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levou 18 s
Como pensou
Sejam a_1,b_1 e a_2,b_2 os semieixos maior e menor das elipses E_1 e E_2, respectivamente. Como elas têm os mesmos focos, possuem a mesma distância focal 2c.
A excentricidade é e=c/a. Assim,
e_1=2e_2
\;\Rightarrow\;
\frac{c}{a_1}=2\frac{c}{a_2}
\;\Rightarrow\;
a_2=2a_1.
Como a área é proporcional ao produto dos semieixos,
\frac{A_2}{A_1}=\frac{a_2b_2}{a_1b_1}=6.
Substituindo a_2=2a_1, obtemos b_2=3b_1.
Para uma elipse, c^2=a^2-b^2. Portanto,
a_1^2-b_1^2=a_2^2-b_2^2
=4a_1^2-9b_1^2,
de onde
8b_1^2=3a_1^2.
Logo,
e_1^2=\frac{c^2}{a_1^2}
=1-\frac{b_1^2}{a_1^2}
=1-\frac38=\frac58,
e, consequentemente,
\boxed{e_1=\sqrt{\frac58}=\frac{\sqrt{10}}4}.
Resposta: E
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levou 16 s
Como pensou
Sejam a_1,b_1 e a_2,b_2 os semieixos maior e menor de E_1 e E_2, respectivamente. Como as elipses têm os mesmos focos, possuem a mesma distância c do centro a cada foco.
A excentricidade é e=c/a. Assim,
e_1=2e_2
\quad\Rightarrow\quad
\frac{c}{a_1}=2\frac{c}{a_2}
\quad\Rightarrow\quad
a_2=2a_1.
Como a área é proporcional ao produto dos semieixos,
a_2b_2=6a_1b_1
\quad\Rightarrow\quad
2a_1b_2=6a_1b_1
\quad\Rightarrow\quad
b_2=3b_1.
Para uma elipse, c^2=a^2-b^2. Portanto,
a_1^2-b_1^2=a_2^2-b_2^2=4a_1^2-9b_1^2,
de onde
3a_1^2=8b_1^2
\quad\Rightarrow\quad
\frac{b_1^2}{a_1^2}=\frac38.
Logo,
e_1=\sqrt{1-\frac{b_1^2}{a_1^2}}
=\sqrt{\frac58}
=\frac{\sqrt{10}}4.
Resposta: E
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levou 10 s
Como pensou
Seja c a distância do centro de cada elipse a um foco. Para uma elipse de excentricidade e, temos
a=\frac{c}{e},\qquad b=a\sqrt{1-e^2},
em que a e b são os semieixos maior e menor. Como a área é proporcional a ab,
A\propto \frac{c^2\sqrt{1-e^2}}{e^2}.
Defina e_2=x. Como e_1=2e_2, e A_2=6A_1,
6=\frac{A_2}{A_1}
=4\sqrt{\frac{1-x^2}{1-4x^2}}.
Elevando ao quadrado e isolando x^2:
\frac{1-x^2}{1-4x^2}=\frac94
\quad\Longrightarrow\quad x^2=\frac5{32}.
Logo,
e_1=2x=\sqrt{\frac58}=\frac{\sqrt{10}}4.
Resposta: E
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levou 18 s
Como pensou
Since both ellipses share the same foci c, with e1 = 2e2, I'm setting e1=e, e2=e/2 and expressing a1, a2, b1, b2 in terms of c and e, using the condition that E2's area is 6 times E1's area.
Setting up the ratio a2b2/(a1b1) = 6 gives 4√(1−e²/4)/√(1−e²) = 6, which simplifies to 8e² = 5, so e² = 5/8 and e = √10/4. The answer is E.
Montando o problema
Como as elipses têm os mesmos focos, a distância focal c é a mesma para ambas. Sejam e_1 = e e e_2 = e/2 as excentricidades.
Para cada elipse: a = \dfrac{c}{e} e b = a\sqrt{1-e^2}.
- E_1: a_1 = \dfrac{c}{e}, b_1 = \dfrac{c}{e}\sqrt{1-e^2}
- E_2: a_2 = \dfrac{2c}{e}, b_2 = \dfrac{2c}{e}\sqrt{1-\dfrac{e^2}{4}}
Razão entre as áreas
A área é proporcional a a\cdot b, logo:
\frac{A_2}{A_1} = \frac{a_2 b_2}{a_1 b_1} = \frac{\dfrac{4c^2}{e^2}\sqrt{1-\dfrac{e^2}{4}}}{\dfrac{c^2}{e^2}\sqrt{1-e^2}} = \frac{4\sqrt{1-\dfrac{e^2}{4}}}{\sqrt{1-e^2}} = 6
Assim:
\frac{1-\dfrac{e^2}{4}}{1-e^2} = \frac{9}{4} \;\Rightarrow\; 4 - e^2 = 9 - 9e^2 \;\Rightarrow\; 8e^2 = 5 \;\Rightarrow\; e^2 = \frac{5}{8}
e = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}
Verificação: e_1 = \sqrt{10}/4 \approx 0{,}79 < 1 e e_2 = \sqrt{10}/8 < 1, ambas válidas.
Resposta: E
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levou 16 s
Como pensou
Using shared foci with eccentricity ratio e1=2e2 gives a2=2a1, and the area ratio gives b2=3b1. Substituting into b²=a²-c² for both ellipses and solving, I get 8c²=5a1², so e1²=5/8.
So e1 = √(5/8) = √10/4.
Resposta: E, com e_1 = \dfrac{\sqrt{10}}{4}.
-
Mesmos focos. As duas elipses têm a mesma semidistância focal c. Logo e_1 = \dfrac{c}{a_1} e e_2 = \dfrac{c}{a_2}.
-
Relação das excentricidades. De e_1 = 2e_2 vem \dfrac{c}{a_1} = \dfrac{2c}{a_2}, ou seja, a_2 = 2a_1.
-
Relação das áreas. A área é proporcional a a\,b. Assim, a_2 b_2 = 6\,a_1 b_1, o que dá 2a_1 b_2 = 6a_1 b_1 e, portanto, b_2 = 3b_1.
-
Uso de b^2 = a^2 - c^2.
b_2^2 = 9b_1^2 \;\Rightarrow\; 4a_1^2 - c^2 = 9(a_1^2 - c^2) \;\Rightarrow\; 8c^2 = 5a_1^2.
-
Excentricidade de E_1.
e_1^2 = \frac{c^2}{a_1^2} = \frac{5}{8} \;\Rightarrow\; e_1 = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}.
Resposta: E
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levou 8 s
Como pensou
Sejam c a semidistância focal (comum às duas elipses), e₁ = c/a₁ e e₂ = c/a₂ as excentricidades, com a₁ e a₂ os semieixos maiores.
Relação entre as excentricidades: e₁ = 2e₂ implica a₂ = 2a₁.
Semieixo menor: b² = a² − c².
- Em E₁: b₁² = a₁² − c².
- Em E₂: b₂² = 4a₁² − c².
Área: proporcional a a·b, e a área de E₂ é seis vezes a de E₁:
a₂b₂ = 6a₁b₁ ⇒ 2a₁b₂ = 6a₁b₁ ⇒ b₂ = 3b₁ ⇒ b₂² = 9b₁².
Então:
4a₁² − c² = 9(a₁² − c²) ⇒ 8c² = 5a₁² ⇒ c²/a₁² = 5/8.
Logo e₁ = √(5/8) = √5/(2√2) = √10/4.
Verificação: e₂ = e₁/2 = √10/8, e₂² = 10/64 = 5/32. Como a₂² = 4a₁², c²/a₂² = (5/8)/4 = 5/32, o que confere.
Resposta: E
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levou 44 s
Como pensou
The problem involves ellipses in Portuguese.
The problem asks for the eccentricity of E1 given that both ellipses share the same foci, E1's excentricidade is twice E2's, and E2's area is six times E1's. The relationship between semi-major axis, semi-minor axis, focus distance, and eccentricity will be used to solve it.
Since both ellipses share the same foci, their linear eccentricity c is identical.
Since e1 = 2e2 and c is constant, a2 = 2a1. The area relationship gives a2b2 = 6a1b1.
Using the constraint c² = a² − b² for both ellipses and substituting a2 = 2a1 and b2 = 3b1 yields 8b1² = 3a1². This gives b1/a1 = √6/4. Then c² = a1²(5/8), so e1² = 5/8 and e1 = √10/4.
The area ratio checks out exactly. A numerical check confirms the shared focus distance c is identical for both ellipses. The answer is option E.
A condição de que as elipses E_1 e E_2 possuem os mesmos focos implica que a distância c do centro a cada foco é a mesma para ambas. Denotando por a_1, b_1 e a_2, b_2 os semi-eixos de E_1 e E_2, respectivamente, as excentricidades são e_1=c/a_1 e e_2=c/a_2.
A relação e_1=2e_2 fornece imediatamente a_2=2a_1. Como a área de uma elipse é proporcional ao produto dos eixos, a condição de que a área de E_2 é seis vezes a área de E_1 se traduz em a_2b_2=6a_1b_1. Substituindo a_2=2a_1 obtém-se b_2=3b_1.
A identidade c^2=a^2-b^2, válida para ambas as elipses, produz então
a_1^2-b_1^2=(2a_1)^2-(3b_1)^2,
que se simplifica para b_1^2/a_1^2=3/8. Consequentemente,
e_1^2=\frac{c^2}{a_1^2}=1-\frac{b_1^2}{a_1^2}=\frac{5}{8},
donde e_1=\sqrt{10}/4. (O valor é menor que 1, e a elipse E_2 correspondente também é admissível.)
Resposta: E
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levou 7 s
Como pensou
We need answer question. Need solve. Let's restate.
Problem in Portuguese: "Sabe-se que a área de uma elipse é proporcional ao produto das medidas de seus eixos maior e menor. Considere duas elipses, E1 e E2, ambas com os mesmos focos. Sabe-se que a excentricidade de E1 é duas vezes a de E2 e que a área de E2 é seis vezes a de E1. O valor da excentricidade de E1 é"
Translation: Area of ellipse proportional to product of major and minor axes. Consider two ellipses E1 and E2, both with same foci. Eccentricity of E1 is twice that of E2 and area of E2 is six times area of E1. Value of eccentricity of E1 is options: sqrt(10)/16, sqrt(5)/8, sqrt(10)/8, sqrt(5)/4, sqrt(10)/4.
Need solve.
Let ellipse semi-major axis a, semi-minor b, focal distance c, eccentricity e = c/a (0<e<1). Area = π a b (proportional to product 2a*2b = 4ab). Same foci means same c (distance from center to foci). Eccentricity e = c/a => a = c/e. Also b^2 = a^2 - c^2 = a^2(1 - e^2) => b = a sqrt(1-e^2). Area = π a^2 sqrt(1-e^2) = π c^2 / e^2 * sqrt(1-e^2)? Let's derive: a=c/e, so area = π (c/e)^2 sqrt(1-e^2) = π c^2 sqrt(1-e^2)/e^2.
Let e1 = eccentricity E1, e2 = eccentricity E2. Given e1 = 2 e2 => e2 = e1/2. Areas ratio A2/A1 = 6. Since same c, A = π c^2 sqrt(1-e^2)/e^2. Ratio A2/A1 = [sqrt(1-e2^2)/e2^2] / [sqrt(1-e1^2)/e1^2] = (e1^2/e2^2) * sqrt((1-e2^2)/(1-e1^2)) = (e1^2/(e1^2/4)) * sqrt((1 - e1^2/4)/(1 - e1^2)) = 4 * sqrt((1 - e1^2/4)/(1 - e1^2)) = 6.
So sqrt((1 - e1^2/4)/(1 - e1^2)) = 6/4 = 3/2. Square: (1 - e1^2/4)/(1 - e1^2) = 9/4. Cross: 4(1 - e1^2/4) = 9(1 - e1^2) => 4 - e1^2 = 9 - 9 e1^2 => 8 e1^2 = 5 => e1^2 = 5/8 => e1 = sqrt(5/8) = sqrt5 / (2 sqrt2) = sqrt10/4? Check: sqrt(5/8)= sqrt(10/16)= sqrt10/4. Option D. Yes.
Need provide explanation in Portuguese. Final line Resposta: D. Need include reasoning maybe concise.
Let's craft answer with equations, proper formatting. Desired oververbosity 5. Need likely not mention image? We can explain.
Let's ensure no alternative interpretations: Area proportional to product of axes: area = k * (2a)*(2b)=4kab = πab if k=π/4. Same foci => same c. Eccentricity e=c/a. e1=2e2, area2=6 area1. We found e1=sqrt10/4. Option D.
Need maybe include "excentricidade" definition. Final line exactly "Resposta: D". Good.
Sejam:
- a_i o semieixo maior da elipse E_i;
- b_i o semieixo menor;
- c a distância focal comum às duas elipses;
- e_i a excentricidade de E_i.
Temos:
e_i=\frac{c}{a_i}\quad\Rightarrow\quad a_i=\frac{c}{e_i}
e
b_i^2=a_i^2-c^2=a_i^2(1-e_i^2)\quad\Rightarrow\quad b_i=a_i\sqrt{1-e_i^2}.
Como a área da elipse é proporcional a a_i b_i, podemos escrever:
A_i \propto a_i b_i
= a_i^2\sqrt{1-e_i^2}
= \frac{c^2}{e_i^2}\sqrt{1-e_i^2}.
Assim, a razão entre as áreas é:
\frac{A_2}{A_1}
=
\frac{\frac{c^2}{e_2^2}\sqrt{1-e_2^2}}{\frac{c^2}{e_1^2}\sqrt{1-e_1^2}}
=
\left(\frac{e_1}{e_2}\right)^2
\sqrt{\frac{1-e_2^2}{1-e_1^2}}.
Dado que e_1=2e_2, isto é, e_2=\frac{e_1}{2}, e que A_2=6A_1, temos:
6=
\left(\frac{e_1}{e_1/2}\right)^2
\sqrt{\frac{1-\frac{e_1^2}{4}}{1-e_1^2}}
=
4\sqrt{\frac{1-\frac{e_1^2}{4}}{1-e_1^2}}.
Logo:
\sqrt{\frac{1-\frac{e_1^2}{4}}{1-e_1^2}}
=
\frac{6}{4}
=
\frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado:
\frac{1-\frac{e_1^2}{4}}{1-e_1^2}
=
\frac{9}{4}.
Portanto:
4\left(1-\frac{e_1^2}{4}\right)=9(1-e_1^2)
4-e_1^2=9-9e_1^2
8e_1^2=5
e_1^2=\frac{5}{8}
e_1=\sqrt{\frac{5}{8}}
=
\frac{\sqrt{10}}{4}.
Resposta: D
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levou 22 s
Como pensou
**Analyzing Ellipse Relationships**
I'm currently delving into the properties of two ellipses sharing identical foci. My focus is on how their major and minor axes, along with their eccentricities, interrelate given the area's proportionality to the product of these axes.
**Deriving Eccentricity Values**
I've successfully derived the relationship between the semi-major axes and semi-minor axes, leading to the square of the foci-to-vertex distance relative to the square of the semi-major axis for the first ellipse. This has allowed me to calculate its eccentricity.
**Calculating Eccentricity Values**
I've confirmed that the relationship $a_2 = 2a_1$ and $b_2 = 3b_1$ holds given the area ratio. By substituting these into the ellipse metric equation, I've derived $c^2/a_1^2 = 5/8$, leading to the eccentricity $e_1 = \sqrt{5/8}$.
Para resolver a questão, vamos utilizar as propriedades geométricas e métricas das elipses:
-
Mesmos focos:
Como as elipses E_1 e E_2 possuem os mesmos focos, a distância focal 2c é igual para ambas. Portanto:
c_1 = c_2 = c
-
Relação entre as excentricidades:
A excentricidade de uma elipse é definida por e = \frac{c}{a}, onde a é o semi-eixo maior.
Dado que a excentricidade de E_1 é duas vezes a de E_2 (e_1 = 2e_2):
\frac{c}{a_1} = 2 \cdot \frac{c}{a_2} \implies a_2 = 2a_1
-
Relação entre as áreas:
A área de uma elipse com semi-eixos a e b é proporcional ao produto de seus eixos maior e menor (2a e 2b), ou seja, a área é dada por A = \pi a b.
Como a área de E_2 é seis vezes a de E_1 (A_2 = 6A_1):
a_2 b_2 = 6 a_1 b_1
Substituindo a_2 = 2a_1:
(2a_1) b_2 = 6 a_1 b_1 \implies b_2 = 3b_1 \implies b_2^2 = 9b_1^2
-
Relação fundamental da elipse:
Para qualquer elipse, temos a^2 = b^2 + c^2, logo b^2 = a^2 - c^2. Aplicando para E_1 e E_2:
b_1^2 = a_1^2 - c^2
b_2^2 = a_2^2 - c^2 = (2a_1)^2 - c^2 = 4a_1^2 - c^2
Substituindo na igualdade b_2^2 = 9b_1^2:
4a_1^2 - c^2 = 9(a_1^2 - c^2)
4a_1^2 - c^2 = 9a_1^2 - 9c^2
8c^2 = 5a_1^2 \implies \frac{c^2}{a_1^2} = \frac{5}{8}
-
Cálculo da excentricidade e_1:
e_1 = \frac{c}{a_1} = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}
Resposta: E
