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levou 17 s
Como pensou
Para chegar à Lua, a nave precisa superar o máximo da energia potencial gravitacional entre a Terra e a Lua.
Seja x a distância da nave ao centro da Terra. A energia potencial por unidade de massa é
\phi(x)=-\frac{GM}{x}-\frac{GM}{81(D-x)}.
O máximo dessa função ocorre no ponto em que as atrações gravitacionais da Terra e da Lua se equilibram:
\frac{GM}{x^2}=\frac{GM}{81(D-x)^2}.
Portanto,
x=9(D-x)\quad\Rightarrow\quad x_*=\frac{9D}{10},
cuja distância ao centro da Lua é D/10. Antes desse ponto, a força resultante freia a nave; depois dele, acelera-a em direção à Lua.
Desprezando a altura da órbita inicial, a nave parte de x=R. Pela conservação da energia, a velocidade crítica satisfaz
\frac{v_{\mathrm{crit}}^2}{2}+\phi(R)=\phi(x_*).
Substituindo:
\frac{v_{\mathrm{crit}}^2}{2}
-\frac{GM}{R}-\frac{GM}{81(D-R)}
=
-\frac{10GM}{9D}-\frac{10GM}{81D}.
Logo,
\boxed{
v_{\mathrm{crit}}=
\sqrt{2GM\left[
\left(\frac1R-\frac{10}{9D}\right)
+\frac1{81}\left(\frac1{D-R}-\frac{10}{D}\right)
\right]}
}.
Para v_0>v_{\mathrm{crit}}, a nave ultrapassa o ponto de equilíbrio e segue até a Lua. Na igualdade, ela apenas se aproximaria assintoticamente desse ponto.
Resposta: C
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levou 13 s
Como pensou
Para chegar à Lua, a nave precisa ultrapassar o máximo da energia potencial gravitacional entre os dois astros. Depois desse ponto, a atração lunar passa a superar a terrestre.
Seja x a distância da nave ao centro da Terra. Como a massa da Lua é M/81, o ponto de equilíbrio das forças satisfaz
\frac{GMm}{x^2}=\frac{GMm}{81(D-x)^2}.
Assim,
x=9(D-x)\quad\Rightarrow\quad x_*=\frac{9D}{10},
e sua distância ao centro da Lua é D/10.
A energia potencial da nave é
U(x)=-\frac{GMm}{x}-\frac{GMm}{81(D-x)}.
Ela é máxima em x_*. No início, desprezando a altura orbital, x=R, portanto
U_i=-\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{81(D-R)}.
No ponto de máximo,
U_*=-\frac{10GMm}{9D}-\frac{10GMm}{81D}.
Pela conservação da energia, a velocidade crítica corresponde a chegar a esse máximo com velocidade tendendo a zero:
\frac12 mv_{\mathrm{crit}}^2+U_i=U_*.
Logo,
\boxed{
v_{\mathrm{crit}}=
\sqrt{2GM\left[
\left(\frac1R-\frac{10}{9D}\right)
+\frac1{81}\left(\frac1{D-R}-\frac{10}{D}\right)
\right]}
}.
Para v_0>v_{\mathrm{crit}}, a nave ultrapassa a barreira de potencial e consegue chegar à Lua. Essa expressão corresponde à alternativa C.
Resposta: C
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levou 12 s
Como pensou
Seja x a distância da nave ao centro da Terra ao longo da linha Terra–Lua. O ponto crítico que a nave precisa ultrapassar é aquele em que as atrações gravitacionais da Terra e da Lua se equilibram:
\frac{GM}{x^2}=\frac{G(M/81)}{(D-x)^2}
\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{9D}{10}.
Esse ponto corresponde ao máximo do potencial gravitacional ao longo do trajeto. No limite da velocidade necessária, a nave chega a ele com velocidade nula.
Por unidade de massa, o potencial gravitacional é
U(x)=-\frac{GM}{x}-\frac{GM}{81(D-x)}.
A nave parte de x=R, então a conservação da energia fornece
\frac{v_0^2}{2}+U(R)=U\left(\frac{9D}{10}\right).
Substituindo os potenciais e isolando v_0:
v_0=
\sqrt{2GM\left[
\left(\frac1R-\frac{10}{9D}\right)
+\frac1{81}\left(\frac1{D-R}-\frac{10}{D}\right)
\right]}.
A expressão corresponde à alternativa C.
Resposta: C
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levou 14 s
Como pensou
I need to find where gravitational pulls from Earth and Moon balance along the line connecting them, so the spacecraft needs just enough speed to coast past that critical point. Setting the ratio of distances based on the mass ratio (Moon being 1/81 of Earth's mass), I find the balance point sits at a distance ratio where D−x equals x/9, giving x = 9 units from Earth relative to the total separation.
Using energy conservation from the starting point near Earth's surface to this balance point (where kinetic energy can just reach zero), I'm setting up the equation equating initial kinetic plus potential energy to the potential energy at the balance point. Solving for v0² gives an expression involving 1/R, 10/(9D), and the analogous terms for the Moon's pull divided by 81, which matches one of the answer choices (option C).
Ideia: para a nave chegar à Lua partindo da Terra ao longo da reta Terra–Lua, ela precisa ultrapassar o ponto em que as atrações gravitacionais da Terra e da Lua se equilibram (a partir daí, a Lua "puxa" a nave). A velocidade mínima é aquela com que a nave chega a esse ponto com velocidade nula.
1) Ponto de equilíbrio das forças
Seja x a distância do centro da Terra ao ponto de equilíbrio:
\frac{GM}{x^2} = \frac{G(M/81)}{(D-x)^2} \;\Rightarrow\; \frac{D-x}{x} = \frac{1}{9} \;\Rightarrow\; x = \frac{9D}{10}
Logo, o ponto fica a 9D/10 da Terra e a D/10 da Lua.
2) Conservação da energia
Posição inicial: distância R da Terra e D-R da Lua (altura orbital desprezada). No ponto de equilíbrio a velocidade é zero:
\frac{1}{2}v_0^2 - \frac{GM}{R} - \frac{GM}{81(D-R)} = -\frac{GM}{9D/10} - \frac{GM}{81\,(D/10)}
\frac{1}{2}v_0^2 = GM\left(\frac{1}{R} - \frac{10}{9D}\right) + \frac{GM}{81}\left(\frac{1}{D-R} - \frac{10}{D}\right)
v_0 = \sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R} - \frac{10}{9D}\right) + \frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R} - \frac{10}{D}\right)\right]}
Essa é exatamente a expressão da alternativa C.
Resposta: C
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levou 11 s
Como pensou
I need to find the neutral point where Earth's and Moon's gravitational pulls balance, which works out to 9D/10 from Earth. Using energy conservation from the surface to this neutral point, I'm setting up the equation to solve for the minimum launch velocity needed.
Resposta: C. A nave precisa apenas alcançar o ponto neutro entre a Terra e a Lua; depois dele, a gravidade da Lua predomina e a puxa até ela. Basta, então, conservar a energia até esse ponto.
1. Ponto neutro. Seja x a distância desse ponto ao centro da Terra, com m = M/81. Igualando as atrações:
\frac{GM}{x^2}=\frac{GM/81}{(D-x)^2}\;\Rightarrow\;\frac{D-x}{x}=\frac{1}{9}\;\Rightarrow\;x=\frac{9D}{10},\quad D-x=\frac{D}{10}
2. Conservação de energia. A nave parte da superfície da Terra (altura orbital desprezada). Nesse ponto ela está a R do centro da Terra e a D-R do centro da Lua. A velocidade mínima corresponde a chegar ao ponto neutro com velocidade nula:
\frac{v_0^2}{2}-\frac{GM}{R}-\frac{GM}{81(D-R)} = -\frac{GM}{9D/10}-\frac{GM}{81\,(D/10)}
3. Isolando v_0:
v_0=\sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R}-\frac{10}{9D}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R}-\frac{10}{D}\right)\right]}
Essa expressão coincide com a alternativa C.
Resposta: C
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levou 7 s
Como pensou
I'm finding the point where Earth's and Moon's gravitational pulls balance, which works out to 9D/10 from Earth, then computing the gravitational potential there to compare against the starting potential at Earth's surface.
Setting up the energy conservation equation: with zero velocity required at the balance point, I solve for the minimum launch speed v0 by equating the initial kinetic plus potential energy to the potential at that critical point. This gives the expression matching answer choice C.
Raciocínio
Para chegar à Lua, a nave precisa apenas alcançar o ponto P em que as atrações da Terra e da Lua se igualam. Depois desse ponto, a atração lunar predomina e a nave "cai" para a Lua. Assim, a velocidade mínima é a que leva a nave até P com velocidade nula.
Ponto de equilíbrio. Seja x a distância de P ao centro da Terra, com massa lunar M/81:
GM/x² = G(M/81)/(D − x)² ⟹ (D − x)/x = 1/9 ⟹ x = 9D/10.
Logo, P está a 9D/10 da Terra e a D/10 da Lua.
Conservação de energia. O ponto de partida está a R do centro da Terra e a D − R do centro da Lua. Em P, a energia cinética é nula.
- Energia potencial por unidade de massa em P: V_P = −GM/(9D/10) − (GM/81)/(D/10) = −GM[10/(9D) + (1/81)(10/D)]
- Energia potencial por unidade de massa na partida: V₀ = −GM/R − (GM/81)/(D − R)
Impondo ½v₀² + V₀ = V_P:
v₀² = 2(V_P − V₀) = 2GM[ 1/R − 10/(9D) + (1/81)(1/(D − R) − 10/D) ]
Portanto:
v₀ = √{2GM[(1/R − 10/(9D)) + (1/81)(1/(D−R) − 10/D)]}
Isso corresponde à alternativa C.
Resposta: C
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levou 1 min 46 s
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The problem concerns the ITA 2027 Artemis II mission and the Orion spacecraft's journey to the Moon.
The simplified model assumes the spacecraft starts from a low Earth orbit with velocity v₀ along the Earth-Moon line. Earth and Moon are treated as fixed points, and the Moon's mass is roughly 81 times smaller than Earth's. The task is to find the minimum value of v₀ that allows the spacecraft to reach the Moon.
The solution requires energy conservation and the location of a neutral point between Earth and Moon where their gravitational forces cancel. The spacecraft must have enough energy to overcome this potential barrier.
The effective potential is being derived as V(x) = -G M μ / x - G m μ / (D − x), with Earth at x = 0 and Moon at x = D. The spacecraft mass μ will be set to one for simplicity.
The equilibrium point is found where dV/dx = 0. The Moon's radius is not mentioned in the problem statement, so it is likely negligible.
The spacecraft likely starts at Earth's surface, a distance R from Earth's center. The options contain terms like 1/R and D−R, which suggests the Moon's radius is being considered despite not being explicitly given.
The neutral point is located at x = (9/10)D. At this position the gravitational forces from Earth and Moon cancel exactly.
The spacecraft must reach the neutral point with at least zero velocity. Beyond that point it can fall toward the Moon under its own weight.
The spacecraft must have total energy strictly greater than the potential at the neutral point. At exactly that energy level it would stop and remain at rest, which is an unstable equilibrium. The options compare energies at the starting point and at a position involving R and D.
The spacecraft starts at radius R with velocity v₀ along the Earth-Moon line. The Moon is treated as a point mass, so the potential diverges to negative infinity there. The threshold condition is therefore total energy at the starting point must be at least equal to the potential at the neutral point.
The energy conservation equation is being solved for the minimum velocity. The difference between the potential at the neutral point and at the starting radius R is being calculated. The distance from the neutral point to the Moon is D/10, so the term Gm/(D − x_L) simplifies to (10/81)GM/D.
The derived energy difference does not match the provided options. The expression is being checked against option C.
Option C matches the derived energy difference exactly. The expression inside the square root simplifies to 1/R + 1/(81(D−R)) − 100/(81D), which equals V(x_L) − V(R). The velocity formula is therefore confirmed as v₀ = sqrt{2GM [ ... ]}. A sign check on the potential values is now being considered.
The equilibrium distance is confirmed correct. Option A contains an unexpected D+R term, which suggests it is likely incorrect.
A trajetória é radial ao longo da reta que une os centros da Terra e da Lua (corpos tratados como fixos). A energia mecânica se conserva e o potencial gravitacional por unidade de massa é
\phi(x)=-\frac{GM}{x}-\frac{Gm}{D-x},
com m=M/81.
O ponto de equilíbrio instável (máximo de \phi) situa-se onde as atrações se cancelam:
\frac{M}{x^2}=\frac{m}{(D-x)^2}\implies x_L=\frac{9D}{10}.
Nesse ponto \phi atinge o valor
\phi(x_L)=-\frac{10}{9}\frac{GM}{D}-\frac{10}{81}\frac{GM}{D}.
A nave parte de x=R (altura orbital desprezada). A menor energia que lhe permite ultrapassar a barreira de potencial é exatamente \phi(x_L), o que fornece
\frac{v_0^2}{2}=\phi(x_L)-\phi(R).
Substituindo as expressões de \phi obtém-se
v_0=\sqrt{2GM\left[\left(\frac{1}{R}-\frac{10}{9D}\right)+\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R}-\frac{10}{D}\right)\right]}.
Qualquer velocidade superior a esse valor faz a nave cruzar x_L e cair em direção à Lua. Essa é a expressão da alternativa C.
Resposta: C
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levou 10 s
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Vamos analisar a questão.
Temos uma nave que parte de uma órbita baixa em torno da Terra (raio ~ R) com velocidade \(v_0\) ao longo da reta Terra-Lua. A distância entre os centros da Terra e da Lua é \(D\). Massa da Lua = \(M/81\), massa da Terra = \(M\). Raio da Terra = \(R\). Desprezar movimento da Terra e da Lua, bem como altura orbital antes da injeção. Queremos a velocidade \(v_0\) mínima para a nave chegar à Lua. Ou seja, a nave deve chegar ao ponto onde a atração gravitacional da Lua supera a da Terra (ou pelo menos chegar até a superfície da Lua, mas o problema fala "chegar à Lua"). A questão pede "valor de velocidade \(v_0\) acima do qual a nave consegue chegar à Lua". Isso sugere que devemos encontrar a energia necessária para que a nave atinja o ponto de equilíbrio gravitacional (ponto de Lagrange L1) ou a superfície da Lua. Mas a expressão final parece incluir termos que sugerem a energia potencial no ponto de equilíbrio ou na superfície da Lua.
Vamos modelar a energia mecânica. A nave parte da superfície da Terra (raio R). A energia potencial gravitacional no campo da Terra e da Lua:
\(U = -\frac{GMm}{r_T} - \frac{G(M/81)m}{r_L}\), onde \(r_T\) é a distância ao centro da Terra e \(r_L\) a distância ao centro da Lua. Seja \(x\) a distância da nave ao centro da Terra ao longo da linha Terra-Lua. Então \(r_T = x\) e \(r_L = D - x\) (se a Lua está a distância D).
A energia mecânica inicial (na superfície da Terra, \(x=R\)):
\(E_i = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{G(M/81)m}{D-R}\). (Nota: o termo da Lua é \(-\frac{G(M/81)m}{D-R}\) porque a distância da nave à Lua é \(D-R\).)
Para a nave chegar à Lua, ela deve pelo menos atingir o ponto onde a força gravitacional resultante é nula (ponto de equilíbrio entre Terra e Lua) ou a superfície da Lua. O ponto de equilíbrio L1 está entre a Terra e a Lua, onde a força gravitacional da Terra é igual à da Lua:
\(\frac{GM}{x^2} = \frac{G(M/81)}{(D-x)^2}\)
\(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{81 (D-x)^2}\)
\(81 (D-x)^2 = x^2\)
\(9 (D-x) = x\) (tomando a raiz positiva)
\(9D - 9x = x \Rightarrow 10x = 9D \Rightarrow x = \frac{9D}{10}\).
Então o ponto de equilíbrio está a \(x = 9D/10\) da Terra. A distância à Lua é \(D - 9D/10 = D/10\).
Para chegar à Lua, a nave precisa ter energia suficiente para atingir esse ponto de equilíbrio. No ponto de equilíbrio, a velocidade pode ser zero (condição limite). Vamos calcular a energia potencial no ponto de equilíbrio \(x = 9D/10\):
\(U_f = -\frac{GMm}{9D/10} - \frac{G(M/81)m}{D/10} = -\frac{10GMm}{9D} - \frac{10GMm}{81D} = -\frac{10GMm}{D} \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{81} \right) = -\frac{10GMm}{D} \left( \frac{9+1}{81} \right) = -\frac{100GMm}{81D}\).
A energia mecânica no ponto de equilíbrio (com \(v=0\)) é \(E_f = U_f = -\frac{100GMm}{81D}\).
Igualando \(E_i = E_f\) (conservação de energia):
\(\frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{81(D-R)} = -\frac{100GMm}{81D}\).
Dividindo por m:
\(\frac{1}{2} v_0^2 = \frac{GM}{R} + \frac{GM}{81(D-R)} - \frac{100GM}{81D}\).
\(v_0^2 = 2GM \left[ \frac{1}{R} + \frac{1}{81(D-R)} - \frac{100}{81D} \right]\).
Vamos calcular o termo entre colchetes:
\(\frac{1}{R} + \frac{1}{81} \left( \frac{1}{D-R} - \frac{100}{D} \right)\).
Mas as alternativas têm \( \frac{10}{9D} \) em vez de algo com 100. Vamos reavaliar. A energia potencial no ponto de equilíbrio é \(U_f = -\frac{GMm}{r_T} - \frac{G(M/81)m}{r_L}\) com \(r_T = 9D/10\) e \(r_L = D/10\). Então:
\(U_f = -\frac{GMm}{9D/10} - \frac{GMm/81}{D/10} = -\frac{10GMm}{9D} - \frac{10GMm}{81D} = -\frac{10GMm}{D} \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{81} \right) = -\frac{10GMm}{D} \frac{10}{81} = -\frac{100GMm}{81D}\).
Isso confere. Então \(v_0^2 = 2GM \left[ \frac{1}{R} + \frac{1}{81(D-R)} - \frac{100}{81D} \right]\).
Mas as alternativas parecem ter \(\frac{10}{9D}\) ou \(\frac{10}{D}\). Vamos ver a alternativa C:
\(\sqrt{2GM \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{10}{9D} \right) + \frac{1}{81} \left( \frac{1}{D-R} - \frac{10}{D} \right) \right]}\).
Observe que \(\frac{1}{R} - \frac{10}{9D} + \frac{1}{81(D-R)} - \frac{10}{81D} = \frac{1}{R} + \frac{1}{81(D-R)} - \frac{10}{9D} - \frac{10}{81D}\).
\(\frac{10}{9D} + \frac{10}{81D} = \frac{90+10}{81D} = \frac{100}{81D}\). Sim! Então a expressão dentro da raiz é exatamente a mesma. Vamos confirmar:
\(\frac{1}{R} - \frac{10}{9D} + \frac{1}{81(D-R)} - \frac{10}{81D} = \frac{1}{R} + \frac{1}{81(D-R)} - \frac{100}{81D}\).
Portanto, a alternativa C é equivalente à nossa expressão. Vamos ver as outras alternativas para garantir.
A alternativa A: \(\sqrt{2GM \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{10}{9D} \right) + \frac{1}{81} \left( \frac{1}{D+R} + \frac{10}{D} \right) \right]}\). Note que tem \(D+R\) e \(+ \frac{10}{D}\), o que não corresponde.
B: \(\sqrt{2GM \left[ \left( \frac{1}{R} + \frac{10}{9D} \right) + \frac{1}{81} \left( \frac{1}{D-R} - \frac{10}{D} \right) \right]}\). Tem \(+ \frac{10}{9D}\) em vez de \(- \frac{10}{9D}\).
C: \(\sqrt{2GM \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{10}{9D} \right) + \frac{1}{81} \left( \frac{1}{D-R} - \frac{10}{D} \right) \right]}\). Correta.
D: \(\sqrt{2GM \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{10}{9D} \right) - \frac{1}{81} \left( \frac{1}{D-R} - \frac{10}{D} \right) \right]}\). O sinal do termo da Lua está errado.
E: \(\sqrt{2GM \left[ \left( \frac{1}{R} + \frac{10}{9D} \right) - \frac{1}{81} \left( \frac{1}{D+R} - \frac{10}{D} \right) \right]}\). Errada.
Portanto, a resposta é C.
Vamos detalhar a explicação.
A ideia é que a nave parte da superfície da Terra (raio R) com velocidade \(v_0\). Para chegar à Lua, ela precisa pelo menos atingir o ponto de equilíbrio gravitacional entre a Terra e a Lua, onde a força resultante é nula. Nesse ponto, a energia potencial é mínima? Na verdade, a energia potencial total (Terra + Lua) tem um máximo local? Vamos analisar. A força gravitacional resultante é \(F = -\frac{dU}{dx}\). O ponto de equilíbrio é onde \(F=0\). A energia potencial \(U(x) = -\frac{GMm}{x} - \frac{GMm/81}{D-x}\). No ponto \(x = 9D/10\), \(U\) tem um máximo (já que a força muda de sentido). Para a nave passar desse ponto, ela precisa ter energia suficiente para vencer essa barreira de potencial. A condição limite é chegar ao ponto de equilíbrio com velocidade zero. Portanto, a energia inicial deve ser igual à energia potencial no ponto de equilíbrio.
Assim, \(E_i = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{81(D-R)} = U_f = -\frac{GMm}{9D/10} - \frac{GMm/81}{D/10}\).
Resolvendo para \(v_0\), obtemos a alternativa C.
Vou escrever a solução passo a passo.
1. Identificar as forças e o ponto de equilíbrio.
2. Calcular a energia potencial no ponto de equilíbrio.
3. Aplicar conservação de energia.
4. Comparar com as alternativas.
Vou também mencionar que a altura orbital antes da injeção é desprezada, então a nave parte da superfície da Terra (raio R).
A resposta é C.
Resolução:
A nave parte da superfície da Terra (raio R) com velocidade v_0 ao longo da reta Terra–Lua. Para que consiga chegar à Lua, ela precisa vencer a barreira de potencial gravitacional existente entre os dois corpos. O ponto crítico é o ponto de equilíbrio (ponto de Lagrange L1), onde as forças gravitacionais da Terra e da Lua se anulam.
Seja x a distância da nave ao centro da Terra. A atração gravitacional da Terra é F_T = \frac{GMm}{x^2} e a da Lua é F_L = \frac{G(M/81)m}{(D-x)^2}. Igualando-as:
\frac{GM}{x^2} = \frac{GM/81}{(D-x)^2} \quad \Rightarrow \quad 81(D-x)^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad 9(D-x) = x.
Assim, 9D - 9x = x \Rightarrow 10x = 9D \Rightarrow x = \frac{9D}{10}. A distância à Lua nesse ponto é D - \frac{9D}{10} = \frac{D}{10}.
A energia potencial gravitacional total no ponto de equilíbrio é:
U_f = -\frac{GMm}{9D/10} - \frac{G(M/81)m}{D/10} = -\frac{10GMm}{9D} - \frac{10GMm}{81D} = -\frac{GMm}{D}\left(\frac{10}{9} + \frac{10}{81}\right) = -\frac{100GMm}{81D}.
A energia mecânica inicial na superfície da Terra (desprezando a altura orbital) é:
E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{G(M/81)m}{D-R}.
Para a condição limite de atingir o ponto de equilíbrio com velocidade nula, devemos ter E_i = U_f:
\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{81(D-R)} = -\frac{100GMm}{81D}.
Dividindo por m e isolando v_0^2:
\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{GM}{R} + \frac{GM}{81(D-R)} - \frac{100GM}{81D},
v_0^2 = 2GM\left[ \frac{1}{R} + \frac{1}{81(D-R)} - \frac{100}{81D} \right].
Observando que \frac{100}{81D} = \frac{10}{9D} + \frac{10}{81D}, podemos reescrever:
v_0^2 = 2GM\left[ \left(\frac{1}{R} - \frac{10}{9D}\right) + \frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R} - \frac{10}{D}\right) \right].
Essa expressão corresponde exatamente à alternativa C.
Resposta: C
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levou 29 s
Como pensou
**Analyzing Physics Problem**
I am currently processing the initial details of a physics problem, specifically referencing the Artemis II mission and the Orion spacecraft's trajectory. My focus is on understanding the simplified model presented for this scenario and any subsequent maneuvers described.
**Calculating Initial Velocity**
I'm now diving into the specifics of the translunar injection. The core challenge is to determine the minimum initial velocity ($v_0$) required for the spacecraft to reach the Moon, given the Earth-Moon system's gravitational influence. I am particularly focused on the initial conditions of departure from Earth's low orbit and the simplified trajectory along the Earth-Moon line.
**Determining Gravitational Equilibrium**
I'm re-evaluating the initial conditions. It appears crucial to identify the point where Earth and Moon's gravitational forces balance to understand the trajectory. This point likely dictates the minimal velocity needed for escape towards the Moon, influencing whether distances are relative to Earth or Moon centers.
**Calculating Equilibrium Position**
I've identified the precise point where Earth and Moon's gravitational forces balance. This equilibrium position is located at 0.9 times the Earth-Moon distance from Earth. I'm now calculating the potential energy at this critical point to understand its implications for the spacecraft's trajectory.
**Refining Energy Calculations**
I'm now meticulously substituting the potential energy terms into the conservation of energy equation to derive the minimum initial velocity. I'm cross-referencing the gravitational contributions from Earth and the Moon at the critical equilibrium point and the initial departure point to ensure accuracy.
**Deriving Final Velocity**
I've successfully derived the formula for the initial velocity, and I am now comparing it against the provided options. The derivation involved carefully substituting terms into the conservation of energy equation and simplifying, focusing on the gravitational potential energy contributions.
**Confirming Equation Accuracy**
I have now confirmed that my derived equation precisely matches Option C. My detailed re-evaluation of the signs and algebraic steps in the potential energy and force calculations solidified this match.
**Simplifying Energy Difference**
I am now focused on simplifying the expression for the difference in potential energy, $U(x_{eq}) - U(R)$. This involves combining the terms from the equilibrium point and the initial departure point, carefully handling the fractions and common factors to isolate the gravitational influence of Earth and the Moon.
Para determinar o valor mínimo da velocidade v_0 para que a nave consiga chegar à Lua, devemos encontrar o ponto ao longo da reta Terra–Lua em que a força gravitacional resultante sobre a nave é nula (ponto de máximo da energia potencial efetiva, correspondente ao ponto de Lagrange L_1). Ao ultrapassar esse ponto, a atração gravitacional da Lua passa a ser maior do que a da Terra, puxando a nave em direção à Lua.
1. Ponto de equilíbrio gravitacional (x_{eq})
Seja x a distância medida a partir do centro da Terra ao longo da linha que une a Terra à Lua.
- A massa da Terra é M;
- A massa da Lua é M_L = \frac{M}{81};
- A distância entre os centros da Terra e da Lua é D.
No ponto de equilíbrio, a força gravitacional da Terra equilibra a força da Lua:
\frac{G M m}{x^2} = \frac{G M_L m}{(D - x)^2}
Substituindo M_L = \frac{M}{81}:
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{81(D - x)^2} \implies 9(D - x) = x \implies 10x = 9D \implies x_{eq} = \frac{9}{10}D
A distância da nave à Lua nesse ponto é:
D - x_{eq} = D - \frac{9}{10}D = \frac{1}{10}D
2. Energia Potencial Gravitacional
A energia potencial gravitacional da nave de massa m a uma distância x é dada por:
U(x) = -\frac{GMm}{x} - \frac{GM_L m}{D - x}
-
Na posição inicial (x_i = R):
Desprezando a altura orbital, a nave parte de x_i = R, estando a uma distância D - R da Lua:
U_i = -\frac{GMm}{R} - \frac{1}{81}\frac{GMm}{D - R}
-
No ponto de equilíbrio (x_{eq} = \frac{9}{10}D):
U_{eq} = -\frac{GMm}{\frac{9}{10}D} - \frac{GMm}{81\left(\frac{1}{10}D\right)} = -\frac{10GMm}{9D} - \frac{1}{81}\frac{10GMm}{D}
3. Conservação da Energia Mecânica
Para que a nave consiga alcançar a Lua, sua velocidade no ponto de máximo de potencial deve ser no mínimo nula (v \ge 0):
E_i \ge U_{eq} \implies \frac{1}{2}m v_0^2 + U_i \ge U_{eq}
v_0^2 \ge \frac{2}{m}\left(U_{eq} - U_i\right)
Calculando a diferença U_{eq} - U_i:
U_{eq} - U_i = \left( -\frac{10GMm}{9D} - \frac{1}{81}\frac{10GMm}{D} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} - \frac{1}{81}\frac{GMm}{D - R} \right)
Agrupando os termos:
U_{eq} - U_i = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{10}{9D}\right) + \frac{GMm}{81}\left(\frac{1}{D - R} - \frac{10}{D}\right)
Portanto, o valor mínimo de v_0 é:
v_0 = \sqrt{2GM \left[ \left(\frac{1}{R} - \frac{10}{9D}\right) + \frac{1}{81}\left(\frac{1}{D - R} - \frac{10}{D}\right) \right]}
Essa expressão corresponde à alternativa C.
Resposta: C
