2/8, 8 μ = 8 * √2/8 = √2. Então: N_p = (4√2 mg - F) / (4√2 + √2) = (4√2 mg - F) / (5√2) = (4 mg - F/√2) / 5 = (4 mg - F√2/2) / 5? Vamos manter. N_p = (4√2 mg - F) / (5√2). Agora, f_p = μ N_p = (√2/8) * (4√2 mg - F) / (5√2) = (4√2 mg - F) / 40. Da equação (4): N_e = (5F - 8 f_p) / (4√2). Substitua f_p: N_e = (5F - 8 * (4√2 mg - F)/40) / (4√2) = (5F - (4√2 mg - F)/5) / (4√2) = ( (25F - 4√2 mg + F) / 5 ) / (4√2) = (26F - 4√2 mg) / (20√2) = (13F - 2√2 mg) / (10√2). Verifique se N_e > 0. Para F pequeno, N_e pode ser negativo? Se F=0, N_e = -2√2 mg / (10√2) = -mg/5 < 0. Isso significa que N_e seria negativo, o que é impossível. Isso indica que nossa suposição de que f_p = μ N_p pode não ser válida para F pequeno. Na verdade, para F=0, a esfera menor está apenas apoiada no piso e encostada na esfera maior. Nesse caso, a normal na esfera maior deveria ser zero? Vamos analisar a situação sem F. A esfera menor está em repouso. As forças são peso, normal do piso, normal da esfera maior (se houver contato), e atritos. Se não há F, a esfera menor pode estar apenas encostada na esfera maior sem exercer força? O problema diz que as esferas estão em contato entre si. Então a esfera maior exerce uma força normal na menor. Mas se não há força externa, a esfera menor tenderia a rolar para longe? Não, porque a esfera maior está fixa. A esfera menor está encostada. A normal da esfera maior na menor aponta para baixo e para esquerda. Para equilibrar, o piso deve exercer uma normal maior que o peso. Mas a esfera menor não pode "afundar" no piso. A normal N_e é determinada pela geometria e pelas forças. Na verdade, sem F, a esfera menor está em equilíbrio sob peso, normal do piso e normal da esfera maior. Mas a normal da esfera maior tem componente horizontal? Sim, aponta para esquerda e para baixo. Então para equilibrar a componente horizontal, precisamos de atrito no piso (para direita). Então há atrito mesmo sem F. Isso é possível? Se a esfera menor foi colocada lá, ela pode ter uma pequena força de atrito estático. Mas normalmente, se não há força externa, a esfera menor não exerceria força na esfera maior a menos que estivesse presa. Como ela está apenas encostada, a normal N_e seria zero? Mas o problema diz "em contato entre si". Isso pode significar que elas se tocam, mas não necessariamente exercem força. No entanto, a configuração geométrica é tal que a esfera menor está encostada na maior. Se não houver força, a esfera menor pode simplesmente não exercer pressão. Mas a esfera maior está fixa, então a esfera menor não pode se mover para a direita. Se ela não exerce força, então N_e = 0. Mas se N_e = 0, a esfera menor está apenas apoiada no piso. Isso é possível? Sim, se a esfera maior não estiver bloqueando, mas como elas estão em contato, se a esfera menor se mover para a direita, ela empurraria a esfera maior. Mas se não há força para direita, ela não empurra. Então N_e pode ser zero. Mas o problema provavelmente considera que as esferas estão em contato e que a esfera menor é empurrada contra a maior pela força F. Para F=0, N_e=0. Mas nosso cálculo com f_p = μ N_p deu N_e negativo para F pequeno, o que é impossível. Isso sugere que a suposição de deslizamento no piso não é o modo de falha para F pequeno. Na verdade, para F pequeno, a esfera menor não desliza no piso; ela permanece em repouso. O atrito no piso não é máximo. Então f_p < μ N_p. O sistema é indeterminado, mas podemos encontrar a distribuição real de forças considerando que a esfera menor está em equilíbrio e que não há deslizamento. Mas como? Vamos pensar na física do problema. A esfera menor é empurrada por F. A força F tende a empurrá-la para a direita e a girá-la no sentido horário. Para impedir a rotação, o atrito na esfera maior (f_e) e o atrito no piso (f_p) agem. Mas observe que f_e e f_p estão relacionados pela equação de torque: f_e = F/2 + f_p. Se f_p for positivo (para esquerda), f_e > F/2. Se f_p for negativo (para direita), f_e < F/2. Qual é a direção real de f_p? A força F empurra a esfera para a direita. A esfera maior impede o movimento para a direita, então a normal N_e tem componente para esquerda. Para equilibrar horizontalmente, F = f_p + (2√2/3) N_e + (1/3) f_e. Se f_p for para esquerda (positivo), ajuda a equilibrar F. Se f_p for para direita (negativo), atrapalha. Como F é a única força para direita, é natural que f_p seja para esquerda (positivo) para ajudar a equilibrar. Então f_p > 0. Mas para F pequeno, se f_p > 0, então f_e = F/2 + f_p > 0. Isso é consistente. Agora, como determinamos f_p? A esfera menor está em repouso. A condição de não deslizamento no piso é que a velocidade do ponto de contato seja zero. Mas isso é sempre verdade se a esfera não gira. A esfera não gira se o torque resultante for zero. Mas o torque depende de f_p e f_e. A equação de torque é uma equação. As equações de força são duas. Temos 3 equações e 4 incógnitas. Mas há uma condição adicional: a esfera menor é rígida e está em contato com o piso e a esfera maior. Na verdade, a esfera menor tem 3 graus de liberdade (translação x, y e rotação). O contato com o piso impõe 1 restrição (não penetração) e o contato com a esfera maior impõe outra restrição (não penetração). Mas como a esfera maior está fixa, o contato com ela também restringe o movimento. No entanto, a esfera menor pode rolar sem deslizar? Se ela rolar, o ponto de contato com o piso se move? Se ela rolar sem deslizar no piso, o centro se move horizontalmente. Mas o contato com a esfera maior impede o movimento horizontal? Se a esfera menor rolar para a direita, ela se aproximaria da esfera maior? Mas ela já está em contato. Então ela não pode rolar para a direita sem deslizar na esfera maior. Portanto, a esfera menor não pode rolar; ela está travada pelos dois contatos. Assim, a esfera menor tem 0 graus de liberdade. Isso significa que as forças de atrito são determinadas pelas equações de equilíbrio? Mas ainda temos 4 incógnitas e 3 equações. Onde está a quarta equação? A quarta equação vem da compatibilidade de deformações? Em corpos rígidos, a indeterminação é resolvida considerando que as forças de atrito são tais que a esfera não tende a se mover. Mas em problemas de estática, muitas vezes assumimos que a esfera está na iminência de deslizar em um dos contatos. Mas a questão pergunta a máxima intensidade de F para que a esfera menor ainda permaneça em repouso. Isso significa que em algum momento, uma das condições de atrito é violada. Precisamos encontrar qual condição é violada primeiro. Vamos analisar as possíveis condições de falha: 1. Deslizamento no piso: f_p = μ N_p. 2. Deslizamento na esfera maior: f_e = μ N_e. 3. Perda de contato com o piso: N_p = 0. 4. Perda de contato com a esfera maior: N_e = 0. Para cada caso, podemos encontrar o valor de F correspondente. O menor valor de F entre esses casos será a máxima força para repouso. Mas como calcular f_p e f_e em função de F? Ainda temos a indeterminação. No entanto, podemos usar o fato de que a esfera menor está em equilíbrio e que as forças de atrito são as mínimas necessárias para manter o equilíbrio? Não, elas são determinadas pelas equações, mas como há mais incógnitas, a solução não é única. Mas fisicamente, a esfera menor está em contato com o piso e a esfera maior. Se não há deslizamento, a esfera não se move. Mas as forças de atrito podem assumir diferentes valores? Na verdade, a esfera menor é um corpo rígido. Se ela está em repouso, as forças de atrito são determinadas pelas deformações dos corpos. Mas em problemas de Olimpíada, geralmente consideramos que a esfera menor está na iminência de perder o equilíbrio. E para encontrar a força máxima, consideramos que a esfera está na iminência de deslizar em um dos contatos. Mas qual? Podemos testar ambos os casos e ver qual dá o menor F. Vamos tentar resolver o sistema assumindo que uma das condições de atrito é máxima e a outra é ajustável. Mas o problema é que se assumirmos f_p = μ N_p, obtivemos N_e negativo para F pequeno, o que é impossível. Isso significa que para F pequeno, a condição f_p = μ N_p não pode ser satisfeita com N_e ≥ 0. Portanto, a esfera não está na iminência de deslizar no piso para F pequeno. Ela só atinge essa condição para F grande. Vamos encontrar o F para o qual f_p = μ N_p dá N_e = 0. Isso seria o ponto em que a esfera maior deixa de exercer força? Mas se N_e = 0, a esfera menor perde contato com a esfera maior. A partir daí, a esfera menor seria apenas apoiada no piso. Mas se N_e = 0, então a equação (4) dá 5F - 8 f_p = 0 => f_p = 5F/8. E f_p = μ N_p. Também N_p = mg - (F + 8 f_p)/(4√2) = mg - (F + 8*(5F/8))/(4√2) = mg - (F + 5F)/(4√2) = mg - 6F/(4√2) = mg - 3F/(2√2). E f_p = μ N_p = (√2/8)(mg - 3F/(2√2)) = (√2 mg/8) - (√2 * 3F)/(8*2√2) = (√2 mg/8) - 3F/16. Mas também f_p = 5F/8. Igualando: 5F/8 = √2 mg/8 - 3F/16 => multiplicando por 16: 10F = 2√2 mg - 3F => 13F = 2√2 mg => F = (2√2/13) mg. Nesse ponto, N_e = 0. Para F > (2√2/13) mg, se a esfera menor ainda estivesse em contato com a esfera maior, N_e seria negativo, o que é impossível. Isso significa que para F > (2√2/13) mg, a esfera menor perde contato com a esfera maior. Mas espera, isso é considerando que f_p = μ N_p. Mas se N_e = 0, a esfera menor não está mais em contato com a esfera maior. Então a partir desse ponto, ela é apenas uma esfera no piso com força F. Mas a força F é aplicada a uma altura 3R/2. Se a esfera está apenas no piso, para F > (2√2/13) mg, ela começaria a deslizar ou tombar? Vamos analisar. Na verdade, a condição N_e = 0 ocorre quando a esfera menor está na iminência de perder contato com a esfera maior. Mas isso só faz sentido se a esfera maior não estiver mais empurrando. No entanto, a esfera menor está encostada na esfera maior. Se N_e = 0, significa que a esfera menor não está mais pressionando a esfera maior. Mas a esfera maior não impede mais o movimento? Se a esfera menor se mover para a direita, ela ainda pode se afastar da esfera maior. Mas a configuração geométrica é tal que se a esfera menor se mover para a direita, ela se afasta da esfera maior. Então N_e se torna zero quando não há mais contato. Mas o problema diz que as esferas estão em contato. Então N_e deve ser positivo. Portanto, F não pode ser tão grande que N_e se torne zero, a menos que a esfera menor se mova. Mas se ela está em repouso, N_e deve ser ≥ 0. Então a condição N_e = 0 é um limite. Agora, vamos analisar a condição de deslizamento na esfera maior: f_e = μ N_e. Substitua f_e = F/2 + f_p em f_e = μ N_e. F/2 + f_p = μ N_e. (7) Temos as equações (4) e (6). Vamos usá-las. Da (4): N_e = (5F - 8 f_p)/(4√2). Da (7): N_e = (F/2 + f_p)/μ. Igualando: (5F - 8 f_p)/(4√2) = (F/2 + f_p)/μ => μ (5F - 8 f_p) = 4√2 (F/2 + f_p) μ = √2/8. Então: (√2/8) (5F - 8 f_p) = 4√2 (F/2 + f_p) Dividindo por √2: (1/8)(5F - 8 f_p) = 4 (F/2 + f_p) Multiplicando por 8: 5F - 8 f_p = 32 (F/2 + f_p) = 16F + 32 f_p => 5F - 16F = 32 f_p + 8 f_p => -11F = 40 f_p => f_p = -11F/40. Como f_p é negativo, isso significa que o atrito no piso é para a direita. Mas isso é possível? Se F empurra para direita, a esfera tende a deslizar para direita, então o atrito do piso deveria ser para esquerda (positivo). Um f_p negativo significa que o atrito do piso está na direção do movimento, o que não é fisicamente possível para atrito estático (ele se opõe à tendência de movimento). Mas a tendência de movimento pode ser diferente. Vamos analisar: Se a esfera menor tende a girar no sentido horário, o ponto de contato com o piso pode tender a se mover para a esquerda? Vamos ver. Se a esfera menor gira no sentido horário, o ponto de contato com o piso (parte inferior) se move para a esquerda. Então, para evitar deslizamento, o atrito do piso deve ser para a direita (para se opor ao movimento da superfície para esquerda). Então f_p pode ser negativo! Isso faz sentido. Se a esfera tende a girar no sentido horário, a parte inferior se move para esquerda, então o atrito do piso aponta para direita. Então f_p negativo é possível. Vamos verificar a consistência. Se f_p = -11F/40, então f_e = F/2 + f_p = F/2 - 11F/40 = 20F/40 - 11F/40 = 9F/40. f_e positivo. Agora, vamos calcular N_p e N_e. N_e = (F/2 + f_p)/μ = (F/2 - 11F/40) / (√2/8) = (9F/40) * (8/√2) = (72F)/(40√2) = (9F)/(5√2) = (9√2 F)/10. N_p = mg - (F + 8 f_p)/(4√2) = mg - (F + 8*(-11F/40))/(4√2) = mg - (F - 88F/40)/(4√2) = mg - (F - 11F/5)/(4√2) = mg - ( (5F - 11F)/5 )/(4√2) = mg - (-6F/5)/(4√2) = mg + (6F)/(20√2) = mg + 3F/(10√2) = mg + (3√2 F)/20. N_p é positivo para todo F > 0. N_e também é positivo. Agora, verifique se f_p está dentro do limite: |f_p| ≤ μ N_p. f_p = -11F/40. |f_p| = 11F/40. μ N_p = (√2/8) * (mg + 3√2 F/20) = (√2 mg/8) + (√2 * 3√2 F)/(8*20) = (√2 mg/8) + (6F)/(160) = (√2 mg/8) + (3F/80). Então a condição |f_p| ≤ μ N_p é 11F/40 ≤ √2 mg/8 + 3F/80. Multiplicando por 80: 22F ≤ 10√2 mg + 3F => 19F ≤ 10√2 mg => F ≤ (10√2/19) mg. Esta é a condição para que o atrito no piso não atinja o limite. Mas estamos considerando que o atrito na esfera maior atinge o limite (f_e = μ N_e). Se F exceder esse valor, o atrito no piso também excederia o limite. Mas qual atinge primeiro? Precisamos comparar as condições. Neste modo, assumimos f_e = μ N_e. A condição para que f_p não exceda o limite é F ≤ (10√2/19) mg. Se F for maior, então f_p também excederia o limite, o que significa que a esfera deslizaria no piso também. Mas a esfera permanece em repouso enquanto ambos os atritos não excedem. A máxima força seria o menor valor entre as condições de falha. Mas aqui, se f_e = μ N_e, a condição para f_p não exceder é F ≤ (10√2/19) mg. Isso significa que para F = (10√2/19) mg, ambos os atritos atingem o limite simultaneamente? Vamos verificar. Se F = (10√2/19) mg, então f_p = -11F/40 = -11/40 * (10√2/19) mg = - (110√2)/(760) mg = - (11√2/76) mg. E μ N_p = 11F/40 = mesmo valor. Então ambos os atritos atingem o limite ao mesmo tempo. Isso é interessante. Agora, vamos analisar a outra possibilidade: deslizamento no piso primeiro. Assumimos f_p = μ N_p (positivo, ou seja, para esquerda). Mas vimos que para F pequeno, N_e ficaria negativo. Então a esfera não pode estar na iminência de deslizar no piso para F pequeno. Mas se f_p for negativo (para direita), então f_p = - μ N_p? A condição de deslizamento é |f_p| = μ N_p. Como f_p é negativo, f_p = - μ N_p. Vamos testar essa possibilidade. Suponha f_p = - μ N_p. (O atrito no piso está no limite, apontando para a direita). Então f_p = - (√2/8) N_p. Da equação (6): N_p = mg - (F + 8 f_p)/(4√2). Substitua f_p: N_p = mg - (F + 8(-√2/8 N_p))/(4√2) = mg - (F - √2 N_p)/(4√2) = mg - F/(4√2) + N_p/4. => N_p - N_p/4 = mg - F/(4√2) => (3/4) N_p = mg - F/(4√2) => N_p = (4/3)(mg - F/(4√2)) = (4/3)mg - F/(3√2). Agora, da equação (4): N_e = (5F - 8 f_p)/(4√2) = (5F + 8 μ N_p)/(4√2) = (5F + √2 N_p)/(4√2). Substitua N_p: N_e = (5F + √2 ((4/3)mg - F/(3√2)))/(4√2) = (5F + (4√2/3)mg - F/3)/(4√2) = ( (15F - F)/3 + (4√2/3)mg ) / (4√2) = ( (14F/3) + (4√2/3)mg ) / (4√2) = (14F + 4√2 mg) / (12√2) = (7F + 2√2 mg) / (6√2). Agora, f_e = F/2 + f_p = F/2 - μ N_p = F/2 - (√2/8) N_p. Substitua N_p: f_e = F/2 - (√2/8) * ( (4/3)mg - F/(3√2) ) = F/2 - (√2/8)*(4/3)mg + (√2/8)*(F/(3√2)) = F/2 - (√2/6)mg + F/24 = (12F/24 + F/24) - (√2/6)mg = (13F/24) - (√2/6)mg. Agora, verifique se |f_e| ≤ μ N_e. Como f_e pode ser positivo ou negativo? Para F grande, f_e é positivo. Para F pequeno, f_e pode ser negativo. Vamos calcular a condição |f_e| ≤ μ N_e. Mas primeiro, precisamos que N_p ≥ 0. N_p = (4/3)mg - F/(3√2) ≥ 0 => F ≤ 4√2 mg. Isso é um limite muito alto. Agora, a condição para que o atrito na esfera maior não atinja o limite: |f_e| ≤ μ N_e. Como estamos assumindo que o piso está no limite, a esfera permanece em repouso se o atrito na esfera maior não exceder o limite. Então a máxima força seria quando f_e = μ N_e (se f_e for positivo) ou f_e = - μ N_e (se negativo). Vamos testar ambos. Primeiro, vamos verificar o sinal de f_e. f_e = (13F/24) - (√2/6)mg. Para F = 0, f_e = - (√2/6)mg < 0. Isso significa que para F pequeno, o atrito na esfera maior é negativo (direção oposta à que assumimos). Nossa convenção para f_e era na direção (-1/3, 2√2/3). Se f_e é negativo, significa que o atrito na esfera maior aponta na direção (1/3, -2√2/3) (para direita e para baixo). Isso faz sentido? Se a esfera menor não tem F, ela está apenas encostada na esfera maior. A normal N_e empurra para esquerda e para baixo. Para equilibrar, o atrito na esfera maior deve ser para direita e para cima? Não, vamos analisar. Sem F, a esfera menor tem peso para baixo. A normal N_e tem componente para baixo. Então o piso deve exercer uma normal maior que o peso. A normal N_e também tem componente para esquerda. Para equilibrar horizontalmente, o atrito no piso deve ser para direita (f_p negativo). E o atrito na esfera maior? A equação de torque: f_e = F/2 + f_p = 0 + f_p = f_p. Como f_p é negativo, f_e é negativo. Então f_e aponta na direção oposta à nossa convenção. Isso é consistente. Então, para F pequeno, f_e é negativo. A condição de deslizamento na esfera maior é |f_e| = μ N_e. Como f_e é negativo, isso significa f_e = - μ N_e. Vamos resolver. f_e = - μ N_e. (13F/24) - (√2/6)mg = - (√2/8) N_e. Mas N_e = (7F + 2√2 mg) / (6√2). Então: (13F/24) - (√2/6)mg = - (√2/8) * (7F + 2√2 mg) / (6√2) = - (7F + 2√2 mg) / 48. Multiplicando por 48: 48*(13F/24) - 48*(√2/6)mg = - (7F + 2√2 mg) => 2*13F - 8√2 mg = -7F - 2√2 mg => 26F - 8√2 mg = -7F - 2√2 mg => 33F = 6√2 mg => F = (6√2/33) mg = (2√2/11) mg. Este é um valor possível. Vamos verificar se N_p > 0 e outras condições. F = (2√2/11) mg ≈ 0.257 mg. N_p = (4/3)mg - F/(3√2) = (4/3)mg - (2√2/11)mg / (3√2) = (4/3)mg - (2/33)mg = (44/33 - 2/33)mg = (42/33)mg = (14/11)mg > 0. N_e = (7F + 2√2 mg)/(6√2) = (7*(2√2/11)mg + 2√2 mg)/(6√2) = (14√2/11 + 2√2)mg / (6√2) = ( (14/11 + 22/11)√2 mg ) / (6√2) = (36/11)/6 mg = (6/11)mg > 0. f_p = - μ N_p = - (√2/8)*(14/11)mg = - (14√2/88)mg = - (7√2/44)mg. f_e = (13F/24) - (√2/6)mg = (13*(2√2/11)/24)mg - (√2/6)mg = (26√2/(264))mg - (44√2/264)mg = (-18√2/264)mg = - (3√2/44)mg. Verifique se f_e = - μ N_e: μ N_e = (√2/8)*(6/11)mg = (6√2/88)mg = (3√2/44)mg. Sim, |f_e| = μ N_e. Então neste ponto, o atrito na esfera maior atinge o limite (negativo) e o atrito no piso também está no limite? f_p = - (7√2/44)mg. μ N_p = (√2/8)*(14/11)mg = (14√2/88)mg = (7√2/44)mg. Então |f_p| = μ N_p também! Interessante, ambos os atritos atingem o limite simultaneamente novamente? Vamos ver: f_p = - μ N_p, então o piso também está no limite. Então para F = (2√2/11) mg, ambos os atritos atingem o limite. Isso sugere que a esfera menor está na iminência de deslizar em ambos os contatos ao mesmo tempo. Mas qual é o valor máximo de F? Se ambos atingem ao mesmo tempo, então esse é o F máximo. Mas temos dois valores: (10√2/19) mg ≈ 0.744 mg e (2√2/11) mg ≈ 0.257 mg. O menor é (2√2/11) mg. No entanto, precisamos verificar se a condição f_e = - μ N_e é a única. Também poderíamos ter f_e = μ N_e (positivo). Vamos testar. Assumindo f_p = - μ N_p (piso no limite, atrito para direita). Mas agora queremos que o atrito na esfera maior atinja o limite positivo: f_e = μ N_e. f_e = (13F/24) - (√2/6)mg = μ N_e = (√2/8) * (7F + 2√2 mg)/(6√2) = (7F + 2√2 mg)/48. Multiplicando por 48: 2*(13F) - 8√2 mg = 7F + 2√2 mg => 26F - 8√2 mg = 7F + 2√2 mg => 19F = 10√2 mg => F = (10√2/19) mg. Este é o outro valor que encontramos antes! (10√2/19) mg ≈ 0.744 mg. Neste caso, f_e = μ N_e positivo e f_p = - μ N_p. Mas verificamos que para F = (10√2/19) mg, f_p = -11F/40 = -11/40 * (10√2/19) mg = - (110√2)/(760) mg = - (11√2/76) mg. E μ N_p = 11F/40 = mesmo valor. Então ambos os atritos estão no limite. Mas qual é o correto? Por que temos dois valores onde ambos os atritos atingem o limite? Porque o sistema é indeterminado. Mas fisicamente, a esfera menor só pode estar em equilíbrio se as forças de atrito forem tais que a esfera não se mova. Para F aumentando gradualmente, a esfera permanece em repouso até que a primeira condição de falha seja atingida. Qual condição de falha ocorre primeiro? Precisamos analisar a estabilidade. Se a esfera está em repouso, as forças de atrito se ajustam para manter o equilíbrio. Mas qual é o valor real de f_p e f_e? Em problemas de estática, a indeterminação é resolvida considerando que a esfera tende a se mover de uma certa maneira. Vamos analisar a tendência de movimento. A força F é aplicada a uma altura 3R/2. Ela cria um torque horário. Para impedir a rotação, o atrito na esfera maior (f_e) deve ser positivo (anti-horário) ou o atrito no piso (f_p) deve ser negativo? Vamos ver: Na equação de torque, f_e = F/2 + f_p. Para que f_e seja positivo, f_p pode ser negativo. Mas se f_p for muito negativo, o atrito no piso pode atingir o limite antes. Vamos analisar a situação sem atrito na esfera maior? Não, a esfera menor está em contato com a esfera maior. A tendência natural é que a esfera menor, ao ser empurrada para a direita, seja impedida pela esfera maior. A normal N_e aumenta. Para evitar que a esfera gire no sentido horário, o atrito na esfera maior (f_e) deve apontar para cima e para esquerda (positivo). Mas se F for muito grande, f_e pode atingir o limite. Alternativamente, a esfera pode tender a deslizar no piso para a direita (f_p positivo) ou para a esquerda (f_p negativo). Vamos ver a equação (1): F - f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0. Se f_e é positivo, ele contribui para equilibrar F? (1/3) f_e é para esquerda, então ajuda a equilibrar. Se f_p é positivo (para esquerda), também ajuda. Se f_p é negativo (para direita), ele soma com F, exigindo mais N_e ou f_e. Portanto, é mais eficiente para o equilíbrio ter f_p positivo. Mas a equação de torque exige que f_e = F/2 + f_p. Se f_p é positivo, f_e é ainda maior. Então f_e atinge o limite primeiro? Vamos comparar as duas situações. Caso 1: f_p = μ N_p (positivo). Vimos que isso leva a N_e negativo para F pequeno, o que é impossível. Então a esfera não pode ter f_p positivo máximo para F pequeno. Na verdade, para F pequeno, f_p deve ser negativo para que N_e seja positivo? Vamos ver a equação (4): N_e = (5F - 8 f_p)/(4√2). Para N_e > 0, precisamos 5F - 8 f_p > 0 => f_p < 5F/8. Se f_p for positivo, f_p < 5F/8. Isso é possível. Mas quando f_p = μ N_p, obtivemos N_e negativo para F pequeno, porque μ N_p era grande. Vamos recalcular: se f_p = μ N_p, N_p = mg - (F + 8 f_p)/(4√2). Substituindo f_p = μ N_p = √2/8 N_p, temos N_p = mg - (F + √2 N_p)/(4√2) = mg - F/(4√2) - N_p/4 => 5/4 N_p = mg - F/(4√2) => N_p = (4/5)(mg - F/(4√2)) = (4/5)mg - F/(5√2). Então f_p = √2/8 * (4/5 mg - F/(5√2)) = (4√2/40)mg - (√2 F)/(40√2) = (√2/10)mg - F/40. Agora, N_e = (5F - 8 f_p)/(4√2) = (5F - 8(√2/10 mg - F/40))/(4√2) = (5F - (4√2/5)mg + F/5)/(4√2) = ( (26F/5) - (4√2/5)mg )/(4√2) = (26F - 4√2 mg)/(20√2) = (13F - 2√2 mg)/(10√2). Para N_e > 0, precisamos 13F > 2√2 mg => F > (2√2/13) mg ≈ 0.2176 mg. Então para F < 0.2176 mg, f_p = μ N_p não é possível porque N_e seria negativo. Isso significa que para F pequeno, a esfera não pode estar na iminência de deslizar no piso com f_p positivo. Mas f_p pode ser negativo. Vamos analisar a in Minimência de deslizamento no piso com f_p negativo. Caso 2: f_p = - μ N_p (negativo). Vimos que isso leva a N_p = (4/3)mg - F/(3√2). E N_e = (7F + 2√2 mg)/(6√2). f_e = (13F/24) - (√2/6)mg. Para F pequeno, f_e é negativo. A condição de deslizamento na esfera maior é |f_e| = μ N_e. Como f_e é negativo, f_e = - μ N_e. Resolvemos e obtivemos F = (2√2/11) mg ≈ 0.257 mg. Neste ponto, ambos os atritos atingem o limite. Mas será que para F < 0.257 mg, a esfera está em repouso? Sim. E para F > 0.257 mg, a esfera começa a deslizar? Mas observe que se F aumentar além de 0.257 mg, mantendo f_p = - μ N_p, então f_e se torna menos negativo? Vamos ver: f_e = (13F/24) - (√2/6)mg. Em F = 0.257 mg, f_e = - μ N_e. Para F maior, f_e aumenta (se torna menos negativo ou positivo). Mas |f_e| pode exceder μ N_e? Se f_e for negativo, |f_e| = -f_e. A condição |f_e| ≤ μ N_e é -f_e ≤ μ N_e => f_e ≥ - μ N_e. Em F = 0.257 mg, f_e = - μ N_e. Para F maior, f_e > - μ N_e, então a condição é satisfeita. Mas então o atrito na esfera maior não está mais no limite. O atrito no piso está no limite. Nesse caso, a esfera deslizaria no piso? Mas se o atrito no piso está no limite e o atrito na esfera maior não, a esfera pode deslizar no piso. Mas a esfera também está em contato com a esfera maior. Se ela desliza no piso, ela se move para a direita. Mas a esfera maior impede o movimento para a direita? Se a esfera menor se move para a direita, ela empurra a esfera maior. Mas a esfera maior está fixa. Então a esfera menor não pode se mover para a direita sem deslizar na esfera maior. Se ela desliza no piso e não desliza na esfera maior, ela teria que rolar sobre a esfera maior? Mas a esfera maior está fixa. Se a esfera menor rola sobre a esfera maior, o ponto de contato com a esfera maior não desliza, então a esfera menor gira. Mas se ela gira, o ponto de contato com o piso se move. Se o piso está no limite de atrito, a esfera pode deslizar no piso enquanto rola sobre a esfera maior. Isso é possível? Sim, a esfera menor pode rolar sobre a esfera maior e deslizar no piso. Nesse caso, a velocidade do centro da esfera menor não é zero. Mas o problema pergunta a máxima força F para que a esfera permaneça em repouso. Repouso significa que ela não se move nem gira. Portanto, enquanto ambos os atritos não atingem o limite, ela está em repouso. No ponto em que um dos atritos atinge o limite, a esfera pode começar a se mover. Mas se apenas um atrito atinge o limite, a esfera pode ainda estar em repouso se o outro atrito puder se ajustar? Não, se um atrito atinge o limite, a esfera está na iminência de movimento. Se a força F aumentar um pouco mais, esse atrito não pode aumentar, então a esfera começa a se mover. Portanto, a máxima força é o menor valor de F para o qual qualquer um dos atritos atinge o limite. Temos dois valores candidatos: - F1 = (2√2/11) mg ≈ 0.257 mg (onde f_e atinge o limite negativo e f_p também atinge o limite negativo simultaneamente). - F2 = (10√2/19) mg ≈ 0.744 mg (onde f_e atinge o limite positivo e f_p atinge o limite negativo simultaneamente? Vamos verificar: para F2, assumimos f_p = - μ N_p. Então f_p = - μ N_p. E f_e = μ N_e. Ambos atingem o limite. Mas qual é o menor? F1 < F2. Portanto, a esfera atinge o limite primeiro em F1. Então a máxima força é F1 = (2√2/11) mg. Mas vamos verificar se há outra possibilidade: a esfera perde contato com o piso (N_p = 0). Isso ocorre quando N_p = 0. Da equação (6): N_p = mg - (F + 8 f_p)/(4√2) = 0 => F + 8 f_p = 4√2 mg. Mas também temos a equação de torque e as outras. Sem saber f_p, não podemos determinar F. Se a esfera perde contato com o piso, N_p = 0, então f_p = 0 (já que não há contato). Então F = 4√2 mg ≈ 5.66 mg. Isso é muito maior que F1. Então não é o caso. Perda de contato com a esfera maior: N_e = 0. Da equação (4): 5F - 8 f_p = 0 => f_p = 5F/8. E N_p = mg - (F + 8*(5F/8))/(4√2) = mg - (F + 5F)/(4√2) = mg - 6F/(4√2) = mg - 3F/(2√2). Para N_e = 0, precisamos que f_p e N_p sejam tais que as equações de equilíbrio sejam satisfeitas. Mas se N_e = 0, a esfera maior não exerce força. Então a esfera menor está apenas no piso. Nesse caso, as equações são: F - f_p = 0 => f_p = F. N_p = mg. E torque: - F R/2 - R f_p = 0 => - F/2 - f_p = 0 => f_p = -F/2. Contradição: f_p = F e f_p = -F/2 => F = 0. Portanto, N_e = 0 só é possível se F = 0. Então a esfera não perde contato com a esfera maior enquanto F > 0. Na verdade, N_e aumenta com F. Portanto, a única condição de falha relevante é o deslizamento. E o menor F é F1 = (2√2/11) mg. Vamos comparar com as alternativas: A) 2√2/5 mg = 0.4√2 mg? 2√2/5 = 0.4√2 ≈ 0.565 mg. B) 4√2 mg ≈ 5.66 mg. C) √18/19 mg = 3√2/19 mg ≈ 0.223 mg? √18 = 3√2 ≈ 4.24. 4.24/19 ≈ 0.223 mg. Isso é menor que F1. D) 10√2/19 mg ≈ 0.744 mg. E) 5√2/9 mg ≈ 0.785 mg. Nenhuma dessas é exatamente (2√2/11) mg ≈ 0.257 mg. Vamos calcular 2√2/11 ≈ 0.257. As opções: A = 2√2/5 = 0.4√2 ≈ 0.565. B = 4√2 ≈ 5.66. C = 3√2/19 ≈ 0.223. D = 10√2/19 ≈ 0.744. E = 5√2/9 ≈ 0.785. Nenhuma é 0.257. Então algo está errado. Vamos revisar nossos cálculos. Talvez eu tenha cometido um erro na direção do atrito ou nas equações. Vamos reanalisar o problema com mais cuidado. Diagrama de forças na esfera menor: - Peso: mg para baixo, no centro. - F: horizontal para direita, aplicada a uma altura 3R/2. O centro está a R do piso. Então a força é aplicada a R/2 acima do centro. Vetor posição em relação ao centro: (0, R/2). - N_p: normal do piso, vertical para cima, no ponto de contato (0, -R) em relação ao centro. - f_p: atrito do piso. Vamos assumir que aponta para a esquerda (positivo). Então f_p = ( -f_p, 0 ). - N_e: normal da esfera maior. A linha dos centros: O1(0,R) e O2(2√2 R, 2R). Vetor de O1 para O2: (2√2 R, R). Módulo 3R. Vetor unitário de O2 para O1: (-2√2/3, -1/3). A normal que a esfera maior exerce na menor aponta de O2 para O1? Não, a normal é perpendicular à superfície. A esfera maior empurra a menor. O ponto de contato Q está na linha dos centros. A força normal na esfera menor aponta do ponto de contato para o centro da esfera menor? Não, a normal de contato entre duas esferas é ao longo da linha que une os centros. A esfera maior exerce uma força de repulsão na esfera menor. Se a esfera menor está à esquerda da esfera maior, a força que a esfera maior exerce na menor aponta para a esquerda. E também para baixo? Vamos pensar: Se você pressiona uma esfera contra outra, a força de reação aponta para fora da esfera que exerce a força. A esfera maior está à direita. Ela empurra a esfera menor para a esquerda. A componente vertical: o ponto de contato Q está acima do centro da esfera menor? Q está a 4R/3 do piso, e o centro da esfera menor está a R. Então Q está acima do centro. A linha que une os centros vai de O1 para O2: sobe e vai para direita. A normal que a esfera maior exerce na menor é ao longo dessa linha, mas no sentido de O2 para O1? Vamos usar a terceira lei de Newton. A esfera menor exerce uma força na esfera maior. Essa força aponta de O1 para O2 (para direita e para cima). A reação da esfera maior na menor aponta de O2 para O1 (para esquerda e para baixo). Então N_e = N_e * (-2√2/3, -1/3). Isso significa que a normal tem componente vertical para baixo. Isso é fisicamente correto? Se a esfera maior está por cima, ela pode empurrar a esfera menor para baixo? Sim, se a esfera menor estiver inclinada. Imagine duas bolas de boliche se tocando. A bola da direita (maior) está mais alta? Não, ambas tocam o chão. A bola maior tem raio 2R, então seu centro está a 2R. A bola menor tem raio R, centro a R. O ponto de contato está a 4R/3. Isso está acima do centro da bola menor. Então a reta que une os centros tem inclinação positiva. A força que a bola maior exerce na menor é ao longo dessa reta, apontando de O2 para O1? Vamos ver: A bola maior está à direita. Se você empurra a bola menor contra a maior, a maior empurra a menor para a esquerda. Mas a componente vertical? Se a bola menor tentar subir, a maior a empurra para baixo. Então a normal tem componente vertical para baixo. Isso faz sentido. A normal N_e tem componente vertical negativa. Então na equação de força vertical, N_e contribui negativamente (para baixo). Isso aumenta N_p. Correto. - f_e: atrito entre as esferas. No ponto Q. A direção tangencial. A tangente é perpendicular à normal. A normal é (-2√2/3, -1/3). Uma tangente possível é (1/3, -2√2/3) (para direita e para baixo) ou (-1/3, 2√2/3) (para esquerda e para cima). A esfera menor tende a girar no sentido horário devido a F. No ponto Q, se a esfera gira no sentido horário, o ponto Q se move para baixo e para direita. Então a superfície da esfera menor tende a se mover para baixo e para direita em relação à esfera maior. Portanto, o atrito na esfera menor se opõe a esse movimento, apontando para cima e para esquerda. Então f_e está na direção (-1/3, 2√2/3). Vamos confirmar: Se a esfera menor gira no sentido horário, o ponto Q (no quadrante superior direito) tem velocidade tangencial para baixo e para direita? Vamos calcular: ω no sentido horário (negativo). r = (2√2 R/3, R/3). v = ω × r = (-ω k) × (2√2 R/3 i + R/3 j) = -ω(2√2 R/3)(k×i) - ω(R/3)(k×j) = -ω(2√2 R/3) j - ω(R/3)(-i) = (ω R/3) i - (2√2 ω R/3) j. Então v tem componente x positiva (direita) e y negativa (baixo). Então o movimento relativo da esfera menor em relação à esfera maior é para direita e para baixo. O atrito na esfera menor se opõe, então aponta para esquerda e para cima. Direção (-1/3, 2√2/3). Isso é o que usamos. Então f_e é positivo nessa direção. Agora, vamos reescrever as equações com cuidado. Forças na esfera menor: Σ Fx = F - f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0 (1) Σ Fy = N_p - mg - (1/3) N_e + (2√2/3) f_e = 0 (2) Torque em relação ao centro O1: - F: aplicada em (0, R/2), F = (F, 0). τ = r × F = (0, R/2) × (F, 0) = - F R/2. - f_p: aplicada em (0, -R), f_p = (-f_p, 0). τ = (0, -R) × (-f_p, 0) = - R f_p. - N_e: aplicada em Q, N_e = (-2√2/3 N_e, -1/3 N_e). τ = r × N_e. r = (2√2 R/3, R/3). r_x F_y - r_y F_x = (2√2 R/3)(-1/3 N_e) - (R/3)(-2√2/3 N_e) = -2√2 R N_e/9 + 2√2 R N_e/9 = 0. - f_e: aplicada em Q, f_e = (-f_e/3, 2√2/3 f_e). τ = r × f_e = (2√2 R/3)(2√2/3 f_e) - (R/3)(-f_e/3) = (8 R/9) f_e + (R/9) f_e = R f_e. Então a equação de torque: - F R/2 - R f_p + R f_e = 0 => - F/2 - f_p + f_e = 0 => f_e = F/2 + f_p. (3) Agora, vamos considerar as condições de deslizamento. Caso A: Deslizamento iminente no piso. f_p = μ N_p (assumindo f_p > 0) ou f_p = - μ N_p (assumindo f_p < 0). Vamos testar ambos. Subcaso A1: f_p = μ N_p (positivo). Substitua em (3): f_e = F/2 + μ N_p. Substitua em (1) e (2). Mas vamos usar (2) para N_p. De (2): N_p = mg + (1/3) N_e - (2√2/3) f_e. Substitua f_e: N_p = mg + (1/3) N_e - (2√2/3)(F/2 + μ N_p) = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F - (2√2/3) μ N_p. => N_p (1 + (2√2/3) μ) = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F. Mas μ = √2/8. (2√2/3) μ = (2√2/3)(√2/8) = (2*2)/(24) = 4/24 = 1/6. Então N_p (1 + 1/6) = (7/6) N_p = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F => N_p = (6/7)(mg - (√2/3) F + (1/3) N_e). (4a) Agora, de (1): F - μ N_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0. Substitua f_e: F - μ N_p - (2√2/3) N_e - (1/3)(F/2 + μ N_p) = 0 => F - μ N_p - (2√2/3) N_e - F/6 - (μ/3) N_p = 0 => (5/6) F - μ N_p (1 + 1/3) - (2√2/3) N_e = 0 => (5/6) F - (4/3) μ N_p - (2√2/3) N_e = 0. Multiplicando por 6: 5F - 8 μ N_p - 4√2 N_e = 0. Substitua μ = √2/8: 8 μ = √2. Então: 5F - √2 N_p - 4√2 N_e = 0 => √2 N_p = 5F - 4√2 N_e => N_p = (5F - 4√2 N_e)/√2 = (5F/√2) - 4 N_e. (5a) Iguale (4a) e (5a): (6/7)(mg - (√2/3) F + (1/3) N_e) = (5F/√2) - 4 N_e. Multiplique por 7: 6 mg - 2√2 F + 2 N_e = 35F/√2 - 28 N_e. Multiplique por √2: 6√2 mg - 4F + 2√2 N_e = 35F - 28√2 N_e. => 6√2 mg + 30√2 N_e = 39F => 2√2 mg + 10√2 N_e = 13F => F = (2√2/13) mg + (10√2/13) N_e. (6a) Agora, da equação (5a): N_p = (5F/√2) - 4 N_e. Substitua F: N_p = (5/√2)[(2√2/13)mg + (10√2/13)N_e] - 4 N_e = (10/13)mg + (50/13)N_e - 4 N_e = (10/13)mg + (50/13 - 52/13)N_e = (10/13)mg - (2/13)N_e. Como N_e > 0, N_p < (10/13)mg. Agora, também temos f_p = μ N_p = (√2/8) N_p. E f_e = F/2 + f_p. Agora, precisamos que a esfera permaneça em repouso. A condição para deslizamento no piso é f_p = μ N_p, que já usamos. Para que a esfera não deslize na esfera maior, precisamos |f_e| ≤ μ N_e. Vamos verificar quando f_e atinge μ N_e. f_e = F/2 + f_p = F/2 + μ N_p. Substitua F e N_p: F/2 = (1/2)[(2√2/13)mg + (10√2/13)N_e] = (√2/13)mg + (5√2/13)N_e. μ N_p = (√2/8)[(10/13)mg - (2/13)N_e] = (10√2)/(104)mg - (2√2)/(104)N_e = (5√2/52)mg - (√2/52)N_e. Então f_e = (√2/13 + 5√2/52)mg + (5√2/13 - √2/52)N_e = (4√2/52 + 5√2/52)mg + (20√2/52 - √2/52)N_e = (9√2/52)mg + (19√2/52)N_e. Agora, a condição f_e = μ N_e: (9√2/52)mg + (19√2/52)N_e = (√2/8) N_e. Multiplicando por 52/√2: 9 mg + 19 N_e = (52/8) N_e = 6.5 N_e = (13/2) N_e. => 9 mg = (13/2 - 19) N_e = (13/2 - 38/2) N_e = (-25/2) N_e. Isso dá N_e = - (18/25) mg, que é negativo. Portanto, não há solução com N_e > 0. Isso significa que, assumindo f_p = μ N_p, a condição f_e = μ N_e nunca é atingida para N_e > 0. Na verdade, f_e é sempre menor que μ N_e? Vamos ver: A equação f_e = μ N_e não tem solução positiva. Então, se f_p = μ N_p, o atrito na esfera maior nunca atinge o limite. A esfera deslizaria no piso primeiro? Mas para que a esfera deslize no piso, f_p precisa atingir μ N_p. Mas para F pequeno, vimos que N_e seria negativo. Então f_p = μ N_p só é possível se N_e for negativo, o que não é físico. Portanto, o caso A1 (f_p positivo máximo) não ocorre. Subcaso A2: f_p = - μ N_p (negativo). f_p = - (√2/8) N_p. De (3): f_e = F/2 + f_p = F/2 - μ N_p. De (2): N_p = mg + (1/3) N_e - (2√2/3) f_e = mg + (1/3) N_e - (2√2/3)(F/2 - μ N_p) = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F + (2√2/3) μ N_p. μ = √2/8, então (2√2/3) μ = 1/6. => N_p = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F + (1/6) N_p => (5/6) N_p = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F => N_p = (6/5)(mg - (√2/3) F + (1/3) N_e). (4b) De (1): F - f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0 => F + μ N_p - (2√2/3) N_e - (1/3)(F/2 - μ N_p) = 0 => F + μ N_p - (2√2/3) N_e - F/6 + (μ/3) N_p = 0 => (5/6) F + μ N_p (1 + 1/3) - (2√2/3) N_e = 0 => (5/6) F + (4/3) μ N_p - (2√2/3) N_e = 0. Multiplique por 6: 5F + 8 μ N_p - 4√2 N_e = 0. 8 μ = √2. => 5F + √2 N_p - 4√2 N_e = 0 => √2 N_p = 4√2 N_e - 5F => N_p = 4 N_e - (5F/√2) = 4 N_e - (5√2/2) F. (5b) Iguale (4b) e (5b): (6/5)(mg - (√2/3) F + (1/3) N_e) = 4 N_e - (5√2/2) F. Multiplique por 5: 6 mg - 2√2 F + 2 N_e = 20 N_e - (25√2/2) F. => 6 mg + (25√2/2 - 2√2) F = 18 N_e. => 6 mg + ( (25 - 4)√2/2 ) F = 18 N_e. => 6 mg + (21√2/2) F = 18 N_e => N_e = (1/3) mg + (7√2/12) F. (6b) Agora, N_p = 4 N_e - (5√2/2) F = 4[(1/3)mg + (7√2/12)F] - (5√2/2)F = (4/3)mg + (7√2/3)F - (5√2/2)F = (4/3)mg + (14√2/6 - 15√2/6)F = (4/3)mg - (√2/6)F. Agora, f_e = F/2 - μ N_p = F/2 - (√2/8)[(4/3)mg - (√2/6)F] = F/2 - (√2/8)*(4/3)mg + (√2/8)*(√2/6)F = F/2 - (√2/6)mg + (2/48)F = F/2 + F/24 - (√2/6)mg = (13/24)F - (√2/6)mg. Agora, a condição para que o atrito na esfera maior não atinja o limite: |f_e| ≤ μ N_e. Como f_e pode ser negativo para F pequeno, vamos considerar os dois casos. Se f_e = μ N_e (positivo): (13/24)F - (√2/6)mg = (√2/8)[(1/3)mg + (7√2/12)F] = (√2/24)mg + (7*2)/(96)F = (√2/24)mg + (14/96)F = (√2/24)mg + (7/48)F. Multiplicando tudo por 48: 48*(13/24)F - 48*(√2/6)mg = 48*(√2/24)mg + 48*(7/48)F => 2*13F - 8√2 mg = 2√2 mg + 7F => 26F - 8√2 mg = 2√2 mg + 7F => 19F = 10√2 mg => F = (10√2/19) mg. Se f_e = - μ N_e (negativo): (13/24)F - (√2/6)mg = - (√2/24)mg - (7/48)F. Multiplicando por 48: 26F - 8√2 mg = -2√2 mg - 7F => 33F = 6√2 mg => F = (6√2/33) mg = (2√2/11) mg. Então temos dois valores onde f_e atinge o limite. Qual deles é o primeiro? Para F pequeno, f_e é negativo (pois -√2/6 mg é negativo). Então a condição f_e = - μ N_e é a que ocorre primeiro, porque f_e se torna menos negativo até atingir - μ N_e. Em F = (2√2/11) mg ≈ 0.257 mg, f_e atinge o limite negativo. Para F maior, f_e continua aumentando (passa por zero e se torna positivo). Em F = (10√2/19) mg ≈ 0.744 mg, f_e atinge o limite positivo. Mas a esfera não pode passar de F = (2√2/11) mg sem deslizar? Se em F = (2√2/11) mg o atrito na esfera maior atinge o limite, então para F > (2√2/11) mg, a esfera começaria a deslizar na esfera maior. Portanto, a máxima força é (2√2/11) mg. Mas este valor não está nas alternativas. Vamos verificar se há algum erro na direção da normal ou do atrito. Talvez a normal N_e não tenha componente vertical para baixo? Vamos reavaliar a geometria. O centro da esfera maior: O2 = (x2, 2R). O centro da esfera menor: O1 = (0, R). Distância entre centros: 3R. (x2 - 0)^2 + (2R - R)^2 = (3R)^2 => x2^2 + R^2 = 9R^2 => x2^2 = 8R^2 => x2 = 2√2 R (à direita). Então O2 = (2√2 R, 2R). O vetor de O1 para O2 é (2√2 R, R). O vetor unitário é (2√2/3, 1/3). A normal que a esfera maior exerce na menor é a força de contato. Como as esferas se empurram, a força na esfera menor aponta de O2 para O1? Não, a força normal é perpendicular à superfície. A superfície da esfera maior no ponto de contato tem normal para fora da esfera maior. Essa normal aponta de O2 para Q? Q está na linha dos centros. A normal para fora da esfera maior aponta na direção de O2 para Q, que é a direção de O2 para O1 (para baixo e para esquerda). Então a força que a esfera maior exerce na menor é nessa direção? Vamos pensar na terceira lei de Newton. A esfera menor exerce uma força na esfera maior. Essa força aponta de O1 para O2 (para cima e para direita). A reação da esfera maior na menor aponta de O2 para O1 (para baixo e para esquerda). Então a normal na esfera menor tem componentes negativas em x e y. Isso é o que usamos. Mas vamos considerar o equilíbrio da esfera menor. Se a normal tem componente vertical para baixo, então o piso precisa exercer uma normal maior que o peso. Isso é possível. Mas vamos verificar a equação de torque. O torque da normal em relação ao centro é zero porque a linha de ação passa pelo centro. Correto. Agora, vamos analisar a tendência de movimento. A força F empurra para direita. A esfera menor tende a se mover para direita. A esfera maior impede. A normal N_e aumenta. A esfera menor tende a girar no sentido horário? Vamos ver o torque de F: F aplicada acima do centro, para direita. Em relação ao centro, o vetor posição é (0, R/2). O torque é r × F = (0, R/2) × (F, 0) = - F R/2 (horário). Então F tende a girar a esfera no sentido horário. Para evitar a rotação, o atrito no piso e na esfera maior devem criar torque anti-horário. O atrito no piso: se a esfera tende a girar no sentido horário, o ponto de contato com o piso tende a se mover para a esquerda. Para evitar deslizamento, o atrito do piso deve apontar para a direita (opondo-se ao movimento da superfície para esquerda). Então f_p aponta para a direita. Isso significa que f_p é negativo na nossa convenção (f_p positivo = esquerda). O atrito na esfera maior: o ponto Q tende a se mover para baixo e para direita (como calculado). Para evitar deslizamento, o atrito na esfera maior deve apontar para cima e para esquerda. Então f_e é positivo na nossa convenção (-1/3, 2√2/3). Então ambos os atritos contribuem para o torque anti-horário? Vamos ver: f_p para direita na base cria torque anti-horário? r = (0, -R), F = (f_p, 0) (se f_p é para direita, então F_x = f_p > 0). Torque = r × F = (0, -R) × (f_p, 0) = (0*0 - (-R)*f_p) k = R f_p k. Positivo (anti-horário). Então f_p para direita (negativo na convenção anterior) cria torque anti-horário. Isso equilibra o torque horário de F. O atrito na esfera maior f_e para cima e para esquerda também cria torque anti-horário. Então ambos os atritos ajudam a equilibrar o torque. Mas a equação de torque é: - F R/2 + R f_p (com sinal?) + R f_e = 0. Vamos reescrever a equação de torque com cuidado. Vamos adotar uma convenção consistente para os sinais. Vamos definir: - f_p: componente horizontal do atrito no piso. Positivo se para direita. - f_e: componente tangencial do atrito na esfera maior. Positivo se na direção (1/3, -2√2/3) (para direita e para baixo)? Ou vamos definir f_e positivo na direção que se opõe ao movimento relativo? Melhor definir f_e positivo na direção (-1/3, 2√2/3) (para esquerda e para cima). Então f_e > 0 significa que a esfera maior empurra a esfera menor para esquerda e para cima. Agora, vamos reescrever as equações. Forças na esfera menor: Peso: (0, -mg) F: (F, 0) aplicada em (0, R/2) em relação ao centro. N_p: (0, N_p) em (0, -R). f_p: (f_p, 0) em (0, -R). (f_p positivo = direita) N_e: N_e * (-2√2/3, -1/3) em Q. f_e: f_e * (-1/3, 2√2/3) em Q. (f_e positivo = esquerda e cima) Equações de força: Σ Fx = F + f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0 (1') Σ Fy = N_p - mg - (1/3) N_e + (2√2/3) f_e = 0 (2') Torque em relação ao centro (anti-horário positivo): - F: r = (0, R/2), F = (F, 0). τ = - F R/2. - f_p: r = (0, -R), F = (f_p, 0). τ = R f_p. (porque r_y F_x = (-R)*f_p = -R f_p, mas r × F = (0*0 - (-R)*f_p) = R f_p. Positivo, anti-horário. Correto: f_p para direita na base gira anti-horário). - N_e: τ = 0. - f_e: r = (2√2 R/3, R/3), F = (-f_e/3, 2√2/3 f_e). τ = r_x F_y - r_y F_x = (2√2 R/3)(2√2/3 f_e) - (R/3)(-f_e/3) = (8 R/9) f_e + (R/9) f_e = R f_e. Positivo. Equação de torque: - F R/2 + R f_p + R f_e = 0 => f_e = F/2 - f_p. (3') Comparando com (3) anterior: f_e = F/2 + f_p. A diferença é o sinal de f_p. Na convenção anterior, f_p era positivo para esquerda. Agora f_p é positivo para direita. Então f_p_antigo = - f_p_novo. A equação (3') é a mesma que (3) se substituirmos. Agora, vamos analisar as condições de deslizamento com esta nova convenção. A esfera está em repouso. A força F aumenta. Queremos a máxima F. As condições de falha: 1. Deslizamento no piso: |f_p| = μ N_p. 2. Deslizamento na esfera maior: |f_e| = μ N_e. 3. N_p = 0. 4. N_e = 0. Vamos analisar cada uma. Primeiro, vamos expressar N_p e N_e em função de f_p e F. Da (1'): F + f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0. Substitua f_e = F/2 - f_p: F + f_p - (2√2/3) N_e - (1/3)(F/2 - f_p) = 0 => F + f_p - (2√2/3) N_e - F/6 + f_p/3 = 0 => (5/6)F + (4/3) f_p - (2√2/3) N_e = 0 Multiplique por 6: 5F + 8 f_p - 4√2 N_e = 0 => N_e = (5F + 8 f_p) / (4√2). (4') Da (2'): N_p = mg + (1/3) N_e - (2√2/3) f_e = mg + (1/3) N_e - (2√2/3)(F/2 - f_p) = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F + (2√2/3) f_p. Substitua N_e: N_p = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (1/3)*(5F + 8 f_p)/(4√2) = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (5F + 8 f_p)/(12√2) = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (5F)/(12√2) + (8 f_p)/(12√2) = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (5√2 F)/(24) + (2√2 f_p)/(3*4?) Vamos simplificar: (8 f_p)/(12√2) = (2 f_p)/(3√2) = (2√2 f_p)/6 = (√2 f_p)/3. Então: N_p = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (5√2/24) F + (√2/3) f_p = mg + ( - (√2/3) + (5√2/24) ) F + ( (2√2/3) + (√2/3) ) f_p = mg + ( -8√2/24 + 5√2/24 ) F + (3√2/3) f_p = mg - (3√2/24) F + √2 f_p = mg - (√2/8) F + √2 f_p. (5') Agora, vamos analisar as condições. A esfera menor tende a girar no sentido horário devido a F. Para evitar, f_e deve ser positivo? Vamos ver: f_e = F/2 - f_p. Para que f_e seja positivo (esquerda e cima, anti-horário), precisamos F/2 > f_p. Se f_p for negativo (atrito no piso para esquerda), f_e é ainda maior. Se f_p for positivo (atrito no piso para direita), f_e pode ser negativo se f_p > F/2. Vamos analisar a tendência de movimento. Sem atrito, a esfera não pode equilibrar o torque. O atrito no piso (se f_p for para direita, positivo) cria torque anti-horário. O atrito na esfera maior (f_e positivo) também cria torque anti-horário. Para equilibrar, precisamos que a soma dos torques seja zero. A equação (3') mostra que f_e = F/2 - f_p. Como f_e deve ser positivo para ajudar no torque? Se f_e for negativo, ele cria torque horário, piorando. Então f_e provavelmente é positivo. Isso significa que f_p < F/2. Mas f_p pode ser negativo ou positivo pequeno. Agora, qual atrito atinge o limite primeiro? Vamos testar as combinações. Caso 1: Deslizamento no piso iminente. f_p = μ N_p (positivo, para direita) ou f_p = - μ N_p (negativo, para esquerda). Subcaso 1a: f_p = μ N_p (positivo). Substitua em (5'): N_p = mg - (√2/8) F + √2 μ N_p = mg - (√2/8) F + √2*(√2/8) N_p = mg - (√2/8) F + (2/8) N_p = mg - (√2/8) F + (1/4) N_p. => N_p - N_p/4 = mg - (√2/8) F => (3/4) N_p = mg - (√2/8) F => N_p = (4/3)mg - (4√2/24) F = (4/3)mg - (√2/6) F. Agora, N_e = (5F + 8 f_p)/(4√2) = (5F + 8 μ N_p)/(4√2) = (5F + 8*(√2/8) N_p)/(4√2) = (5F + √2 N_p)/(4√2). Substitua N_p: N_e = (5F + √2[(4/3)mg - (√2/6)F])/(4√2) = (5F + (4√2/3)mg - (2/6)F)/(4√2) = (5F - F/3 + (4√2/3)mg)/(4√2) = ( (15F - F)/3 + (4√2/3)mg )/(4√2) = ( (14F/3) + (4√2/3)mg )/(4√2) = (14F + 4√2 mg)/(12√2) = (7F + 2√2 mg)/(6√2). Agora, f_e = F/2 - f_p = F/2 - μ N_p = F/2 - (√2/8)[(4/3)mg - (√2/6)F] = F/2 - (√2/6)mg + (2/48)F = F/2 + F/24 - (√2/6)mg = (13/24)F - (√2/6)mg. Agora, condição para deslizamento na esfera maior: |f_e| = μ N_e. Como f_e pode ser negativo para F pequeno, vamos resolver f_e = μ N_e e f_e = - μ N_e. f_e = μ N_e: (13/24)F - (√2/6)mg = (√2/8) * (7F + 2√2 mg)/(6√2) = (7F + 2√2 mg)/48. Multiplique por 48: 2*13F - 8√2 mg = 7F + 2√2 mg => 26F - 8√2 mg = 7F + 2√2 mg => 19F = 10√2 mg => F = (10√2/19) mg. f_e = - μ N_e: (13/24)F - (√2/6)mg = - (7F + 2√2 mg)/48. Multiplique por 48: 26F - 8√2 mg = -7F - 2√2 mg => 33F = 6√2 mg => F = (6√2/33) mg = (2√2/11) mg. Agora, precisamos verificar se N_p > 0 e N_e > 0 para esses F. Para F = (2√2/11) mg ≈ 0.257 mg: N_p = (4/3)mg - (√2/6)*(2√2/11)mg = (4/3)mg - (4/66)mg = (88/66 - 4/66)mg = (84/66)mg = (14/11)mg > 0. N_e = (7*(2√2/11) + 2√2)mg / (6√2) = (14√2/11 + 22√2/11)mg / (6√2) = (36√2/11) / (6√2) mg = (6/11)mg > 0. Então OK. Para F = (10√2/19) mg ≈ 0.744 mg: N_p = (4/3)mg - (√2/6)*(10√2/19)mg = (4/3 - 20/114)mg = (152/114 - 20/114)mg = (132/114)mg = (22/19)mg > 0. N_e = (7*(10√2/19) + 2√2)mg / (6√2) = (70√2/19 + 38√2/19)mg / (6√2) = (108√2/19)/(6√2) mg = (18/19)mg > 0. OK. Então ambos os casos são possíveis. Qual ocorre primeiro? Para F pequeno, f_e é negativo. A condição f_e = - μ N_e ocorre em F = (2√2/11) mg. Se F aumentar além disso, f_e se torna menos negativo e eventualmente positivo. Mas a esfera não pode passar desse ponto sem deslizar, porque o atrito na esfera maior teria que exceder o limite? Não, se f_e = - μ N_e, isso significa que f_e atingiu o valor máximo negativo. Se F aumentar, a tendência é que f_e se torne menos negativo (aumente). Mas o atrito estático pode diminuir de magnitude? Sim, o atrito pode se ajustar. Mas se a força F aumentar, a esfera tende a girar mais no sentido horário, então o atrito na esfera maior precisa ser mais positivo (para cima e para esquerda) para equilibrar. Se f_e for negativo, ele ajuda a girar no sentido horário? Vamos ver: f_e negativo significa que a esfera maior puxa a esfera menor para baixo e para direita. Isso cria torque horário, que se soma ao torque de F. Então f_e negativo não ajuda a equilibrar; na verdade, piora. Mas por que a equação de torque dá f_e = F/2 - f_p? Se f_p for grande positivo, f_e pode ser negativo. Mas se f_e é negativo, o torque total seria - F/2 + f_p + f_e = - F/2 + f_p + (F/2 - f_p) = 0. Então é possível equilibrar mesmo com f_e negativo, desde que f_p seja grande o suficiente para compensar. Mas f_p positivo (para direita) cria torque anti-horário. Então a esfera menor pode usar o atrito do piso para equilibrar o torque, e o atrito na esfera maior pode ser negativo (ajudando F). Isso é fisicamente possível? Se a esfera menor tende a girar no sentido horário, o ponto Q tende a se mover para baixo e para direita. Para evitar deslizamento, o atrito na esfera maior deve apontar para cima e para esquerda (positivo). Se o atrito na esfera maior apontar para baixo e para direita (negativo), ele está na mesma direção do movimento relativo, o que não é fisicamente possível para atrito estático. O atrito estático sempre se opõe à tendência de movimento relativo. Se a superfície da esfera menor tende a se mover para baixo e para direita em relação à esfera maior, o atrito na esfera menor deve apontar para cima e para esquerda. Portanto, f_e deve ser positivo! Não pode ser negativo. Então nossa suposição de que f_e pode ser negativo está errada. A tendência de movimento relativo no ponto Q é sempre para baixo e para direita, então o atrito na esfera menor deve apontar para cima e para esquerda (f_e > 0). Portanto, f_e não pode ser negativo. A condição f_e = - μ N_e é impossível porque o atrito não pode apontar na direção do movimento relativo. Então o caso f_e < 0 não ocorre. Isso significa que a equação f_e = - μ N_e não é fisicamente válida. Portanto, descartamos F = (2√2/11) mg. A única condição válida é f_e = μ N_e positivo, que dá F = (10√2/19) mg. Mas espere, se f_e deve ser positivo, então da equação f_e = F/2 - f_p, precisamos F/2 - f_p > 0 => f_p < F/2. Se f_p = μ N_p, isso é satisfeito? Para F = (10√2/19) mg, f_p = μ N_p = (√2/8)*(22/19)mg = (22√2)/(152)mg = (11√2/76)mg ≈ 0.204 mg. F/2 = (5√2/19)mg ≈ 0.372 mg. Então f_p < F/2, então f_e > 0. OK. Mas será que o atrito no piso pode ser negativo? Se f_p for negativo (para esquerda), então f_e = F/2 - f_p > F/2, então f_e é ainda maior. Mas a condição de deslizamento no piso seria |f_p| = μ N_p. Se f_p for negativo, f_p = - μ N_p. Vamos testar esse caso. Subcaso 1b: f_p = - μ N_p (negativo, para esquerda). f_p = - (√2/8) N_p. De (5'): N_p = mg - (√2/8) F + √2 f_p = mg - (√2/8) F + √2 (-√2/8 N_p) = mg - (√2/8) F - (2/8) N_p = mg - (√2/8) F - (1/4) N_p. => N_p + N_p/4 = mg - (√2/8) F => (5/4) N_p = mg - (√2/8) F => N_p = (4/5)mg - (4√2/40) F = (4/5)mg - (√2/10) F. Agora, N_e = (5F + 8 f_p)/(4√2) = (5F + 8 (-√2/8 N_p))/(4√2) = (5F - √2 N_p)/(4√2). Substitua N_p: N_e = (5F - √2[(4/5)mg - (√2/10)F])/(4√2) = (5F - (4√2/5)mg + (2/10)F)/(4√2) = (5F + F/5 - (4√2/5)mg)/(4√2) = ( (25F + F)/5 - (4√2/5)mg )/(4√2) = ( (26F/5) - (4√2/5)mg )/(4√2) = (26F - 4√2 mg)/(20√2) = (13F - 2√2 mg)/(10√2). Agora, f_e = F/2 - f_p = F/2 + μ N_p = F/2 + (√2/8)[(4/5)mg - (√2/10)F] = F/2 + (√2/10)mg - (2/80)F = F/2 + (√2/10)mg - F/40 = (20F/40 - F/40) + (√2/10)mg = (19/40)F + (√2/10)mg. Agora, f_e é sempre positivo (para F > 0). A condição de deslizamento na esfera maior: f_e = μ N_e. (19/40)F + (√2/10)mg = (√2/8) * (13F - 2√2 mg)/(10√2) = (13F - 2√2 mg)/80. Multiplique por 80: 2*(19F) + 8√2 mg = 13F - 2√2 mg => 38F + 8√2 mg = 13F - 2√2 mg => 25F = -10√2 mg => F = - (10√2/25) mg = - (2√2/5) mg. Isso dá F negativo, o que é impossível. Então não há solução com f_p negativo e f_e positivo atingindo o limite. Portanto, a única condição válida é f_p = μ N_p (positivo) e f_e = μ N_e (positivo), que dá F = (10√2/19) mg. Mas espere, ainda temos a possibilidade de deslizamento na esfera maior primeiro, sem o piso atingir o limite. Ou seja, f_e = μ N_e, mas f_p < μ N_p. Vamos analisar. Caso 2: Deslizamento na esfera maior iminente. f_e = μ N_e (positivo). f_e = μ N_e. Da (3'): f_e = F/2 - f_p => f_p = F/2 - f_e = F/2 - μ N_e. Substitua em (4'): N_e = (5F + 8 f_p)/(4√2) = (5F + 8(F/2 - μ N_e))/(4√2) = (5F + 4F - 8 μ N_e)/(4√2) = (9F - 8 μ N_e)/(4√2). 8 μ = √2. Então: N_e = (9F - √2 N_e)/(4√2) => 4√2 N_e = 9F - √2 N_e => 5√2 N_e = 9F => N_e = 9F / (5√2) = (9√2 F)/10. Agora, da (5'): N_p = mg - (√2/8) F + √2 f_p. f_p = F/2 - μ N_e = F/2 - (√2/8) * (9√2 F)/10 = F/2 - (18 F)/(80) = F/2 - (9F/40) = (20F/40 - 9F/40) = 11F/40. Então f_p = 11F/40 (positivo, para direita). N_p = mg - (√2/8) F + √2 * (11F/40) = mg - (√2/8) F + (11√2/40) F = mg + √2 F ( -1/8 + 11/40 ) = mg + √2 F ( -5/40 + 11/40 ) = mg + √2 F (6/40) = mg + (3√2/20) F. Agora, a condição para que o piso não deslize: |f_p| ≤ μ N_p. Como f_p > 0, f_p ≤ μ N_p. 11F/40 ≤ (√2/8)[mg + (3√2/20)F] = (√2/8)mg + (3*2)/(160)F = (√2/8)mg + (6/160)F = (√2/8)mg + (3/80)F. Multiplique por 80: 22F ≤ 10√2 mg + 3F => 19F ≤ 10√2 mg => F ≤ (10√2/19) mg. Portanto, a esfera permanece em repouso se F ≤ (10√2/19) mg. Se F exceder esse valor, o atrito no piso também excederia o limite. Mas qual atinge primeiro? Nós assumimos f_e = μ N_e. A condição para f_p não exceder é F ≤ (10√2/19) mg. Isso significa que para F = (10√2/19) mg, ambos os atritos atingem o limite simultaneamente. Para F < (10√2/19) mg, f_e = μ N_e não é possível porque f_e seria menor que μ N_e? Na verdade, se assumirmos f_e = μ N_e e F < (10√2/19) mg, então f_p = 11F/40 < μ N_p. Mas a esfera está em equilíbrio com f_e = μ N_e? Isso significaria que o atrito na esfera maior está no limite, mas o piso não. Isso é possível? Sim, a esfera pode estar na iminência de deslizar na esfera maior enquanto o piso ainda não atingiu o limite. Mas para que isso aconteça, a força F deve ser tal que f_e atinja o limite. Resolvemos f_e = μ N_e e obtivemos N_e = 9√2 F/10, f_p = 11F/40, N_p = mg + 3√2 F/20. Mas isso é uma solução particular do sistema indeterminado? Na verdade, se f_e = μ N_e, o sistema tem uma solução única para N_e, f_p, N_p em função de F. Mas essa solução só é válida se as condições de não deslizamento no piso forem satisfeitas, ou seja, f_p ≤ μ N_p. Isso dá F ≤ (10√2/19) mg. Portanto, para F < (10√2/19) mg, a esfera pode estar em equilíbrio com f_e = μ N_e? Mas isso significaria que o atrito na esfera maior está no limite, mas a esfera ainda está em repouso? Se o atrito está no limite, qualquer aumento infinitesimal de F faria a esfera deslizar na esfera maior. Mas se F é menor que o valor crítico, por que o atrito estaria no limite? O atrito estático só atinge o limite quando a esfera está na iminência de deslizar. Se F é menor, a esfera não está na iminência de deslizar na esfera maior; então f_e < μ N_e. Portanto, a solução f_e = μ N_e só é fisicamente relevante quando F atinge o valor crítico. Para F menor, f_e < μ N_e. Então a condição de deslizamento na esfera maior não é atingida até F = (10√2/19) mg. Nesse ponto, f_e = μ N_e e f_p = μ N_p simultaneamente? Vimos que em F = (10√2/19) mg, f_p = 11F/40 = 11/40 * (10√2/19) mg = (110√2)/(760) mg = (11√2/76) mg. E μ N_p = (√2/8) N_p = (√2/8)[mg + (3√2/20)F] = (√2/8)mg + (3*2/160)F = (√2/8)mg + (3/80)F. Em F = (10√2/19) mg, μ N_p = (√2/8)mg + (3/80)*(10√2/19)mg = (√2/8)mg + (30√2)/(1520)mg = (√2/8)mg + (3√2)/(152)mg = (19√2/152 + 3√2/152)mg = (22√2/152)mg = (11√2/76)mg. Sim, coincide. Então em F = (10√2/19) mg, ambos os atritos atingem o limite simultaneamente. Portanto, a máxima força é (10√2/19) mg. Agora, vamos comparar com as alternativas. A alternativa D é 10√2/19 mg. Então a resposta parece ser D. Mas vamos verificar se há algum outro modo de falha. N_p = 0? N_p = mg + (3√2/20) F > 0 para todo F > 0. N_e = 9√2 F/10 > 0. Então não perde contato. Portanto, a resposta é D) 10√2/19 mg. Vamos confirmar se a alternativa C (√18/19 mg = 3√2/19 mg ≈ 0.223 mg) poderia ser o caso onde f_e atinge o limite negativo? Mas vimos que f_e não pode ser negativo. Então C está descartada. A alternativa A (2√2/5 mg = 0.4√2 ≈ 0.566 mg) e E (5√2/9 mg ≈ 0.785 mg) não correspondem aos nossos cálculos. Portanto, a resposta correta é D. Vamos fazer uma última verificação dos cálculos. Equações: (1') F + f_p - (2√2/3) N_e - (1/3) f_e = 0 (2') N_p - mg - (1/3) N_e + (2√2/3) f_e = 0 (3') f_e = F/2 - f_p Substituindo (3') em (1'): F + f_p - (2√2/3) N_e - (1/3)(F/2 - f_p) = 0 F + f_p - (2√2/3) N_e - F/6 + f_p/3 = 0 (5/6)F + (4/3) f_p - (2√2/3) N_e = 0 Multiplicando por 6: 5F + 8 f_p - 4√2 N_e = 0 => N_e = (5F + 8 f_p)/(4√2). OK. Substituindo (3') em (2'): N_p = mg + (1/3) N_e - (2√2/3)(F/2 - f_p) = mg + (1/3) N_e - (√2/3) F + (2√2/3) f_p. Substituindo N_e: N_p = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (1/3)*(5F + 8 f_p)/(4√2) = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (5F + 8 f_p)/(12√2) = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (5F)/(12√2) + (8 f_p)/(12√2) = mg - (√2/3) F + (2√2/3) f_p + (5√2 F)/24 + (2 f_p)/(3√2) = mg + ( -8√2/24 + 5√2/24 ) F + ( (2√2/3) + (2√2/6) ) f_p? Vamos calcular (2 f_p)/(3√2) = (2√2 f_p)/6 = (√2/3) f_p. Então: N_p = mg - (3√2/24) F + (2√2/3 + √2/3) f_p = mg - (√2/8) F + √2 f_p. OK.

**Analyzing Sphere Interactions** I'm currently focused on dissecting the problem's initial conditions, specifically detailing the masses and radii of the two contacting spheres. My next step involves calculating the forces exerted by gravity and the supporting surfaces. **Calculating Forces** I've established the geometry, with the smaller sphere having radius R and mass m, and the larger, fixed sphere having radius 2R. My focus is now on determining the static friction coefficients and the point of force application to find the maximum applied force before motion begins. **Deriving Geometry** I've calculated the horizontal and vertical separations between the sphere centers ($\Delta x = 2\sqrt{2}R$, $\Delta y = R$) and derived the angle $\theta$ where $\cos\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ and $\sin\theta = \frac{1}{3}$. I am now analyzing the normal force direction and the tendency of slip to determine friction. **Analyzing Forces** I'm now considering the forces acting on the smaller sphere, including its weight acting downwards. My current focus is on the direction and magnitude of the forces at the points of contact, which will allow me to set up the equilibrium equations for static analysis. **Resolving Force Vectors** I'm refining the application point of the external horizontal force $\vec{F}$, noting it's applied to the smaller sphere's surface at a height of $3R/2$. My current focus is on calculating the resulting torque with respect to the smaller sphere's center to establish equilibrium conditions. **Analyzing Torque Direction** I'm re-evaluating the direction of torque generated by static friction with the ground. I've confirmed that applying a leftward friction force at the base results in a clockwise torque about the sphere's center, which I am now incorporating into my equilibrium equations. **Verifying Torque** I am confirming the direction of torque from friction with the larger sphere. The thought experiment using a clock face and the vector cross-product with the static friction force at the base of the smaller sphere has confirmed a clockwise torque, which I am now integrating into my equations. **Evaluating Friction Torque** I am analyzing the torque generated by friction force $\vec{f}_2$ at the contact point between the spheres. The radial unit vector $\hat{u}$ from $C_1$ to $C_2$ and the tangential unit vector $\hat{t} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ are established. My current focus is determining the direction of $\vec{f}_2$ and calculating the resulting torque $\vec{\tau}_{f2}$ about $C_1$. **Revising Torque Direction** I'm reassessing the torque contribution from friction with the larger sphere. Initially, I thought it was clockwise, but considering the resultant forces, it must be counter-clockwise to balance the torques from the applied force and ground friction. This means $\vec{f}_2$ must generate an anti-clockwise torque. **Revising Torque Direction** I'm reassessing the torque contribution from friction with the larger sphere. Initially, I thought it was clockwise, but considering the resultant forces, it must be counter-clockwise to balance the torques from the applied force and ground friction. This means $\vec{f}_2$ must generate an anti-clockwise torque. **Resolving Torque and Forces** I've confirmed the counter-clockwise torque from friction with the large sphere. Now, I'm using this and the vertical/horizontal force equilibrium equations to solve for the unknown forces $f_{1x}$, $f_2$, and $N_2$, and will then verify these against the static friction limits. **Solving for Unknown Forces** I've successfully incorporated the counter-clockwise torque from the large sphere into my equilibrium equations. Now, I am systematically solving these equations to determine the unknown forces ($f_{1x}$, $f_2$, and $N_2$), which will be the final step before verifying them against the static friction limits. **Determining Friction Conditions** I'm exploring the conditions for static equilibrium, particularly the interplay of forces and torques. The key is identifying the specific point where slipping might occur—whether at the ground contact or the inter-sphere contact, or both simultaneously. My current focus is on the indeterminate nature of the friction forces and how to define the conditions for impending motion. **Analyzing Sphere Movement** I am currently evaluating the degrees of freedom for the smaller sphere, considering its contact with both the ground and the fixed larger sphere. I'm analyzing four potential modes of motion and comparing them against calculated force values. **Evaluating Motion Modes** I've analyzed four potential modes of motion for the smaller sphere. I am now focusing on how the coefficient of friction $\mu = \frac{\sqrt{2}}{8}$ relates to the forces $N_2$ and $f_2$ in these scenarios, specifically investigating if the condition $f_2 = \mu N_2$ is met. **Solving for Final Forces** I've confirmed the relationships between forces using the equilibrium equations. My current task is to substitute the derived expressions to solve for the unknown forces ($f_{1x}$, $f_2$, and $N_2$) in terms of the applied force $F$, and then determine $N_1$. **Confirming Solution Path** I've successfully derived expressions for the unknown forces and confirmed that my solution for the maximum applied force $F$ matches option D. I am now meticulously re-checking all physical and mathematical steps to ensure absolute correctness before declaring this path complete. **Revising Force Direction** I'm questioning my previous confirmation of option D, suspecting option C might be plausible due to potential sign conventions with friction. I'm meticulously re-deriving the equilibrium equations, paying close attention to the signs of $f_1$ and $f_2$ to ensure accurate force calculations and resolve this discrepancy. **Rethinking Force Signs** I'm re-examining the signs of friction forces $f_1$ and $f_2$. It appears my previous assumption about option D's correctness may have stemmed from a sign convention error in my derivation, and I'm now systematically recalculating to determine if option C is the accurate outcome. **Revising Force and Friction** I'm re-evaluating the friction conditions, particularly the range of $f_2$ based on force equilibrium and the coefficient of friction. I am now focusing on the inequalities derived from the static friction limits at both contact points to determine the final valid range for $f_2$. **Checking Friction Limits** I am analyzing the inequalities derived from static friction at both contact points. The goal is to define the valid range for $f_2$ by ensuring the upper limit is greater than or equal to the lower limit, thus guaranteeing a solution for static equilibrium exists. **Checking Friction Limits** I am analyzing the inequalities derived from static friction at both contact points. The goal is to define the valid range for $f_2$ by ensuring the upper limit is greater than or equal to the lower limit, thus guaranteeing a solution for static equilibrium exists. My analysis of the inequalities $\max(\text{lower limits}) \le \min(\text{upper limits})$ confirms that the conditions are met, and thus a stable equilibrium is possible. **Confirming Equilibrium Conditions** I have confirmed that the derived inequalities for static equilibrium are satisfied. This means the forces and torques are consistent, and the conditions for impending motion are not yet met, indicating a stable state. I am now proceeding to finalize the solution based on these validated conditions. **Finalizing Solution Path** I've confirmed the inequalities for static equilibrium are satisfied. My current focus is on the numerical comparison of the derived upper limits for the applied force $F$. I have identified two key constraints: $F \le 4\sqrt{2} mg$ and $F \le \frac{10\sqrt{2}}{19} mg$. I am now determining which of these limits is more restrictive, as this will define the maximum allowable applied force. **Analyzing Force Magnitude** I am re-evaluating the physical parameters. The most restrictive constraint on the applied force $F$ is $\frac{10\sqrt{2}}{19} mg$, not $4\sqrt{2} mg$. I am now investigating how option C ($\frac{3\sqrt{2}}{19} mg$) might arise from potential sign convention errors in the torque calculations, specifically if the applied force were positioned differently. **Confirming Calculation Path** I am re-evaluating the torque direction from the applied force, confirming it is indeed clockwise. My previous doubts regarding option C stemmed from a potential misinterpretation of sign conventions within the friction components. I am now meticulously verifying all derivations to solidify the correct force and torque balance. **Analyzing Force Magnitudes** I am re-evaluating the numerical constraints on the applied force $F$. The most restrictive limit is $\frac{10\sqrt{2}}{19} mg$, not $4\sqrt{2} mg$. I am now investigating how option C, $\frac{3\sqrt{2}}{19} mg$, might be a result of sign errors in torque calculations, specifically if the applied force's position was misinterpreted. **Revising Torque Equation** I'm re-examining my torque equation around $C_1$. It appears I previously omitted the term for the torque due to $f_{1x}$ acting at radius R. I'm now correcting this to reflect the actual force balance and will proceed with solving the system. **Revising Force Equation** I'm re-examining my torque equation around C1 and have identified an error in the calculation of $f_{1x}$. I'm correcting this, incorporating the new $f_{1x}$ value, and am now recalculating the friction force limits and the maximum applied force $F$ based on these updated values.