Questão 28

**Clarifying energy calculations** I’m trying to solve for port 30 with the sum 4+8+18=30 g/c2 B. I need to ensure there are no subtle inversions or removals. I want to provide a concise explanation of the energy formula involving heat and mass cancellation across stages. It seems like I'm targeting about 200 to 150 words in Portuguese, discussing crucial concepts like energy (mgh) and the total heat transfer (Q=mcΔT). My final response will be marked as Resposta B, and I need to ensure the caloric conversion is 100%.

**Calculating values** I need to solve this equation: 8 * 0.5 + 10 * 0.8 + 12 * 1.5 = 30m, and then check the transition for the values. It seems I should remove 'safe' values from the bottom, so we can clarify the total gravitational heat mass cancels, resulting in 2B. I also need to express my findings in concise Portuguese, breaking it down into clear steps along with the calculations.

**Exploring energy and motion** I’m considering how each "inversão" affects the spheres falling through the tube. Initially, orientation positions A at the bottom and C at the top. Once inverted, the spheres should move from top to bottom in the tubes. I realize that the spacing of segments plays a role, and after removing membrane AB, the spheres may move differently between A and B. I’m also curious about any potential temperature increase impacting energy—looking at potential energy as related to mass and height.**Calculating energy dynamics** I'm contemplating whether energy changes occur throughout the entire height during inversions, including the apparatus movement. The phrase suggests that the spheres stay relative to their position and only fall after the inversion concludes. So, during rotation, gravitational potential changes happen but no descent occurs until the end. Then I consider the distances each ball travels during inversions; I may have a typo in the numerical data. It seems I’m calculating mass-specific energy and getting a value of 300 J/kg, leading to a temperature change of 2°C!

I'm working through the tube setup: first 8 inversions have spheres falling only within tube A (0.50 m each), giving 4.0 m total. Then the membrane between A and B is removed, so for the next 10 inversions spheres fall through the combined A+B length. After confirming the spheres return to the bottom position correctly at each stage, I calculate 10 × 0.80 m = 8.0 m for that phase, then once the final membrane is removed, 12 inversions through the full A+B+C length (1.50 m each) add 18.0 m. Summing everything gives a total fall height of 30 m, and using ΔT = gh/c with g=10 and c=150, I get ΔT = 2.0 °C, confirming answer B.

Computing the energy release: 8 inversions dropping each sphere by 0.5m gives 4.0m, then A+B falling together for 10 inversions at 0.8m each gives 8m, then all three falling 1.5m for 12 inversions gives 18m, totaling 30m of equivalent fall height, or 300 J/kg, yielding ΔT = 2.0. I need to double-check the sphere positions after removing the AB membrane, since after an even number of inversions the spheres should be back at their original bottom positions in tube A.

The problem is in Portuguese from an IME 2027 exam. Three vertical PVC tubes are connected in series with heights of 0.50 m, 0.30 m, and 0.70 m. Membranes separate them. Small metal spheres start in tube A and are inverted 180 degrees. In the first eight inversions, they only travel through tube A. Membrane AB is removed after the first eight inversions. The spheres then pass through tubes A and B for ten more inversions. Membrane BC is removed next. They travel through all three tubes for twelve final inversions. The goal is the temperature increase of the spheres after thirty inversions. The specific heat capacity is 150 J/(kg°C) and g = 10 m/s². During each inversion the spheres remain in place until it ends. Their total gravitational potential energy lost during falls converts to heat. The temperature increase is given by ΔT = (g × total height fallen) / c, where the mass cancels out. The next step is to calculate the total vertical distance the spheres travel across all thirty inversions. The spheres fall 0.50 m during each of the first eight inversions, since they remain at the top of tube A after each 180-degree flip. After the first eight inversions, the spheres are at the bottom of tube A. Removing membrane AB connects tubes A and B, giving a total length of 0.80 m for the next ten inversions. The next step is to determine the spheres' exact position when membrane AB is removed. The problem implies they traverse A+B for the next ten inversions, but whether each fall covers the full combined length depends on where the spheres land after the first eight inversions. The author is reconsidering the position of the spheres after the first eight inversions. They are tracking whether an even number of 180-degree flips returns the spheres to their original bottom end, and they are simplifying the setup by treating the three connected tubes as a single continuous tube of total length 1.5 m. The author is now tracking the spheres' exact position after each inversion. After one 180-degree flip, they fall from the tampo end to the membrane end of tube A. After two flips, they return to the tampo end. This means an even number of inversions leaves them at the tampo end, while an odd number leaves them at the membrane end. After eight inversions, the spheres rest at the tampo inferior of tube A. Removing the membrane AB opens the path to tube B, but the spheres do not shift until the next inversion. They will then traverse the combined length of A and B. After removing membrane AB, the combined length of tubes A and B is 0.8 m. The spheres remain at the tampo end and fall this full distance to the new bottom end, which is now the membrane BC. The next ten inversions each cover 0.8 m, returning the spheres to the tampo end after an even number of flips. Removing membrane BC opens the full 1.5 m tube for the final twelve inversions, each covering the complete length. The total vertical distance fallen is 30 m. The energy per unit mass is 300 J/kg. With a specific heat capacity of 150 J/(kg°C), the temperature increase is 2 °C. The answer is B.

Estou entendendo o problema. Temos três tubos verticais conectados em série: A (0,50 m), B (0,30 m), C (0,70 m). Esferas de liga metálica dentro dos tubos. Inicialmente, as esferas estão no tubo A (conforme figura). As membranas impedem passagem de A para B e de B para C. O conjunto sofre inversões (giro de 180°). A cada inversão, as bolinhas caem de uma extremidade à outra do espaço disponível. Dados: calor específico c = 150 J/(kg·°C); g = 10 m/s². Observações: durante a inversão, as bolinhas permanecem na mesma posição relativa dentro do tubo e apenas caem após o fim da inversão. Despreze volume das esferas e espessura das membranas. Para transformação em calor, considere apenas a totalidade da energia proveniente das quedas das bolinhas. Ao final das 30 inversões (8 + 10 + 12), qual o aumento de temperatura das esferas? Preciso calcular a energia potencial gravitacional dissipada em cada queda, somar, e usar Q = m c ΔT => ΔT = E_total / (m c). A massa m cancela? Vamos ver: energia por unidade de massa = g * h_total_por_unidade_de_massa. A massa das esferas é a mesma em todos os tubos. Então ΔT = (g * H_total) / c, onde H_total é a soma das alturas de queda (por unidade de massa) ao longo de todas as inversões. Preciso entender como as bolinhas se movem a cada inversão. Inicialmente: bolinhas no fundo do tubo A (tampo inferior). Tubo A tem altura 0,50 m. As membranas AB e BC fechadas. Fase 1: primeiras 8 inversões, as esferas percorrem apenas o tubo A. Numa inversão de 180°, o tubo A fica de cabeça para baixo? Vamos modelar. Inversão é um giro de 180°. Se inicialmente as bolinhas estão no fundo do tubo A (tampo inferior), após uma inversão, o tubo A fica invertido e as bolinhas caem da posição inicial (que era o fundo, agora topo) para a nova posição inferior, que é a extremidade oposta do tubo A. Como a membrana AB está fechada, as bolinhas ficam confinadas no tubo A. A altura de queda dentro do tubo A é de 0,50 m? Vamos analisar. Na primeira inversão: inicialmente bolinhas no tampo inferior do tubo A (parte de baixo). Giramos 180°: o tampo inferior passa a ser o topo. As bolinhas, que estavam apoiadas no tampo inferior (agora topo), caem até o tampo superior (agora fundo). A distância percorrida é a altura do tubo A = 0,50 m. Então, após a primeira inversão, as bolinhas estão no tampo superior (que agora é o fundo). Na segunda inversão, giramos novamente 180°, o tampo superior volta a ser topo, e as bolinhas caem de volta ao tampo inferior. Assim, a cada inversão, as bolinhas caem 0,50 m dentro do tubo A. Então, em 8 inversões, cada uma queda de 0,50 m, total H1 = 8 * 0,50 = 4,0 m. Mas atenção: na primeira inversão, as bolinhas caem 0,50 m? Sim, pois estão no fundo inicial e após inversão caem para o outro extremo. Em cada inversão subsequente, caem a mesma altura. Então 8 * 0,50 = 4,0 m. Fase 2: retira-se a membrana entre A e B. As esferas percorrem os tubos A + B por mais 10 inversões. Agora as bolinhas podem se mover entre A e B. Preciso saber a configuração inicial ao iniciar essa fase: após as primeiras 8 inversões, onde estão as bolinhas? Após 8 inversões (número par), o tubo A está na orientação original? Vamos ver: cada inversão gira 180°. Após 1 inversão, orientação invertida; após 2, volta à original. Então após 8 inversões (par), a orientação é a original: tampo inferior para baixo, tampo superior para cima. As bolinhas, após a 8ª inversão, caíram para o tampo inferior? Vamos rastrear. Inicialmente: bolinhas no fundo do tubo A (tampo inferior), orientação normal. 1ª inversão: gira 180°, bolinhas caem para o outro extremo (tampo superior). Orientação invertida. 2ª inversão: gira 180°, bolinhas caem de volta ao tampo inferior. Orientação normal. ... Após 8 inversões (par), orientação normal, bolinhas no tampo inferior (fundo original). Então, ao retirar a membrana AB, as bolinhas estão no fundo do tubo A. Agora o conjunto A+B tem comprimento total 0,50 + 0,30 = 0,80 m? Mas as bolinhas estão no fundo de A. Ao inverter, elas caem de uma extremidade à outra do conjunto A+B? Preciso entender como as bolinhas se distribuem. O problema diz: "as esferas percorrem os tubos A + B por mais 10 inversões." Provavelmente, a cada inversão, as esferas caem da extremidade inferior à superior do conjunto A+B, percorrendo a altura total de A+B? Mas as membranas? A membrana AB foi retirada, então as esferas podem passar de A para B. A membrana BC ainda está fechada, então as esferas ficam confinadas no espaço A+B. A altura total do espaço A+B é 0,50 + 0,30 = 0,80 m. A cada inversão, as esferas caem de uma extremidade à outra do espaço A+B, percorrendo 0,80 m. Então, em 10 inversões, H2 = 10 * 0,80 = 8,0 m. Mas será que na primeira inversão da fase 2 as bolinhas caem 0,80 m? Vamos ver: inicialmente estão no fundo do tubo A (extremidade inferior do conjunto A+B). Após inversão, a extremidade inferior se torna superior; as bolinhas caem até a nova extremidade inferior, que é o topo do tubo B? Como a membrana BC está fechada, a extremidade inferior do conjunto A+B é o tampo superior do tubo B (ou o fundo do tubo B? Preciso visualizar). O conjunto é A (embaixo) + B (em cima) + C (mais acima). Inicialmente, A está embaixo, B no meio, C em cima. A membrana AB separa A e B; a membrana BC separa B e C. Ao retirar a membrana AB, o espaço A+B é contíguo. A extremidade inferior do conjunto A+B é o fundo do tubo A (tampo inferior). A extremidade superior do conjunto A+B é o topo do tubo B, que é limitado pela membrana BC. Quando giramos 180°, o tubo A vai para cima, B para baixo? Vamos pensar: giro de 180° em torno de um eixo horizontal. O tubo A, que estava embaixo, passa para cima; o tubo B, que estava no meio, passa para baixo? Na verdade, a ordem vertical se inverte: C fica embaixo, B no meio, A em cima. Como a membrana BC está fechada, o espaço A+B fica com a extremidade inferior sendo o topo do tubo B (que agora está embaixo) e a extremidade superior sendo o fundo do tubo A (que agora está em cima). As bolinhas, que estavam no fundo do tubo A (agora topo), caem até o topo do tubo B (agora fundo). A distância percorrida é a altura total do espaço A+B = 0,80 m. Isso parece correto. Então H2 = 10 * 0,80 = 8,0 m. Fase 3: retira-se a membrana entre B e C, e as esferas percorrem os tubos A + B + C por mais 12 inversões. Agora o espaço total é A+B+C, altura total = 0,50 + 0,30 + 0,70 = 1,50 m. Ao final da fase 2, após 10 inversões (par), a orientação volta à original? Sim, 10 é par. Então as bolinhas estão novamente no fundo do tubo A (extremidade inferior do conjunto A+B). Ao retirar a membrana BC, o espaço se estende até C. Mas as bolinhas estão no fundo de A. Em seguida, começam as 12 inversões. A cada inversão, as bolinhas caem de uma extremidade à outra do espaço A+B+C, percorrendo 1,50 m. Então H3 = 12 * 1,50 = 18,0 m. Total H = H1 + H2 + H3 = 4,0 + 8,0 + 18,0 = 30,0 m. Agora, ΔT = (g * H) / c = (10 m/s² * 30,0 m) / (150 J/(kg·°C)). Unidades: (m/s² * m) / (J/(kg·°C)) = (m²/s²) / (kg·m²/s²/(kg·°C))? Vamos ver: J = kg·m²/s². Então J/(kg·°C) = m²/(s²·°C). Então (m²/s²) / (m²/(s²·°C)) = °C. Então ΔT = (10 * 30) / 150 = 300 / 150 = 2,0 °C. Alternativa (B) 2,0. Mas preciso verificar se a interpretação da queda em cada fase está correta. Vamos reler o enunciado com atenção. "Um certo número de pequenas esferas de uma liga metálica é colocado no interior de três tubos verticais de PVC, conectados em série, inicialmente conforme o desenho da figura. As passagens de A para B e de B para C estão fechadas por membranas resistentes." Desenho: Tubo C no topo (0,70 m), depois membrana BC, Tubo B (0,30 m), depois membrana AB, Tubo A (0,50 m), com esferas no fundo do Tubo A. Tampo superior acima do C, tampo inferior abaixo do A. "Num experimento, o conjunto sofre inversões, onde uma inversão é um giro de 180°. Nas primeiras 8 inversões, as esferas percorrem apenas o tubo A. Em seguida, retira-se a membrana entre A e B, e as esferas percorrem os tubos A + B por mais 10 inversões. Por fim, retira-se a membrana entre B e C, e as esferas percorrem os tubos A + B + C por mais 12 inversões." Observações: - durante uma inversão, considere que as bolinhas permaneçam na mesma posição relativa dentro do tubo e apenas caiam após o fim da inversão; - despreze o volume das esferas e a espessura das membranas; - para a transformação em calor, considere apenas a totalidade da energia proveniente das quedas das bolinhas. Então, a cada inversão, as bolinhas caem de uma extremidade à outra do espaço disponível. A altura de queda é a altura total do espaço disponível (pois elas caem da extremidade que estava embaixo para a que estava em cima, ou vice-versa). Como as esferas são pequenas e ocupam pouco volume, a altura de queda é praticamente a altura total do compartimento. Mas será que na primeira inversão da fase 1, as bolinhas caem 0,50 m? Sim, pois estão no fundo do tubo A e caem até o topo do tubo A (que passa a ser o fundo). Em cada inversão, caem a altura total do tubo A. Na fase 2, após retirar a membrana AB, as bolinhas estão no fundo do tubo A (extremidade inferior do conjunto A+B). Ao inverter, caem até a extremidade superior do conjunto A+B, que é o topo do tubo B (onde está a membrana BC). A altura total A+B é 0,80 m. Em cada inversão, caem 0,80 m. Na fase 3, após retirar a membrana BC, as bolinhas estão no fundo do tubo A (extremidade inferior do conjunto A+B+C). Ao inverter, caem até a extremidade superior do conjunto, que é o topo do tubo C (tampo superior). A altura total é 1,50 m. Em cada inversão, caem 1,50 m. Então os cálculos parecem corretos. Mas vamos considerar se a energia potencial é convertida em calor apenas nas quedas. A cada queda, a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética e depois em calor no impacto. Como as bolinhas caem de uma altura H, a energia dissipada por unidade de massa é gH. Somando todas as quedas, obtemos g * H_total. ΔT = (g * H_total) / c = (10 * 30) / 150 = 2,0 °C. Alternativa (B). No entanto, preciso verificar se há alguma sutileza: as esferas podem não cair a altura total se o tubo não estiver completamente vazio? Mas o problema diz para desprezar o volume das esferas, então elas ocupam um ponto material e caem a altura total. Outra sutileza: durante a inversão, as bolinhas permanecem na mesma posição relativa dentro do tubo e apenas caem após o fim da inversão. Isso significa que a queda ocorre após a inversão completa. A altura de queda é a distância entre a posição das bolinhas antes da inversão (relativa ao tubo) e a posição após a inversão (que é a extremidade oposta). Como as bolinhas estão sempre em uma extremidade antes da queda, a altura é a altura total do espaço disponível. Então está correto. Vamos conferir as alternativas: (A) 2,5; (B) 2,0; (C) 1,5; (D) 1,0; (E) 0,5. Nossa resposta é 2,0, alternativa B. Mas vamos pensar se a altura de queda na fase 1 é realmente 0,50 m em cada uma das 8 inversões. Suponha que as bolinhas estejam no fundo do tubo A. Após a 1ª inversão, elas caem para o topo do tubo A. Após a 2ª inversão, elas caem de volta para o fundo. Então, em cada inversão, a altura percorrida é 0,50 m. Sim. Na fase 2, as bolinhas estão no fundo do tubo A. Após a 1ª inversão, elas caem para o topo do tubo B? Mas será que elas caem a altura total A+B? A distância do fundo do tubo A ao topo do tubo B é 0,50 + 0,30 = 0,80 m. Sim. Na fase 3, as bolinhas estão no fundo do tubo A. Após a 1ª inversão, caem para o topo do tubo C, distância 1,50 m. Sim. Portanto, H_total = 8*0,50 + 10*0,80 + 12*1,50 = 4 + 8 + 18 = 30 m. ΔT = 10*30/150 = 2,0 °C. Resposta: B. Vou elaborar a explicação passo a passo. Preciso também considerar que a energia proveniente das quedas é convertida em calor. Como as esferas são feitas de liga metálica, todo calor aquece as esferas. A massa m das esferas é a mesma, então ΔT = Q/(m c) = (m g H_total)/(m c) = g H_total / c. Cálculo final: 10 * 30 / 150 = 2. Portanto, alternativa B. Vou escrever a resposta em português, explicando o raciocínio. Verificar se há alguma pegadinha: "para a transformação em calor, considere apenas a totalidade da energia proveniente das quedas das bolinhas." Isso confirma que toda energia potencial é convertida em calor. "despreze o volume das esferas e a espessura das membranas" -> as alturas são exatas. "durante uma inversão, considere que as bolinhas permaneçam na mesma posição relativa dentro do tubo e apenas caiam após o fim da inversão" -> garante que a queda é sempre de uma extremidade à outra, sem considerar movimento durante o giro. Tudo certo. Resposta: B.

**Analyzing the System Setup** I'm currently focused on dissecting the initial configuration of this problem. It involves a specific number of small metallic spheres arranged within a series of interconnected PVC tubes. Understanding the arrangement, and the key elements of the setup, seems paramount. My attention is drawn to how the spheres are initially distributed within the tubes, as shown in the provided diagram. **Calculating Energy Transfers** I've shifted my focus to the energy transfers within this system, specifically how the spheres' potential energy converts to heat during the inversions. I'm taking a close look at the lengths of the tubes A, B, and C, because these lengths are key to establishing how far the spheres will drop, in order to estimate the conversion of potential energy to heat energy. My aim is to quantify the total energy released as heat throughout the entire process. **Calculating Total Heights** I'm now calculating the total heights of the sphere falls, across the inversions. Focusing on the first 8 inversions in tube A, I've calculated a total height of 4.0 meters. The task is now to understand the spheres' positions after these initial inversions and analyze the subsequent 10 inversions in tubes A and B. This breakdown of heights is critical to establishing how the energy is transferred during the process. **Tracking Sphere Movements** I'm now tracing the sphere movements through each inversion phase. Initially, they start at the bottom, then flip to the membrane AB. After eight inversions, they are back at the bottom. Next, with the AB membrane removed, I've calculated the spheres travel a total of 8.0 meters over ten inversions. Finally, with the BC membrane removed, I need to calculate the height travelled over 12 inversions. **Determining Total Temperature Rise** I've calculated the total height, H_total, of the sphere falls, which is 30 meters, by considering the contributions from Tubes A, B, and C across all the inversions. Now, I'm using this total height to determine the increase in temperature. Specifically, using the relation, potential gravitational energy to heat energy. My calculations show a temperature increase of precisely 2.0 °C.