DESEMPENHO NESTA PROVA
Grok 4.7
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 39 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | O número \(n\) pode ser escrito nas duas bases como \[ n=5m^3+6m^2+2m+1=1\cdot(m+5)^3+2\cdot(m+5)^2+8. \] Os algarismos que aparecem impõem \(m>6\). Substituindo o valor candidato \(m=7\) (compatível com a ordem de grandeza das alternativ… |
| 2 | B | B | O total de funções injetivas \(f: X \to Y\) é o número de injeções de um conjunto com 5 elementos em um conjunto com 8 elementos: \[ P(8,5) = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720. \] Dessas, subtraímos as funções para as quais \(… |
| 3 | C | C | O polinômio \(P(x)\) tem grau 3, de modo que pode ser escrito na forma \[ P(x)=ax^3+bx^2+cx+d. \] A condição \(P(0)=5\) implica imediatamente \(d=5\). Substituindo a expressão de \(P\) na identidade dada, obtém-se \[ P(x)-P(x-1)=3ax^2+(-3… |
| 4 | B | B | A matriz do determinante pode ser reescrita fatorando-se \(x^m\), \(y^m\) e \(z^m\) de cada linha, o que produz \[ (xyz)^m \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & y^2 & y^4 \\ 1 & z^2 & z^4 \end{vmatrix}. \] A matriz restante é de Vandermond… |
| 5 | D | D | O número complexo dado é \[ z=\frac{1-2i}{4-3i}=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i. \] Segue que \(\overline{z}=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i\), \(|z|^2=\frac{1}{5}\) e \[ |1-z|=\frac{\sqrt{10}}{5}. \] A soma \(S_n\) é a soma parcial de uma série geomét… |
| 6 | D | D | A região \(S\) é um disco elíptico (incluindo o interior) cujos focos são os pontos \(F_1=-1+i\) e \(F_2=3+4i\). A distância entre os focos é \(5\), de modo que \(2c=5\). Como a soma das distâncias aos focos é no máximo \(7\), tem-se \(2a… |
| 7 | C | C | Pelas relações de Vieta, para a equação de raízes \(r_1\) e \(r_2\), \[ \frac{b_1}{a_1}=-(r_1+r_2),\qquad\frac{c_1}{a_1}=r_1r_2, \] e portanto \[ \frac{a_1-b_1+c_1}{a_1}=(1+r_1)(1+r_2). \] De modo análogo, \[ \frac{a_2-b_2+c_2}{a_2}=(1+r_… |
| 8 | B | B | A equação dada é equivalente a \[ 9^x + 2 \cdot 3^{2x-1} = 5^{x+\frac12} + 4 \cdot 5^{x-\frac12}. \] O lado esquerdo simplifica-se imediatamente para \(5 \cdot 3^{2x-1}\) e o lado direito para \(9 \cdot 5^{x-\frac12}\), de modo que a equa… |
| 9 | B | B | A condição do enunciado equivale a exigir que todo zero complexo do polinômio procurado seja uma raiz \(12\)-ésima da unidade. Os polinômios mônicos irredutíveis em \(\mathbb{Q}[x]\) cujas raízes são raízes \(12\)-ésimas da unidade são pr… |
| 10 | B | B | A probabilidade de Maria ter escolhido inicialmente as duas caixas com moedas é \(1/45\), exatamente uma moeda é \(16/45\) e nenhuma moeda é \(28/45\). Se ela escolhe a opção (1), ganha se e somente se a escolha inicial já continha as du… |
| 11 | A | A | A interseção das curvas é dada pelo sistema \[ xy=2025,\qquad x^2+y^2=10145, \] com \(x,y\neq 0\). As soluções são exatamente os quatro pontos distintos \[ (p,q),\quad(q,p),\quad(-p,-q),\quad(-q,-p), \] onde \(p>q>0\). Esses pontos são os… |
| 12 | A | A | A expressão sob o radical simplifica-se da seguinte forma: \[ \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{cotg}^2 x = \frac{1}{\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x}-2, \] donde \[ 2+\operatorname{tg}^2 x+\operatorname{cotg}^2 x=\frac{1}{\operatorname… |
| 13 | B | B | A condição \(\log_b a = 1\) equivale a \(a = b\), desde que o logaritmo esteja definido, isto é, \(a > 0\), \(b > 0\) e \(b \neq 1\). Substituindo as expressões dadas, obtém-se \[ \operatorname{sen}(4x) = \cos(4x) + 1. \] As soluções des… |
| 14 | C | C | O raio do círculo \(C_1\) é \(1\). Seja \(r\) o raio do círculo variável de centro \(M\). A condição de tangência à reta \(L\) (com \(M\) e \(O\) no mesmo semiplano) implica que a distância de \(M\) a \(L\) é igual a \(r\). A tangência ex… |
| 15 | C | C | O prisma regular reto de base hexagonal está inscrito na esfera, de modo que todos os seus vértices pertencem à superfície esférica. Por simetria, o centro da esfera coincide com o centro do prisma. Sejam \(h\) a altura do prisma e \(a\)… |
| 16 | E | E | A velocidade está relacionada à posição por \(v_x=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\) e \(v_y=\mathrm{d}y/\mathrm{d}t\). Substituindo nas equações dadas, obtém-se o sistema \[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\frac{y}{4},\qquad\frac{\mathrm{d}y}{\m… |
| 17 | C | C | A órbita elíptica tem a estrela \(S\) em um dos focos. Sendo \(a\) o semieixo maior e \(e\) a excentricidade, as distâncias de \(S\) ao periastro e ao apoastro são, respectivamente, \[ r_p=a(1-e),\qquad r_a=a(1+e). \] A razão dada no enun… |
| 18 | B | B | A configuração das roldanas engrenadas (contato externo sem deslizamento) implica que elas giram em sentidos opostos, com relação cinemática \(r\omega_m=2r\omega_{2m}\). Os fios acompanham as velocidades periféricas, de modo que as duas p… |
| 19 | E | E | A razão entre os comprimentos de onda é dada pelo efeito Doppler relativístico. Para a nave X (que se aproxima da fonte) vale \[ \sqrt{\frac{1-\beta_X}{1+\beta_X}}=\frac12. \] Resolvendo a equação obtém-se \(\beta_X=0{,}6\), ou seja, \(v_… |
| 20 | E | E | A condição de equilíbrio eletrostático exige que o campo elétrico seja identicamente nulo em todo ponto do interior de um condutor. Assim, pela lei de Gauss, a carga total envolvida por qualquer superfície gaussiana esférica situada na re… |
| 21 | B | B | A plataforma permanece sempre horizontal e translada em movimento circular de raio \(R\) com velocidade angular constante \(\omega\). Assim, a aceleração do bloco (enquanto não há deslizamento) tem componentes \[ a_x=-\omega^2 r_x,\qquad … |
| 22 | A | A | A viga está em equilíbrio estático sob a ação das três cargas verticais e das reações verticais \(F_A\) e \(F_B\) (o peso próprio é desprezível e não há cargas horizontais). O equilíbrio de forças verticais fornece \[ F_A + F_B = 135\,\t… |
| 23 | C | C | A eficiência de uma máquina de Carnot depende apenas das temperaturas dos reservatórios quente e frio: \[ \eta_1=1-\frac{T_2}{T_1},\qquad\eta_2=1-\frac{T_3}{T_2}. \] As informações sobre trabalho e calor fornecem a relação \[ \eta_1=\frac… |
| 24 | C | C | A trajetória do centro de massa da granada não é afetada pela explosão, pois as forças internas não alteram o movimento do CM sob a ação exclusiva da gravidade. Assim, no instante \(t = 1{,}9\,\mathrm{s}\), \[ y_{\mathrm{CM}} = (10)(1{,}… |
| 25 | C | C | A primeira malha (associada a \(I_1\)) consiste em um hexágono com nó central, no qual cada aresta do hexágono e cada raio até o centro é um resistor de valor \(R\). Os terminais estão ligados a vértices adjacentes. Por simetria (pontos d… |
| 26 | D | D | A velocidade local de um pulso transversal numa corda é \(v=\sqrt{T/\mu}\), em que \(\mu\) é a densidade linear (constante). Como \(T\) é mínima no ponto mais baixo da catenária, o valor mínimo de \(v\) ocorre nesse ponto. A componente h… |
| 27 | A | A | A resistência do trecho do solenoide entre os contatos é \(10 \times 0{,}04 = 0{,}4\,\Omega\). Com a ddp da pilha, a corrente vale \[ I = \frac{6}{0{,}4} = 15\,\mathrm{A}. \] O comprimento do projétil (\(50\,\mathrm{mm}\)) corresponde se… |
| 28 | B | B | A energia potencial gravitacional perdida nas quedas das esferas é integralmente convertida em calor. Como a massa se cancela, o aumento de temperatura é dado por \[ \Delta T=\frac{gH}{c}, \] em que \(H\) é a altura total percorrida nas q… |
| 29 | D | D | A menor distância sobre a superfície da Terra entre os pontos \(A\) e \(B\) é o comprimento do arco de círculo máximo (geodésica) que os une. Para determiná-lo, calculam-se os vetores posição (em coordenadas esféricas com origem no centro… |
| 30 | D | D | A leitura da balança corresponde à força vertical total transmitida pelo balde ao prato. Na Situação 1 essa força é apenas o peso do líquido, de modo que \(M_1\) é a massa do líquido. Na Situação 2 a esfera está totalmente imersa e é man… |
| 31 | C | C | O subnível \(3p\) corresponde a \(n = 3\) e \(l = 1\) (a letra \(p\) indica \(l = 1\)). Para \(l = 1\), o número quântico magnético só pode valer \(m_l = -1\), \(0\) ou \(+1\). As demais alternativas estão incorretas: \(n\) não é 2; \(l\… |
| 32 | A | D | A molécula I corresponde ao ácido 2-metilbenzoico. O grupo \(\mathrm{CH_3}\) é ativante e orto-para-dirigente, enquanto o grupo \(\mathrm{COOH}\) é desativante e meta-dirigente. Os dois efeitos se reforçam nas posições 3 e 5. Entre elas, … |
| 33 | B | B | A reação (i) corresponde à oxidação de \(\mathrm{Cr}^{3+}\) a cromato em meio básico. O balanceamento redox correto (cada \(\mathrm{Cr}\) perde 3 elétrons e cada \(\mathrm{Br}_2\) ganha 2) é \[ 2\,\mathrm{CrCl}_3 + 3\,\mathrm{Br}_2 + 16\,… |
| 34 | D | D | A carga elétrica total que atravessa a solução é dada por \[ Q = I \cdot t = 11\,\mathrm{A} \times (52 \times 60)\,\mathrm{s} = 34320\,\mathrm{C}. \] O número de mols de elétrons correspondente é \[ n(\mathrm{e}^-) = \frac{34320}{96500} \… |
| 35 | E | E | O penta-2,3-dieno tem fórmula estrutural \(\mathrm{CH_3CH=C=CHCH_3}\) (aleno). - (A) é falsa: os carbonos terminais do sistema cumulênico possuem substituintes diferentes, gerando quiralidade axial; a molécula apresenta enantiômeros. - (… |
| 36 | C | C | A primeira energia de ionização cresce, em geral, ao longo do período, com duas exceções bem conhecidas (Be > B e N > O), explicadas pela configuração eletrônica. - (A) está errada: o Li tem de fato a menor energia de ionização do períod… |
| 37 | A | A | A alternativa (A) está correta: o DNA contém as bases adenina, guanina, citosina e timina, sendo adenina e guanina purinas e citosina e timina pirimidinas. As demais estão incorretas: - (B) inverte o estado de oxidação: os carbonos das g… |
| 38 | B | B | A reação de hidrólise do ATP é \[ \mathrm{ATP + H_2O \longrightarrow ADP + P_i}. \] Como a água é o solvente, sua atividade é unitária e não entra no quociente reacional. Assim, \[ Q = \frac{[\mathrm{ADP}][\mathrm{P_i}]}{[\mathrm{ATP}]} =… |
| 39 | E | E | A teoria de Arrhenius restringe-se à produção de \(\mathrm{H^+}\) ou \(\mathrm{OH^-}\) em água e à neutralização que gera sal e água. Ela não classifica o íon \(\mathrm{HCO_3^-}\) como ácido na reação i e base na reação ii (esse comportam… |
| 40 | C | C | A temperatura é constante e os gases são ideais, de modo que a quantidade de cada gás é proporcional ao produto da pressão parcial pelo volume. O volume total do sistema após a abertura das válvulas é \(6V\) e a conservação da quantidade … |