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**Clarifying geometric relations**
I need to solve this in a straightforward manner with an explanation in Portuguese about the hex circumradius, related to side 'a' and the half height 'h.' The formula relates a² + x² = R², and I determine that 12ax ≤ 6(R²), establishing equality when a = x.
I'll need to clearly define x as half the height and use 's.' I should indicate: “Seja a lado e h altura,” ensuring clarity about the relationships. The final answer will come from these established formulas.
Sejam a o lado da base hexagonal e h a altura do prisma. Como o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular é igual ao seu lado, a distância do centro da esfera a um vértice satisfaz
a^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2.
A área lateral é o perímetro da base multiplicado pela altura:
A_L=6ah=12a\left(\frac h2\right).
Usando 2xy\leq x^2+y^2, obtemos
A_L\leq 6\left[a^2+\left(\frac h2\right)^2\right]=6R^2.
A igualdade ocorre quando a=h/2=R/\sqrt2. Portanto, a área lateral máxima é \boxed{6R^2}.
Resposta: C
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Sejam a o lado da base hexagonal e h a altura do prisma. Como o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular é igual ao seu lado, a distância do centro da esfera a qualquer vértice satisfaz
a^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2.
A área lateral é o perímetro da base multiplicado pela altura:
A_L=6ah.
Usando 2xy\le x^2+y^2, com x=a e y=h/2, obtemos
ah\le a^2+\frac{h^2}{4}=R^2.
Logo,
A_L\le 6R^2.
A igualdade ocorre quando a=h/2=R/\sqrt2, portanto esse máximo é atingido.
Resposta: C
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**Maximizing lateral area of a prism**
I need to solve a problem involving a regular right hexagonal prism inscribed in a sphere with radius R, focusing on maximizing its lateral area. The vertices of the prism are on the sphere, which needs careful consideration of geometric constraints. The lateral area is determined by its perimeter and height. I discovered that the relationship between side length and height leads to a maximum area when specific conditions are met. I wonder if I've interpreted the term "inscribed" correctly regarding prism vertices.
Seja a o lado do hexágono da base e h a altura do prisma. O raio circunscrito de um hexágono regular é igual ao seu lado. Assim, a distância do centro da esfera a um vértice do prisma satisfaz
a^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2.
A área lateral é A_L=6ah. Pela desigualdade 2a(h/2)\le a^2+(h/2)^2,
A_L=12a\frac h2\le 6R^2.
A igualdade é atingida quando a=h/2, portanto esse é o valor máximo.
Resposta: C
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Seja a o lado do hexágono regular da base (que coincide com o raio da circunferência circunscrita à base) e h a altura do prisma. Como o prisma está inscrito na esfera, o centro da esfera é o centro do prisma, e um vértice do prisma dista R dele:
a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad 4a^2 + h^2 = 4R^2.
A área lateral é formada por 6 retângulos de lados a e h:
A_L = 6ah.
Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (ou AM–GM) aplicada a 4a^2 e h^2:
4R^2 = 4a^2 + h^2 \ge 2\sqrt{4a^2 \cdot h^2} = 4ah \quad\Longrightarrow\quad ah \le R^2,
com igualdade quando 4a^2 = h^2, isto é, h = 2a, o que dá a = \frac{R}{\sqrt{2}} e h = \sqrt{2}R.
Logo, a área lateral máxima é
A_L^{\max} = 6 \cdot R^2 = 6R^2.
Resposta: C
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For a regular hexagonal prism inscribed in a sphere, I set up the constraint relating side length a and height h to radius R, then maximize the lateral area 6ah using AM-GM, finding the optimum at a = h/2 = R/√2, giving a maximum lateral area of 6R².
Resposta: (C) 6R²
Montagem. Seja a a aresta da base hexagonal regular e h a altura do prisma.
- Num hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita à base é igual à aresta, ou seja, vale a.
- O centro da esfera é o ponto médio do eixo do prisma.
- Cada vértice está na esfera. Pelo teorema de Pitágoras, a distância do centro a um vértice satisfaz:
a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2
Área lateral. O prisma tem 6 faces laterais retangulares de área a \cdot h cada:
A_L = 6ah = 12\, a\cdot\frac{h}{2}
Maximização. Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (MA ≥ MG), aplicada a a^2 e \left(\frac{h}{2}\right)^2:
a\cdot\frac{h}{2} \le \frac{a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}{2} = \frac{R^2}{2}
A igualdade ocorre quando a = \dfrac{h}{2} = \dfrac{R}{\sqrt{2}}.
Logo, a área lateral máxima é:
A_L^{\max} = 12\cdot\frac{R^2}{2} = 6R^2
Resposta: C
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Seja a o lado do hexágono regular da base e h a altura do prisma.
Relação com a esfera. O prisma está inscrito na esfera, então o raio da circunferência circunscrita à base é a. Assim, o raio da esfera satisfaz
R² = a² + (h/2)², ou seja, a² = R² − h²/4.
Área lateral. São 6 retângulos de lados a e h:
A = 6ah, e A² = 36a²h² = 36h²(R² − h²/4).
Maximização. Seja u = h². Então A² = 36(R²u − u²/4). Essa função é uma parábola em u, com máximo em u = 2R², isto é, h = R√2.
Nesse ponto, a² = R² − 2R²/4 = R²/2, logo a = R/√2.
Então
A = 6 · (R/√2) · (R√2) = 6R².
Conferindo por A²: 36(2R⁴ − R⁴/... ) — de fato, 36(R²·2R² − 4R⁴/4) = 36(2R⁴ − R⁴) = 36R⁴, logo A = 6R².
Resposta: C
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The problem is in Portuguese. It describes a regular hexagonal prism inscribed in a sphere of radius R.
The task is to find the maximum lateral area of the inscribed prism as a function of R. The options are √6 R², 3R², 6R², 2√6 R², and 12R². I will set up coordinates with the sphere centered at the origin.
The prism axis lies along the z-axis. The two hexagonal bases sit at heights ±h/2, giving the prism height h. For a regular hexagon, the circumradius equals the side length, so the base edge length is r.
The constraint r² + (h/2)² = R² gives r = √(R² − h²/4). The lateral area is A = 6rh. I will maximize this with respect to h, or equivalently with respect to x = h/2 where x ranges from 0 to R.
I found the maximum lateral area equals 6R². I suspect I made a mistake about the side length.
The side length equals the circumradius, so the lateral area is 6rh. The vertices all lie on the sphere at distance R. The maximum value is 6R², which corresponds to option (C).
O prisma regular reto de base hexagonal está inscrito na esfera, de modo que todos os seus vértices pertencem à superfície esférica. Por simetria, o centro da esfera coincide com o centro do prisma.
Sejam h a altura do prisma e a o lado da base hexagonal. Em um hexágono regular o lado coincide com o raio da circunferência circunscrita à base, e a condição de inscrição fornece
a=\sqrt{R^2-\frac{h^2}{4}}.
A área lateral é portanto
A_L=6ah=6h\sqrt{R^2-\frac{h^2}{4}}.
A substituição x=h/2 reduz o problema à maximização de
f(x)=x\sqrt{R^2-x^2},\qquad 0\le x\le R.
O único ponto crítico no intervalo aberto ocorre em x=R/\sqrt{2}. Nesse ponto
h=R\sqrt{2},\qquad a=R/\sqrt{2},
e segue-se
A_L=6R^2.
Nos extremos do intervalo a área lateral se anula, logo o valor obtido é o máximo.
Resposta: C
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We need answer in Portuguese, explain. Need solve. Let's restate. "Em uma esfera de raio R inscreve-se um prisma regular reto de base hexagonal. Sabendo-se que a área lateral desse prisma é máxima, o seu valor em função de R é:" Alternatives. Need max lateral area of right regular hexagonal prism inscribed in sphere radius R. Need find max lateral area.
We need be careful geometry. A regular right hexagonal prism inscribed in sphere radius R. Meaning all vertices lie on sphere? Likely prism inscribed in sphere: bases are regular hexagons, prism right, vertices on sphere. We need maximize lateral area (area of 6 rectangular side faces) as function of R, over possible prisms? Right regular hexagonal prism inscribed in sphere. There are parameters: height h, base circumradius r (distance center to hexagon vertices), with constraint vertices on sphere radius R. For a right prism with axis through sphere center, bases at z = ±h/2, base vertices at radius r in xy-plane. Distance from center to vertex = sqrt(r^2 + (h/2)^2) = R. So r^2 + h^2/4 = R^2. Lateral area L = perimeter * h = 6 * side length * h. For regular hexagon inscribed in circle radius r, side length = r. So L = 6 r h. Need maximize L = 6 r h subject r^2 + h^2/4 = R^2, r>0, h>0. Let h=2 sqrt(R^2 - r^2). L = 12 r sqrt(R^2 - r^2). Square maximize f = r^2 (R^2 - r^2). Let x=r^2. f=x(R^2 - x), max at x=R^2/2 => r=R/√2, h=2 sqrt(R^2 - R^2/2)=2 R/√2 = √2 R. Then L=6*(R/√2)*(√2 R)=6 R^2. So alternative C. But check potential nuance: A regular hexagonal prism could be inscribed with bases not necessarily symmetric? Right prism inscribed in sphere: "inscreve-se um prisma regular reto de base hexagonal" in a sphere. Usually all vertices on sphere. But a right prism inscribed in a sphere must have axis through center; bases congruent and central. Yes.
But maybe base hexagon orientation? Lateral area = sum of areas of 6 rectangles = 6 * side * height. Since base regular, side = r. Constraint as above. Max L=6R^2. Option C.
Need craft explanation.
But let's ensure not missing "prisma regular reto de base hexagonal" maybe regular hexagonal prism is a prism whose base is regular hexagon and lateral edges perpendicular to bases. Inscribed in sphere. Could also interpret as the prism's lateral area maximum. We solved.
Let's provide detailed derivation. Need in Portuguese. End with "Resposta: C". Use final. Need ensure final answer only? User asks solve and explain. We can include.
Let's produce concise with equations.
Seja r o raio da circunferência circunscrita à base hexagonal regular e h a altura do prisma.
Como o prisma regular reto está inscrito em uma esfera de raio R, seus vértices pertencem à esfera. A distância do centro da esfera a um vértice da base é R. Assim:
R^2=r^2+\left(\frac h2\right)^2
Logo,
h=2\sqrt{R^2-r^2}.
O lado do hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r também mede r. Portanto, o perímetro da base é:
P=6r.
A área lateral do prisma é:
A_L=P\cdot h=6r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}=12r\sqrt{R^2-r^2}.
Queremos maximizar A_L. Elevando ao quadrado, maximizamos:
A_L^2=144r^2(R^2-r^2).
Seja x=r^2. Então:
f(x)=x(R^2-x),
que é uma parábola com máximo em:
x=\frac{R^2}{2}.
Portanto,
r^2=\frac{R^2}{2}\implies r=\frac{R}{\sqrt2}.
Então:
h=2\sqrt{R^2-\frac{R^2}{2}}=2\sqrt{\frac{R^2}{2}}=\sqrt2 R.
Assim, a área lateral máxima é:
A_L=6\cdot \frac{R}{\sqrt2}\cdot \sqrt2R=6R^2.
Resposta: C
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**Exploring Maximum Lateral Area**
I'm currently analyzing a problem involving a hexagonal prism inscribed within a sphere, specifically seeking the maximum lateral area. My focus is on the geometric constraints and how they influence the prism's dimensions to achieve this maximum.
**Optimizing Prism Dimensions**
I'm working on maximizing the lateral area of a hexagonal prism inscribed in a sphere. My current focus is on relating the prism's side length and height to the sphere's radius and then applying optimization techniques.
Para determinar o valor da área lateral máxima do prisma regular reto de base hexagonal inscrito em uma esfera de raio R, podemos modelar o problema geometricamente:
-
Relação entre as dimensões do prisma e o raio da esfera:
-
Expressão da área lateral:
-
Maximização da área lateral:
- Pela desigualdade das médias aritmética e geométrica (MA \ge MG):
\frac{a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}{2} \geq \sqrt{a^2 \cdot \left(\frac{h}{2}\right)^2} = a \cdot \frac{h}{2}
- Substituindo a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2:
\frac{R^2}{2} \geq a \cdot \frac{h}{2} \implies a \cdot \frac{h}{2} \le \frac{R^2}{2}
- A igualdade (valor máximo) ocorre quando a = \frac{h}{2}. Nesse ponto, temos:
a \cdot \frac{h}{2} = \frac{R^2}{2} \implies a \cdot h = R^2
-
Cálculo da área lateral máxima:
A_{L,\text{máx}} = 6 \cdot a \cdot h = 6R^2
Resposta: C
