DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6.1 Sol
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 39 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | Pelo valor posicional dos algarismos, temos \[ n=5m^3+6m^2+2m+1. \] Na base \(m+5\), a representação \(1208\) fornece \[ n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8. \] Igualando e expandindo: \[ 5m^3+6m^2+2m+1=m^3+17m^2+95m+183, \] logo \[ 4m^3-11m^2-93m-182=… |
| 2 | B | B | Como \(f\) é injetiva, as imagens dos dois elementos fixados devem ser distintas. Há \[ 8\cdot 7=56 \] pares ordenados possíveis \(\bigl(f(x_i),f(x_j)\bigr)\). Devemos excluir os pares cujos valores são consecutivos. Em \(Y\), existem 7 … |
| 3 | C | C | Aplicando a identidade aos inteiros \(x=1,2,\ldots,10\) e somando, obtemos \[ \sum_{k=1}^{10}\bigl(P(k)-P(k-1)\bigr)=\sum_{k=1}^{10}k^2. \] No lado esquerdo, os termos intermediários se cancelam, restando \(P(10)-P(0)\). Logo, \[ P(10)-5=… |
| 4 | B | B | Colocando \(x^m\), \(y^m\) e \(z^m\) em evidência nas respectivas linhas, o determinante fica \[ (xyz)^m \begin{vmatrix} 1&x^2&x^4\\ 1&y^2&y^4\\ 1&z^2&z^4 \end{vmatrix}. \] O determinante restante é de **Vandermonde**, logo vale \[ (y^2-x… |
| 5 | D | D | Racionalizando \(z\), temos \[ z=\frac{(1-2i)(4+3i)}{4^2+3^2} =\frac{2-i}{5}. \] Logo, \[ |z|=\frac1{\sqrt5} \quad\text{e}\quad |1-z|=\left|\frac{3+i}{5}\right|=\sqrt{\frac25}. \] Pela fórmula da soma de uma progressão geométrica, \[ S_n… |
| 6 | D | D | A condição \[ |z+1-i|+|z-3-4i|\le 7 \] define uma região elíptica com focos \(F_1=(-1,1)\) e \(F_2=(3,4)\). A soma das distâncias aos focos, na fronteira, é \(2a=7\). Além disso, \[ 2c=|F_1F_2|=\sqrt{4^2+3^2}=5. \] Logo, o semieixo menor… |
| 7 | C | C | Pelas relações de Viète para a primeira equação, \[ \frac{b_1}{a_1}=-(r_1+r_2) \quad\text{e}\quad \frac{c_1}{a_1}=r_1r_2. \] Portanto, \[ \frac{a_1-b_1+c_1}{a_1} =1+r_1+r_2+r_1r_2=(1+r_1)(1+r_2). \] Analogamente, \[ \frac{a_2-b_2+c_2}{a_2… |
| 8 | B | B | Observe que \[ 9^x=3\cdot 9^{x-\frac12},\qquad 3^{2x-1}=9^{x-\frac12},\qquad 5^{x+\frac12}=5\cdot5^{x-\frac12}. \] Assim, a equação pode ser escrita como \[ 3\cdot9^{x-\frac12}-4\cdot5^{x-\frac12} =5\cdot5^{x-\frac12}-2\cdot9^{x-\frac12}.… |
| 9 | B | B | As raízes do polinômio procurado **podem ter multiplicidade**, pois o enunciado não exige que sejam distintas. Por exemplo, \((x-1)^4\) satisfaz as condições. A fatoração de \(x^{12}-1\) em fatores irredutíveis sobre \(\mathbb{Q}\) é \[ … |
| 10 | B | B | Há \(\binom{10}{2}=45\) pares de caixas que Maria pode escolher inicialmente. Como Pedro remove apenas caixas vazias, as duas moedas continuam entre as quatro caixas restantes. - **Opção (1): manter as duas caixas.** Maria ganha se tiver… |
| 11 | A | A | As equações equivalem a \[ xy=2025,\qquad x^2+y^2=10145. \] Logo, \[ (x+y)^2=10145+2\cdot2025=14195, \] \[ (x-y)^2=10145-2\cdot2025=6095. \] Assim, podemos escolher independentemente os sinais de \[ x+y=\pm\sqrt{14195},\qquad x-y=\pm\sqr… |
| 12 | A | A | Como \(\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{cotg}x=1\) no domínio dado, temos \[ \operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x \ge 2\left|\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{cotg}x\right|=2. \] Logo, \[ |\sen x-\cos x|+\sqrt{2+\operatornam… |
| 13 | B | B | Para que o logaritmo exista, sua base deve ser positiva e diferente de \(1\), e seu argumento deve ser positivo. Como \(\log_b a=1\) implica \(a=b\), temos \[ 0{,}5\sen(4x)=0{,}5\cos(4x)+0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \sen(4x)-\cos(4x)=… |
| 14 | C | C | Como o quadrado tem lado \(2\), o raio de \(C_1\) é \(1\). Seja \(r\) o raio do círculo variável. A tangência externa entre os círculos implica \[ MO=r+1. \] Já a tangência do círculo variável à reta \(L\) implica \[ d(M,L)=r. \] Portant… |
| 15 | C | C | Sejam \(a\) o lado da base hexagonal e \(h\) a altura do prisma. Como o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular é igual ao seu lado, a distância do centro da esfera a qualquer vértice satisfaz \[ a^2+\left(\frac h2\right… |
| 16 | E | E | Como \(v_x=\dot x\) e \(v_y=\dot y\), as equações fornecidas implicam \[ \dot y=\frac{x}{9}, \qquad \dot x=-\frac{y}{4}. \] Derivando a segunda equação em relação ao tempo: \[ \ddot x=-\frac{\dot y}{4}=-\frac{x}{36}. \] Portanto, a coord… |
| 17 | C | C | A órbita é uma elipse, com a estrela \(S\) em um de seus focos. Sejam \(a\) o semieixo maior, \(b\) o semieixo menor e \(c=OS\) a distância do centro ao foco. As distâncias da estrela ao apoastro e ao periastro são, respectivamente, \(a+… |
| 18 | B | B | O campo elétrico aponta **para fora do plano positivamente carregado**. Assim: - acima do plano, a carga \(-Q\) sofre força \(QE\) para baixo; - abaixo do plano, a carga \(+3Q\) sofre força \(3QE\) para baixo. Como as roldanas estão engr… |
| 19 | E | E | Para determinar as velocidades das naves, usamos o **efeito Doppler relativístico** para a luz. **1. Nave X — aproximação da fonte** O comprimento de onda observado é \[ \lambda_X=\lambda\sqrt{\frac{1-\beta_X}{1+\beta_X}}, \qquad \beta_… |
| 20 | E | E | No equilíbrio eletrostático, **o campo elétrico no interior do material condutor é nulo**. Pela lei de Gauss, a carga total encerrada por uma superfície gaussiana inteiramente nesse material deve ser zero. Na primeira camada condutora, u… |
| 21 | B | B | Como as juntas ocupam posições equivalentes nas polias, a plataforma permanece horizontal e realiza uma **translação circular de raio \(R\)**. Assim, se o bloco não desliza, sua aceleração é igual à da plataforma. Seja \(\theta\) o ângul… |
| 22 | A | A | Para a viga estar em equilíbrio, a soma das forças verticais e a soma dos momentos devem ser nulas. **Equilíbrio das forças verticais:** \[ F_A+F_B=75+30+30=135\ \text{kN}. \] **Equilíbrio dos momentos em relação ao apoio A:** as distân… |
| 23 | C | C | Para uma máquina de Carnot, o rendimento é \[ \eta=1-\frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}. \] Seja \(Q_1\) o calor recebido pela primeira máquina. Seu trabalho e o calor rejeitado são, respectivamente, \[ W_1=Q_1\left(1-\frac{T_2}{9… |
| 24 | C | C | A explosão envolve forças internas e, portanto, **não altera a trajetória do centro de massa** dos fragmentos. Sob a ação da gravidade, ele segue a trajetória que a granada teria se não explodisse. A componente vertical da velocidade ini… |
| 25 | C | C | Em cada circuito, tomemos o terminal esquerdo da fonte com potencial \(V\) e o direito com potencial zero. **Pela simetria de reflexão vertical**, os pontos situados no eixo vertical têm potencial \(V/2\). ### 1. Corrente \(I_1\) No pri… |
| 26 | D | D | Seja \(\mu\) a densidade linear da corda. A velocidade local de um pulso transversal é \[ v(x)=\sqrt{\frac{T(x)}{\mu}}, \] portanto seu valor mínimo ocorre onde a tração \(T(x)\) é mínima. Como o peso não possui componente horizontal, a … |
| 27 | A | A | A corrente circula pelas **10 espiras entre os pontos de contato dos ímãs**. A resistência desse trecho é \[ R=10(0{,}04)=0{,}40\ \Omega. \] Logo, a corrente fornecida pela pilha vale \[ i=\frac{U}{R}=\frac{6}{0{,}40}=15\ \text{A}. \] Co… |
| 28 | B | B | Em cada inversão, as esferas são levadas ao alto do trecho disponível e, após o giro, caem por toda a sua extensão. A energia potencial gravitacional perdida na queda é integralmente transformada em calor. As distâncias de queda em cada … |
| 29 | D | D | Como a velocidade da luz na fibra é constante, \(v=c/n\), o menor tempo corresponde ao **menor caminho sobre a superfície terrestre**: o arco de círculo máximo que liga A a B, e não o arco do paralelo de latitude \(45^\circ\). Seja \(\th… |
| 30 | D | D | Na situação 1, desprezando a massa do balde, a força exercida no lado esquerdo da balança é o peso do líquido, \(M_1g\). Na situação 2, a esfera está totalmente imersa. Pelo princípio de Arquimedes, o líquido exerce sobre ela um empuxo \… |
| 31 | C | C | Para um elétron no subnível **3p**: - O número **3** indica o número quântico principal: \(n=3\). Portanto, **A é falsa**. - A letra **p** corresponde ao número quântico azimutal \(l=1\). Logo, **B é falsa**. - O número quântico magnétic… |
| 32 | A | D | Na **molécula I**, o grupo **–COOH** é desativante e orientador **meta**, favorecendo as posições **3 e 5**. Já o grupo **–CH₃** é ativante e orientador **orto/para**, também favorecendo essas posições: 3 é orto e 5 é para em relação a el… |
| 33 | B | B | A alternativa correta deve apresentar os produtos esperados para cada reação, nas condições indicadas. **i. Oxidação de \(\mathrm{CrCl_3}\) por \(\mathrm{Br_2}\) em meio básico** O cromo passa de NOX \(+3\) para \(+6\), formando o íon *… |
| 34 | D | D | A carga elétrica total aplicada é: \[ Q=I\,t=11\cdot(52\cdot60)=34320\ \text{C}. \] Pela constante de Faraday, a quantidade de elétrons transferidos é: \[ n(e^-)=\frac{Q}{F}=\frac{34320}{96500}\approx0{,}356\ \text{mol}. \] A reação \(2… |
| 35 | E | E | O **penta-2,3-dieno** possui a estrutura: \[ \mathrm{CH_3-CH=C=CH-CH_3}. \] É um dieno **cumulado**, com duas ligações duplas que compartilham o carbono central. Analisando as alternativas: - **(A) Incorreta.** A molécula apresenta **qu… |
| 36 | C | C | A alternativa correta é a **(C)**. A primeira energia de ionização é a energia necessária para retirar um elétron de um átomo isolado no estado gasoso. As configurações eletrônicas do nitrogênio e do oxigênio são: \[ \mathrm{N}:1s^2\,2s… |
| 37 | A | A | A alternativa **A** está correta: o DNA apresenta as bases nitrogenadas adenina, guanina, citosina e timina. **Adenina e guanina são purinas**, enquanto **citosina e timina são pirimidinas**. As demais estão incorretas: - **B:** os carbo… |
| 38 | B | B | O quociente da reação de hidrólise do ATP é, considerando a atividade da água igual a 1: \[ Q=\frac{[\mathrm{ADP}][\mathrm{P_i}]}{[\mathrm{ATP}]} =\frac{10^{-4}\cdot10^{-2}}{10^{-3}} =10^{-3}. \] Assim, \[ \ln Q=\ln(10^{-3})=-3\ln 10=-… |
| 39 | E | E | **I. Falsa.** Na reação i, o \(\mathrm{HCO_3^-}\) doa um próton ao \(\mathrm{OH^-}\), atuando como ácido. Na reação ii, recebe um próton do HF, atuando como base. Essa classificação por **doação ou recepção de prótons** corresponde à teor… |
| 40 | C | C | Como os gases são ideais e a temperatura é a mesma antes e depois da abertura, a conservação do número total de mols fornece a pressão final: \[ P_{\text{final}} =\frac{P\cdot V+(2P)\cdot(2V)+(3P)\cdot(3V)}{V+2V+3V} =\frac{7P}{3}. \] Pela… |