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levou 17 s
Como pensou
Pelo valor posicional dos algarismos, temos
n=5m^3+6m^2+2m+1
e
n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8.
Como o algarismo 6 aparece na base m, necessariamente m\ge 7.
Igualando as expressões e desenvolvendo:
5m^3+6m^2+2m+1=m^3+17m^2+95m+183,
4m^3-11m^2-93m-182=0.
Fatorando:
(m-7)(4m^2+17m+26)=0.
O segundo fator é positivo para m natural. Logo, m=7.
Assim,
n=5\cdot7^3+6\cdot7^2+2\cdot7+1
=1715+294+14+1=\boxed{2024}.
Resposta: C
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levou 14 s
Como pensou
Pelo valor posicional dos algarismos, temos
n=5m^3+6m^2+2m+1.
Na base m+5, a representação 1208 fornece
n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8.
Igualando e expandindo:
5m^3+6m^2+2m+1=m^3+17m^2+95m+183,
logo
4m^3-11m^2-93m-182=0.
Fatorando:
(m-7)(4m^2+17m+26)=0.
Como m é natural, o segundo fator é positivo. Portanto, m=7, uma base válida para os algarismos apresentados.
Assim,
n=5\cdot7^3+6\cdot7^2+2\cdot7+1
=1715+294+14+1=\boxed{2024}.
Resposta: C
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levou 11 s
Como pensou
Como 5621 está escrito na base m, temos
n=5m^3+6m^2+2m+1.
Já a representação 1208 na base m+5 dá
n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8.
Igualando as expressões e simplificando:
4m^3-11m^2-93m-182=0
=(m-7)(4m^2+17m+26).
O fator quadrático é positivo para m natural, então m=7. Assim,
n=5621_7=5\cdot343+6\cdot49+2\cdot7+1=2024.
Resposta: C
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levou 11 s
Como pensou
Temos n = 5m³ + 6m² + 2m + 1 (base m, com m ≥ 7) e n = 1·(m+5)³ + 2(m+5)² + 0·(m+5) + 8 (base m+5, com m+5 ≥ 9).
Expandindo a segunda expressão:
(m+5)³ = m³ + 15m² + 75m + 125
2(m+5)² = 2m² + 20m + 50
Soma com 8: m³ + 17m² + 95m + 183.
Igualando:
5m³ + 6m² + 2m + 1 = m³ + 17m² + 95m + 183
4m³ − 11m² − 93m − 182 = 0
Testando m = 7: 4·343 − 11·49 − 93·7 − 182 = 1372 − 539 − 651 − 182 = 0 ✓.
Logo m = 7 e n = 5·343 + 6·49 + 2·7 + 1 = 1715 + 294 + 14 + 1 = 2024.
Verificação na base 12: 1728 + 2·144 + 8 = 1728 + 288 + 8 = 2024 ✓.
Resposta: C
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levou 13 s
Como pensou
I'm setting m+5 and expanding the cubic equation, then simplifying to 4m^3-11m^2-93m-182=0 and testing m=7 as a possible root.
Checking: 1372-539-651-182=0, confirming m=7 works. Then n = 5(343)+6(49)+14+1 = 1715+294+15 = 2024.
Resposta: n = 2024 (alternativa C)
Montagem da equação
O número 5621 na base m vale:
n = 5m³ + 6m² + 2m + 1
O número 1208 na base m + 5 vale:
n = (m+5)³ + 2(m+5)² + 0·(m+5) + 8
Expandindo o segundo membro:
(m³ + 15m² + 75m + 125) + (2m² + 20m + 50) + 8 = m³ + 17m² + 95m + 183
Igualando as duas expressões de n:
5m³ + 6m² + 2m + 1 = m³ + 17m² + 95m + 183
Isso dá a equação:
4m³ − 11m² − 93m − 182 = 0
Restrição sobre a base
O algarismo 6 aparece em 5621, então a base m deve ser pelo menos 7.
Teste de m = 7
4·343 − 11·49 − 93·7 − 182 = 1372 − 539 − 651 − 182 = 0.
Logo m = 7 é raiz. A base m + 5 = 12 também é válida, pois o maior algarismo de 1208 é 8.
Cálculo de n
n = 5·343 + 6·49 + 2·7 + 1 = 1715 + 294 + 14 + 1 = 2024
Conferência na base 12: 1·1728 + 2·144 + 0·12 + 8 = 1728 + 288 + 8 = 2024. ✓
Resposta: C
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levou 9 s
Como pensou
I'm trying to express n in base (m+5) form, expanding (m+5)^3 and (m+5)^2 to rewrite the polynomial, then setting up an equation comparing coefficients between 5m^3+6m^2+2m+1 and the expanded cubic expression.
Simplifying gives a cubic equation in m which I test m=7 for, and the arithmetic checks out. This satisfies the digit constraints since 8 fits in base 12 and 6 fits in base 7, so n = 5(343)+6(49)+14+1 = 2024.
Se n vale 5621 na base m e 1208 na base m+5, então:
n = 5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 = (m+5)^3 + 2(m+5)^2 + 0\cdot(m+5) + 8
Desenvolvendo o lado direito:
(m+5)^3 = m^3 + 15m^2 + 75m + 125 e 2(m+5)^2 = 2m^2 + 20m + 50.
Somando e acrescentando 8, o lado direito fica m^3 + 17m^2 + 95m + 183.
Igualando os dois lados:
4m^3 - 11m^2 - 93m - 182 = 0
Testando m = 7: 1372 - 539 - 651 - 182 = 0. Logo m = 7 é raiz.
Verificação das bases: em base 7, os dígitos de 5621 são todos menores que 7, e em base 12, os dígitos de 1208 são menores que 12. Ambas as representações são válidas.
Calculando n:
n = 5\cdot 343 + 6\cdot 49 + 2\cdot 7 + 1 = 1715 + 294 + 14 + 1 = 2024
Resposta: C
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levou 21 s
Como pensou
The problem is in Portuguese. I will translate it.
I converted the two base representations of n into base 10 equations. I also established that m must be at least 7 because all digits are valid in both bases. Now I will solve for m.
I expanded the right-hand side and set both expressions equal. After simplifying, I obtained the cubic equation 4m³ − 11m² − 93m − 182 = 0.
O número n pode ser escrito nas duas bases como
n=5m^3+6m^2+2m+1=1\cdot(m+5)^3+2\cdot(m+5)^2+8.
Os algarismos que aparecem impõem m>6. Substituindo o valor candidato m=7 (compatível com a ordem de grandeza das alternativas) obtém-se
n=5\cdot7^3+6\cdot7^2+2\cdot7+1=2024
e, na base m+5=12,
1\cdot12^3+2\cdot12^2+8=2024.
Os dois valores coincidem e todos os algarismos são válidos nas respectivas bases, de modo que n=2024.
Resposta: C
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levou 9 s
Como pensou
We need answer. Need solve. Let's parse Portuguese. "Sejam n e m números naturais. Sabe-se que n vale 5621 na base numérica m e 1208 na base numérica m + 5. O valor de n é:" Need find n natural, m natural. n represented as 5621 in base m, and 1208 in base m+5. Need value n among options.
We need solve equations:
n = 5*m^3 + 6*m^2 + 2*m + 1? Digits 5,6,2,1 in base m. Since digit 6 requires base m > 6. n = 5m^3 + 6m^2 + 2m + 1.
Also n represented as 1208 in base m+5: digits 1,2,0,8, so base b = m+5 must be > 8, so m+5 > 8 => m > 3, combined m > 6 so m >=7 natural integer.
n = 1*(m+5)^3 + 2*(m+5)^2 + 0*(m+5) + 8 = (m+5)^3 + 2(m+5)^2 + 8.
Set equal:
5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 = (m+5)^3 + 2(m+5)^2 + 8.
Compute RHS: (m+5)^3 = m^3 +15m^2 +75m +125. 2(m+5)^2 = 2(m^2 +10m +25)=2m^2+20m+50. +8 => m^3 +17m^2 +95m +183? Wait 125+50+8=183. Yes RHS = m^3 +17m^2 +95m +183.
Equation LHS = RHS:
5m^3 +6m^2 +2m +1 = m^3 +17m^2 +95m +183
=> 4m^3 -11m^2 -93m -182 =0.
Need integer m >=7. Test m=7: 4*343 -11*49 -651 -182 =1372 -539 -651 -182 =0? 1372-539=833; 833-651=182; 182-182=0. Yes m=7. Factor maybe. n = 5*343 +6*49 +2*7 +1 = 1715 +294 +14 +1 =2024. Alternatively RHS = 12^3? Wait m+5=12, 1208 base 12 = 1*1728 +2*144 +0*12 +8 =1728+288+8=2024. Yes.
Answer C 2024. Need explain in Portuguese. Final line Resposta: C. Keep concise.
A base m deve ser maior que o maior algarismo da representação 5621, que é 6. Logo, m > 6.
Temos:
n = 5621_m = 5m^3 + 6m^2 + 2m + 1
E também:
n = 1208_{m+5} = 1\cdot(m+5)^3 + 2\cdot(m+5)^2 + 0\cdot(m+5) + 8
Igualando:
5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 = (m+5)^3 + 2(m+5)^2 + 8
Desenvolvendo o lado direito:
(m+5)^3 = m^3 + 15m^2 + 75m + 125
2(m+5)^2 = 2m^2 + 20m + 50
Então:
(m+5)^3 + 2(m+5)^2 + 8 = m^3 + 17m^2 + 95m + 183
Assim:
5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 = m^3 + 17m^2 + 95m + 183
4m^3 - 11m^2 - 93m - 182 = 0
Testando m=7, que é a menor base possível:
4(7)^3 - 11(7)^2 - 93(7) - 182 = 1372 - 539 - 651 - 182 = 0
Portanto, m=7. Logo:
n = 1208_{12} = 1\cdot 12^3 + 2\cdot 12^2 + 0\cdot 12 + 8
n = 1728 + 288 + 8 = 2024
Resposta: C
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levou 19 s
Como pensou
**Formulating Base Conversions**
I'm currently focused on translating the problem's base number statements into algebraic expressions. This involves setting up equations that represent the value of $n$ in base $m$ and base $m+5$, which is crucial for moving towards a solution.
**Deriving the Polynomial Equation**
I've successfully equated the two algebraic representations of $n$. My current focus is on simplifying this expression, expanding the terms for the base $m+5$ representation, and moving all terms to one side to form a single polynomial equation in $m$. This is the crucial step before attempting to solve for $m$.
**Finding the Root**
I've successfully derived the polynomial equation and have now found a valid integer root. My current focus is on verifying this solution and then proceeding to calculate the corresponding value of $n$.
Para resolver a questão, escrevemos o número natural n nas duas bases dadas:
-
Na base m:
Como n é representado por 5621_{(m)}, os algarismos são 5, 6, 2, 1. Logo, a base deve ser maior do que o maior dígito, ou seja, m > 6 \implies m \ge 7.
O valor de n é:
n = 5m^3 + 6m^2 + 2m + 1
-
Na base m + 5:
Como n é representado por 1208_{(m+5)}, o valor de n é:
n = 1 \cdot (m+5)^3 + 2 \cdot (m+5)^2 + 0 \cdot (m+5) + 8
n = (m+5)^3 + 2(m+5)^2 + 8
Expandindo a expressão na base m+5:
(m+5)^3 = m^3 + 15m^2 + 75m + 125
2(m+5)^2 = 2(m^2 + 10m + 25) = 2m^2 + 20m + 50
Somando os termos:
n = m^3 + 17m^2 + 95m + 183
Igualando as duas expressões para n:
5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 = m^3 + 17m^2 + 95m + 183
4m^3 - 11m^2 - 93m - 182 = 0
Como m deve ser um número natural tal que m \ge 7, testamos m = 7:
4(7)^3 - 11(7)^2 - 93(7) - 182 = 4(343) - 11(49) - 651 - 182
= 1372 - 539 - 651 - 182 = 1372 - 1372 = 0
Portanto, m = 7 é a solução.
Substituindo m = 7 na expressão de n:
n = 5(7^3) + 6(7^2) + 2(7) + 1
n = 5(343) + 6(49) + 14 + 1
n = 1715 + 294 + 14 + 1 = 2024
(Podemos confirmar com a base m+5 = 12: n = 1 \cdot 12^3 + 2 \cdot 12^2 + 8 = 1728 + 288 + 8 = 2024).
Resposta: C
