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levou 17 s
Como pensou
Como v_x=\dot x e v_y=\dot y, as relações dadas são
\dot y=\frac{x}{9}
\qquad\text{e}\qquad
\dot x=-\frac{y}{4}.
Derivando a segunda e substituindo a primeira:
\ddot x=-\frac{\dot y}{4}=-\frac{x}{36}.
Essa é a equação de um movimento harmônico simples, com frequência angular
\omega^2=\frac{1}{36}\quad\Rightarrow\quad\omega=\frac16\ \text{rad/s}.
Além disso, podemos escrever
x=A\cos\left(\frac t6+\varphi\right),
\qquad
y=-4\dot x=\frac{2A}{3}\sin\left(\frac t6+\varphi\right).
Logo, para o movimento não trivial, a trajetória é a elipse
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(2A/3)^2}=1,
percorrida uma vez quando a fase aumenta de 2\pi. Portanto,
T=\frac{2\pi}{\omega}=\boxed{12\pi\ \text{s}}.
Resposta: E
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levou 9 s
Como pensou
Como v_x=\dot x e v_y=\dot y, as equações fornecidas implicam
\dot y=\frac{x}{9},
\qquad
\dot x=-\frac{y}{4}.
Derivando a segunda equação em relação ao tempo:
\ddot x=-\frac{\dot y}{4}=-\frac{x}{36}.
Portanto, a coordenada x realiza um movimento harmônico simples, com frequência angular
\omega^2=\frac{1}{36}
\quad\Rightarrow\quad
\omega=\frac16\ \text{rad/s}.
Assim, podemos escrever
x(t)=A\cos\left(\frac t6+\varphi\right).
Como y=-4\dot x, temos
y(t)=\frac{2A}{3}\sin\left(\frac t6+\varphi\right).
Essas expressões descrevem uma elipse, pois
\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(2A/3)^2}=1.
Uma volta completa corresponde a um aumento de 2\pi na fase. Logo, o tempo para percorrer a trajetória uma vez é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\boxed{12\pi\ \text{s}}.
Resposta: E
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levou 7 s
Como pensou
**Solving motion equations**
I'm working on a problem involving velocities x and y. I've differentiated the equations to relate x and y through their derivatives. From the equations, it seems x relates to y in a way that leads to something periodic, perhaps forming a closed ellipse. I'll make sure to clarify dimensions and the relationships between the variables, especially focusing on whether these equations describe oscillations. I'll derive further relations to confirm the trajectory and ensure everything makes sense with the derivatives.**Deriving motion equations**
I'm working on deriving the equations x'' + x/36 = 0 and y'' + y/36 = 0. The general solutions seem to yield terms like A cos(t/6) + B sin, suggesting periodic motion. Given the constraints, this indicates an elliptical trajectory, with a period of 12π, unless the origin is stationary. I need to clarify why the frequencies are the same and ensure the coefficients and dimensions align with SI units. Overall, it looks like option E is relevant here.
Como v_x=\dot x e v_y=\dot y, as relações dadas são
x=9\dot y,\qquad y=-4\dot x.
Derivando a segunda, \dot y=-4\ddot x. Substituindo na primeira:
x=-36\ddot x
\quad\Rightarrow\quad
\ddot x+\frac{x}{36}=0.
Essa é a equação de um movimento harmônico simples, com frequência angular \omega=1/6\ \text{rad/s}. Seu período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=12\pi\ \text{s}.
As coordenadas oscilam com o mesmo período, formando uma trajetória fechada.
Resposta: E
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levou 9 s
Como pensou
Temos x = 9 y' e y = −4 x'. Logo x' = −y/4 e y' = x/9.
Derivando a primeira: x'' = −y'/4 = −x/36, ou seja, x'' + (1/36)x = 0 — um oscilador harmônico com ω² = 1/36 ⇒ ω = 1/6 rad/s.
Analogamente y'' = x'/9 = −y/36, mesma frequência. Assim
x(t) = A cos(t/6 + φ), y(t) = (9·ω)A sen(t/6 + φ)... (verificando: y = −4x' = −4·(−A/6) sen(...) = (2A/3) sen(...)).
A trajetória é uma elipse (x²/A² + y²/(2A/3)² = 1), curva fechada, percorrida uma vez em um período
T = 2π/ω = 2π·6 = 12π s.
Resposta: E
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levou 6 s
Como pensou
Substituting, x'' gives a harmonic oscillator with angular frequency 1/6, so the period works out to 12π.
Período: T = 12π s (alternativa E).
Montando o sistema
Do enunciado:
- x = 9 v_y ⇒ v_y = ẏ = x/9
- y = −4 v_x ⇒ v_x = ẋ = −y/4
Equação de movimento para x
Derivando ẋ = −y/4 em relação ao tempo:
ẍ = −ẏ/4 = −(1/4)(x/9) = −x/36
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, com ω² = 1/36, ou seja, ω = 1/6 rad/s.
Pelo mesmo procedimento, ÿ = ẋ/9 = −y/36. As duas coordenadas oscilam com a mesma frequência, defasadas. A trajetória é, portanto, uma elipse, que é uma curva fechada.
Isso também se verifica diretamente: d/dt (x²/9 + y²/4) = 2xẋ/9 + 2yẏ/4 = −xy/18 + xy/18 = 0. Logo x²/9 + y²/4 é constante, o que confirma a elipse.
Período
T = 2π/ω = 2π · 6 = 12π s
Resposta: E
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levou 3 s
Como pensou
Temos x = 9 v_y = 9 y' e y = −4 v_x = −4 x'.
Derivando a primeira equação: x' = 9 y''. Da segunda, y = −4 x' = −4·9 y'' = −36 y''.
Logo y'' + y/36 = 0, ou seja, ω² = 1/36 e ω = 1/6 rad/s.
Para x: y = −4x', então y' = −4x''. Substituindo em x = 9y', obtemos x = −36 x'', e portanto também ω = 1/6.
O período é T = 2π/ω = 12π.
Verificação de que a trajetória é fechada: seja x = A cos(t/6). Então v_x = −(A/6) sen(t/6) e y = −4v_x = (2A/3) sen(t/6). Daí v_y = (2A/18) cos(t/6) = (A/9) cos(t/6), e x = 9v_y = A cos(t/6), o que é consistente. A trajetória é uma elipse, percorrida uma vez em T = 12π.
Resposta: E
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levou 16 s
Como pensou
The problem is in Portuguese. I will translate it.
I'm solving the differential equations to find the period of the closed trajectory. The given relations x = 9 dy/dt and y = -4 dx/dt lead to dy/dt = x/9.
The second-order equations are d²x/dt² + x/36 = 0 and d²y/dt² + y/36 = 0. Both describe simple harmonic motion with frequency ω = 1/6. The period is T = 2π/ω = 12π. The trajectory is closed.
The trajectory is an ellipse: 9y² + 4x² = K. Parametrization confirms the period is 12π.
A velocidade está relacionada à posição por v_x=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t e v_y=\mathrm{d}y/\mathrm{d}t. Substituindo nas equações dadas, obtém-se o sistema
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\frac{y}{4},\qquad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{x}{9}.
Diferenciando a primeira equação e substituindo a segunda, chega-se a
\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\frac{x}{36}=0.
A equação para y é idêntica. Trata-se, portanto, de um movimento harmônico simples de frequência angular \omega=1/6. O período correspondente é
T=\frac{2\pi}{\omega}=12\pi.
Como as duas coordenadas oscilam com a mesma frequência, a trajetória é uma elipse (curva fechada) percorrida exatamente uma vez a cada período T.
Resposta: E
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levou 14 s
Como pensou
Temos x = 9 v_y e y = -4 v_x. Como v_x = x', v_y = y', temos:
x = 9 y' => y' = x/9
y = -4 x' => x' = -y/4
Então:
x' = -y/4
y' = x/9
Derivando: x'' = -y'/4 = -(x/9)/4 = -x/36. Então x'' + x/36 = 0, movimento harmônico simples com ω² = 1/36, ω = 1/6.
Período T = 2π/ω = 2π/(1/6) = 12π.
Vamos verificar: x'' = -(1/36)x. ω = 1/6. T = 2π/ω = 12π.
Resposta: E.
Vamos verificar consistência: y'' = x'/9 = (-y/4)/9 = -y/36. Também harmônico com mesma frequência.
Então a trajetória é uma elipse (curva fechada) e o período é 12π. Alternativa E.
Vou escrever a solução detalhada em português.
As equações dadas são:
x(t)=9\,v_y(t) \quad\Rightarrow\quad x = 9\,\frac{dy}{dt}
y(t)=-4\,v_x(t) \quad\Rightarrow\quad y = -4\,\frac{dx}{dt}
Isso fornece o sistema:
\frac{dx}{dt}=-\frac{y}{4}, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{x}{9}
Derivando a primeira equação em relação a t:
\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{1}{4}\frac{dy}{dt}
Substituindo \frac{dy}{dt}=\frac{x}{9}:
\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{9}=-\frac{x}{36}
Logo,
\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{1}{36}x=0
que é a equação de um movimento harmônico simples de frequência angular
\omega^2=\frac{1}{36}\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{1}{6}\ \text{rad/s}
O período do movimento é:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{1/6}=12\pi
Como as equações também implicam movimento harmônico em y com a mesma frequência angular, a trajetória é uma curva fechada (elipse) percorrida em 12\pi unidades de tempo.
Resposta: E
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levou 22 s
Como pensou
**Analyzing the IME Question**
I've received an image of an IME exam question. It describes a particle's motion in a plane, with equations relating position (x, y) and velocity (vx, vy) to time (t). I need to determine what is being asked for given the context of the prompt.
**Deriving the MHS Equation**
I've successfully derived the Simple Harmonic Motion (SHM) equation from the given differential equations. Now I know the angular frequency is 1/6 rad/s. I can see the trajectory is an ellipse because of how vx and vy are related to x and y. Therefore, the period is $2\pi/\omega$. Next, I'll calculate the period to solve the problem.
**Calculating the Period**
I've determined that the angular frequency is 1/6 rad/s for both coordinates. I've now calculated the period, which is $12\pi$ seconds. Furthermore, I have confirmed that the trajectory is indeed an ellipse, and that the complete rotation period aligns with my initial calculation. Thus, the derived period of the periodic motion is $12\pi$. The correct choice is option (E).
Para determinar o tempo necessário para a partícula percorrer a trajetória fechada uma vez (o período T do movimento), podemos relacionar a posição e a velocidade em termos de derivadas temporais:
Como v_x(t) = \dot{x}(t) e v_y(t) = \dot{y}(t), o sistema de equações dado é:
- x(t) = 9\dot{y}(t) \implies \dot{y}(t) = \frac{1}{9}x(t)
- y(t) = -4\dot{x}(t) \implies \dot{x}(t) = -\frac{1}{4}y(t)
Derivando a segunda equação em relação ao tempo t:
\ddot{x}(t) = -\frac{1}{4}\dot{y}(t)
Substituindo a expressão de \dot{y}(t) obtida da primeira equação:
\ddot{x}(t) = -\frac{1}{4}\left(\frac{1}{9}x(t)\right) = -\frac{1}{36}x(t)
Reescrevendo a equação diferencial:
\ddot{x}(t) + \frac{1}{36}x(t) = 0
Essa é a equação diferencial característica de um Movimento Harmônico Simples (MHS), da forma \ddot{x} + \omega^2 x = 0, onde:
\omega^2 = \frac{1}{36} \implies \omega = \frac{1}{6}\text{ rad/s}
Analogamente, derivando a primeira equação e substituindo \dot{x}(t), obtemos \ddot{y}(t) + \frac{1}{36}y(t) = 0, mostrando que y(t) oscila com a mesma frequência angular \omega = \frac{1}{6}\text{ rad/s} e defasada de \frac{\pi}{2} em relação a x(t), o que descreve uma elipse (curva fechada).
O período T do movimento é dado por:
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{1}{6}} = 12\pi\text{ s}
Resposta: E
