DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6.1 Terra
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 39 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | Pela representação de \(n\) nas duas bases, \[ n=5m^3+6m^2+2m+1 \] e \[ n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8. \] Igualando as expressões e simplificando, obtemos \[ 4m^3-11m^2-93m-182=0, \] ou seja, \[ (m-7)(4m^2+17m+26)=0. \] Como \(m\) é natura… |
| 2 | B | B | Para os dois elementos fixados, há \(8\cdot 7=56\) pares ordenados de imagens distintas. Desses, \(14\) têm diferença absoluta igual a \(1\): são os 7 pares consecutivos de \(Y\), cada um em duas ordens. Restam, portanto, \(56-14=42\) pa… |
| 3 | C | C | Aplicando a identidade para \(x=1,2,\ldots,10\) e somando, obtemos uma soma telescópica: \[ P(10)-P(0)=\sum_{k=1}^{10}k^2 =\frac{10\cdot11\cdot21}{6}=385. \] Como \(P(0)=5\), segue que \(P(10)=390\). Resposta: C |
| 4 | B | B | Colocando \(x^m\), \(y^m\) e \(z^m\) em evidência nas respectivas linhas, obtemos um determinante de Vandermonde: \[ \begin{vmatrix} x^m&x^{m+2}&x^{m+4}\\ y^m&y^{m+2}&y^{m+4}\\ z^m&z^{m+2}&z^{m+4} \end{vmatrix} =(xyz)^m(y^2-x^2)(z^2-x^2)… |
| 5 | D | D | Temos \[ z=\frac{1-2i}{4-3i}=\frac{2-i}{5}, \qquad |z|=\frac1{\sqrt5}, \qquad |1-z|=\sqrt{\frac25}. \] Como \[ \frac{\bar z-|z|^2}{|1-z|^2} =\frac{\bar z(1-z)}{(1-z)(1-\bar z)} =\frac{\bar z}{1-\bar z}, \] esse termo é a soma da série ge… |
| 6 | D | D | A região \(S\) é uma elipse de focos \(F_1=(-1,1)\) e \(F_2=(3,4)\). A soma das distâncias aos focos é limitada por \(7\), logo o eixo maior mede \(2a=7\). A distância entre os focos é \[ 2c=\sqrt{(3+1)^2+(4-1)^2}=5. \] Assim, \[ b^2=a^2… |
| 7 | C | C | Pelas relações de Viète, para uma equação com raízes \(r_j\) e \(r_k\), \[ \frac{a_i-b_i+c_i}{a_i} =1+(r_j+r_k)+r_jr_k =(1+r_j)(1+r_k). \] Multiplicando as três expressões e extraindo a raiz quadrada, obtemos \[ \boxed{\left|(1+r_1)(1+… |
| 8 | B | B | Como \(3^{2x-1}=\frac{1}{3}9^x\), rearranjando a equação obtemos \[ \frac{5}{3}9^x =\left(\frac{4}{\sqrt5}+\sqrt5\right)5^x =\frac{9}{\sqrt5}5^x. \] Dividindo por \(\frac{5}{3}5^x\), resulta \[ \left(\frac95\right)^x =\frac{27}{5\sqrt5… |
| 9 | B | B | As raízes de \(x^{12}-1\) são as raízes dos seguintes fatores irredutíveis sobre os racionais: \[ x-1,\quad x+1,\quad x^2+x+1,\quad x^2+1,\quad x^2-x+1,\quad x^4-x^2+1. \] Assim, cada polinômio pedido é um produto desses fatores, com po… |
| 10 | B | B | Das \(\binom{10}{2}=45\) escolhas iniciais possíveis: - **Opção 1:** Maria já escolheu as duas caixas com moedas em apenas um caso. Logo, \(P(1)=1/45\). - **Opção 3:** a troca das duas caixas dá certo quando as escolhas iniciais eram amb… |
| 11 | A | A | Das equações, temos \[ xy=2025 \quad\text{e}\quad x^2+y^2=10145. \] Logo, \[ (x+y)^2=14195 \quad\text{e}\quad (x-y)^2=6095. \] Cada uma dessas duas expressões pode assumir independentemente dois sinais. Assim, há quatro pontos distintos,… |
| 12 | A | A | Como \(x\) não é múltiplo de \(\pi/2\), tanto \(\operatorname{tg}(x)\) quanto \(\operatorname{cotg}(x)\) estão definidas e seu produto é \(1\). Assim, \[ \operatorname{tg}^2(x)+\operatorname{cotg}^2(x)\geq 2. \] Logo, o lado esquerdo da… |
| 13 | B | B | Para que o logaritmo exista, sua base deve ser positiva e diferente de 1, e seu argumento deve ser positivo. Nessas condições, a equação dada equivale a \[ \frac{\sen(4x)}2=\frac{1+\cos(4x)}2, \] ou seja, \[ \sen(4x)-\cos(4x)=1. \] As… |
| 14 | C | C | O círculo \(C_1\) tem raio \(1\). Se \(r\) é o raio do círculo variável, as condições de tangência dão \[ OM=1+r \qquad\text{e}\qquad r=d(M,L). \] Considere a reta \(L'\), paralela a \(L\), a distância \(1\) dela e no semiplano oposto a… |
| 15 | C | C | Seja \(a\) o lado da base hexagonal e \(h\) a altura do prisma. Em um hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado \(a\). Assim, pelo teorema de Pitágoras, \[ a^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2. \] A área lateral… |
| 16 | E | E | Como \(v_x=\dot{x}\) e \(v_y=\dot{y}\), as equações dadas implicam \[ \dot{x}=-\frac{y}{4}, \qquad \dot{y}=\frac{x}{9}. \] Derivando a primeira e substituindo a segunda: \[ \ddot{x}=-\frac{\dot{y}}{4}=-\frac{x}{36}. \] Trata-se de um … |
| 17 | C | C | Sejam \(a\) e \(b\) os semieixos maior e menor da órbita, e \(c\) a distância do centro \(O\) ao foco \(S\). As distâncias ao apoastro e ao periastro são, respectivamente, \[ r_{\text{apo}}=a+c=9k \quad\text{e}\quad r_{\text{peri}}=a-c=4… |
| 18 | B | B | Como o plano está positivamente carregado, o campo aponta para fora dele. Assim, a força elétrica sobre cada partícula é dirigida para baixo: seus módulos são \(EQ\) e \(3EQ\). As roldanas engrenadas giram em sentidos opostos, e os fios … |
| 19 | E | E | Pelo efeito Doppler relativístico, para uma nave que se aproxima da fonte, \[ \frac{\lambda_X}{\lambda} =\sqrt{\frac{1-\beta_X}{1+\beta_X}} =\frac12, \] em que \(\beta_X=v_X/c\). Elevando ao quadrado e resolvendo, obtemos \(\beta_X=0{,}… |
| 20 | E | E | No equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior do material condutor é nulo. Assim, pela lei de Gauss, a carga total encerrada por uma superfície esférica com \(3a<r<4a\) deve ser zero. Essa superfície encerra a carga central \… |
| 21 | B | B | Como a plataforma permanece horizontal, ela se desloca por translação. Sua aceleração tem módulo \(R\omega^2\). Para um ângulo \(\theta\), podemos escrever suas componentes como \[ a_x=-R\omega^2\cos\theta, \qquad a_y=-R\omega^2\sen\thet… |
| 22 | A | A | Pelo equilíbrio das forças verticais: \[ F_A+F_B=75+30+30=135\ \text{kN}. \] Calculando os momentos em relação ao apoio A, temos: \[ F_B(2{,}7)=75(0{,}9)+30(3{,}3)+30(3{,}9). \] Logo, \(F_B=105\ \text{kN}\) e \(F_A=135-105=30\ \text{k… |
| 23 | C | C | Seja \(Q_1\) o calor recebido pela primeira máquina. Como ela opera em ciclo de Carnot, \[ W_1=Q_1\left(1-\frac{T_2}{900}\right), \qquad Q_{\text{rejeitado}}=Q_1\frac{T_2}{900}. \] A segunda máquina recebe \(80\%\) desse calor. Portanto… |
| 24 | C | C | A explosão não altera o movimento do centro de massa, que continua sujeito à gravidade. Como a componente vertical da velocidade inicial é \(10\ \text{m/s}\), sua altura em \(t=1{,}9\ \text{s}\) é \[ y_{\text{CM}}=10(1{,}9)-\frac{10}{2}(… |
| 25 | C | C | Tomemos os potenciais dos terminais ligados à fonte como \(+U\) e \(-U\), com \(U=V/2\). Pela simetria das malhas, o nó central está em potencial zero. **Primeira malha.** Sejam \(x\) o potencial do vértice esquerdo intermediário e \(y\)… |
| 26 | D | D | Seja \(\mu\) a densidade linear da corda. Por simetria, cada extremidade sustenta metade do peso total; logo, a componente vertical da tração na extremidade é \[ T_V=\frac{\mu Sg}{2}. \] A componente horizontal \(T_H\) da tração é const… |
| 27 | A | A | As 10 espiras entre os contatos têm resistência total \[ R=10(0{,}04)=0{,}4\ \Omega. \] Logo, a corrente é \(i=6/0{,}4=15\ \text{A}\). Como essas espiras ocupam os \(0{,}05\ \text{m}\) do projétil, a densidade de espiras é \(n=10/0{,}05… |
| 28 | B | B | Em cada inversão, a energia potencial perdida pelas esferas na queda é convertida em calor. As alturas de queda são: - \(0{,}50\ \text{m}\) nas primeiras 8 inversões; - \(0{,}80\ \text{m}\) nas 10 seguintes; - \(1{,}50\ \text{m}\) nas 12… |
| 29 | D | D | O menor caminho sobre a superfície da Terra é o arco de circunferência máxima que liga A a B. Tomando o centro da Terra como origem, as coordenadas dos pontos são \[ \vec{OA}=\frac{R}{\sqrt2}(1,0,1), \qquad \vec{OB}=\frac{R}{\sqrt2}(0,1,… |
| 30 | D | D | Na situação 2, a esfera desloca um volume de líquido igual ao seu próprio volume: \[ V=\frac{4}{3}\pi R^3. \] Pelo princípio de Arquimedes, o líquido exerce sobre a esfera um empuxo \(E=\rho gV\). Pela terceira lei de Newton, a esfera e… |
| 31 | C | C | No subnível \(3p\), o número quântico principal é \(n=3\), e a letra \(p\) corresponde a \(l=1\). O número quântico magnético assume valores inteiros de \(-l\) a \(+l\); portanto, \(m_l=-1, 0\) ou \(+1\). Além disso, o spin pode ser \(+\… |
| 32 | A | D | **Molécula I:** o grupo COOH dirige a substituição para as posições meta, 3 e 5. O grupo CH₃ também favorece essas posições, que são, respectivamente, orto e para em relação a ele. A posição **5** é menos impedida estericamente. **Molécu… |
| 33 | B | B | **i.** Em meio básico, o bromo oxida Cr(III) a cromato, \(\mathrm{CrO_4^{2-}}\), no qual o cromo tem NOX \(+6\). O bromo é reduzido a \(\mathrm{Br^-}\). **ii.** Em meio ácido, o permanganato é reduzido a \(\mathrm{Mn^{2+}}\), enquanto o … |
| 34 | D | D | A carga elétrica transferida é: \[ Q = It = 11 \cdot (52 \cdot 60) = 34\,320\ \text{C} \] Logo, a quantidade de elétrons é: \[ n(e^-) = \frac{34\,320}{96\,500} \approx 0{,}356\ \text{mol} \] Pela reação, são produzidos 1 mol de \(\mat… |
| 35 | E | E | O penta-2,3-dieno tem estrutura **CH₃–CH=C=CH–CH₃**. Suas duplas ligações são cumuladas: o carbono central é **sp**, enquanto os dois carbonos ligados a ele são **sp²**. Na ozonólise completa, a quebra das duas duplas produz uma molécula… |
| 36 | C | C | O nitrogênio tem configuração eletrônica terminada em \(2p^3\), com um elétron em cada orbital \(2p\). Já o oxigênio termina em \(2p^4\), de modo que há um par de elétrons em um desses orbitais. A repulsão entre os elétrons desse par fac… |
| 37 | A | A | A alternativa **A** está correta: adenina e guanina são bases púricas, enquanto citosina e timina são bases pirimídicas. No DNA, essas bases fazem parte de nucleotídeos, que também contêm desoxirribose e fosfato. As demais estão incorret… |
| 38 | B | B | Considerando a atividade da água aproximadamente igual a 1, o quociente da reação é \[ Q=\frac{[\mathrm{ADP}][\mathrm{P_i}]}{[\mathrm{ATP}]} =\frac{10^{-4}\cdot10^{-2}}{10^{-3}}=10^{-3}. \] A 25 °C, \(T=298\ \mathrm{K}\). Portanto, \[ … |
| 39 | E | E | **I. Falsa.** Nas reações i e ii, o bicarbonato doa e recebe próton, respectivamente. Essa classificação como ácido e base é a de Brønsted–Lowry, não a de Arrhenius, na qual as bases liberam íons OH⁻ em água. **II. Falsa.** Na reação iii… |
| 40 | C | C | O volume total final é \(6V\). Pela conservação da quantidade de matéria, a pressão total final é \[ P_X+P_Y+P_Z =\frac{PV+(2P)(2V)+(3P)(3V)}{6V} =\frac{7P}{3}. \] O gás \(Y\) está ausente em \(B\). Sua pressão parcial final é mínima qu… |