DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6 Luna
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 36 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | Como \(5621\) está escrito na base \(m\), temos \[ n=5m^3+6m^2+2m+1. \] Já a representação \(1208\) na base \(m+5\) dá \[ n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8. \] Igualando as expressões e simplificando: \[ 4m^3-11m^2-93m-182=0 =(m-7)(4m^2+17m+26). \] O … |
| 2 | B | B | Como \(f\) é injetiva, há \[ 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=6720 \] funções possíveis. Vamos contar as que **não** satisfazem a condição, isto é, aquelas em que \(|f(x_i)-f(x_j)|=1\). Há 7 pares de valores consecutivos em \(Y\), e 2 maneiras … |
| 3 | C | C | Somando a identidade para \(x=1,2,\ldots,10\), os termos se cancelam telescopicamente: \[ P(10)-P(0)=\sum_{k=1}^{10} k^2 =\frac{10\cdot11\cdot21}{6}=385. \] Como \(P(0)=5\), temos \(P(10)=385+5=390\). Resposta: C |
| 4 | B | B | Defina \(a=x^2\), \(b=y^2\) e \(c=z^2\). Colocando \(x^m,y^m,z^m\) em evidência nas linhas do determinante, obtemos \[ \det\begin{pmatrix} x^m&x^{m+2}&x^{m+4}\\ y^m&y^{m+2}&y^{m+4}\\ z^m&z^{m+2}&z^{m+4} \end{pmatrix} =(xyz)^m(b-a)(c-a)(c-… |
| 5 | D | D | Calculando \(z\) e seu módulo: \[ z=\frac{1-2i}{4-3i}=\frac{2-i}{5}, \qquad \bar z=\frac{2+i}{5}, \qquad |z|^2=\frac15. \] Além disso, \[ |1-z|^2=\left|\frac{3+i}{5}\right|^2=\frac25 \] e, portanto, \[ \frac{\bar z-|z|^2}{|1-z|^2} =\… |
| 6 | D | D | A condição \[ |z+1-i|+|z-3-4i|\le 7 \] define uma elipse cujos focos são \((-1,1)\) e \((3,4)\). A distância entre eles é \(5\), logo \(c=5/2\). Como \(2a=7\), temos \(a=7/2\), e então \[ b^2=a^2-c^2=\frac{49}{4}-\frac{25}{4}=6. \] A dir… |
| 7 | ? | C | Pelas relações de Viète, para um polinômio cujas raízes são \(u\) e \(v\), \[ \frac{a-b+c}{a}=1-\frac ba+\frac ca =1+(u+v)+uv=(1+u)(1+v). \] Assim, o produto dentro dos colchetes é \[ (1+r_1)^2(1+r_2)^2(1+r_3)^2. \] Como o expoente é \(-\… |
| 8 | B | B | Reagrupando os termos da equação, \[ 9^x+2\cdot 3^{2x-1}=5^{x+\frac12}+4\cdot 5^{x-\frac12}. \] Como \(9^x=3\cdot 3^{2x-1}\) e \(5^{x+\frac12}=5\cdot 5^{x-\frac12}\), obtemos \[ 5\cdot 3^{2x-1}=9\cdot 5^{x-\frac12}. \] Dividindo, \[ \left… |
| 9 | B | B | A fatoração em polinômios ciclotômicos é \[ x^{12}-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1). \] Se um polinômio mônico de coeficientes inteiros tem todas as raízes entre as raízes de \(x^{12}-1\), ele é produto desses fatores, com… |
| 10 | B | B | Seja \(k\) o número de moedas nas duas caixas escolhidas inicialmente por Maria. Como há \(\binom{10}{2}=45\) pares possíveis: \[ P(k=0)=\frac{\binom{8}{2}}{45}=\frac{28}{45},\qquad P(k=1)=\frac{2\cdot8}{45}=\frac{16}{45},\qquad P(k=2)=\… |
| 11 | A | A | Das equações dadas, obtemos \[ xy=2025 \quad\text{e}\quad x^2+y^2=10145. \] Definindo \(u=x^2\) e \(v=y^2\), temos \[ u+v=10145,\qquad uv=2025^2. \] Esses valores são as raízes de uma equação quadrática cujo discriminante é \[ 10145^2-4\c… |
| 12 | A | A | Como \(x\notin\{m\pi/2:m\in\mathbb Z\}\), temos \(\tan x\neq 0\) e \(\cot x=1/\tan x\). Pela desigualdade \(u+1/u\ge 2\), para \(u=\tan^2 x>0\), \[ \tan^2 x+\cot^2 x\ge 2. \] Assim, o radicando é pelo menos \(4\), e portanto a raiz quad… |
| 13 | B | B | Defina \(t=4x\). Como \(\log_b(a)=1\) exige \(a=b\), a equação implica \[ \frac12\sen t=\frac12\cos t+\frac12, \] ou seja, \[ \sen t-\cos t=1. \] Usando \(\sen t-\cos t=\sqrt2\sen(t-\pi/4)\), obtemos, em \(0\le t\le4\pi\), \[ t=\frac{\pi… |
| 14 | C | C | Seja \(r\) o raio do círculo variável. Como ele é tangente à reta \(L\), temos \(r=\operatorname{dist}(M,L)\). Como é tangente externamente ao círculo \(C_1\), de raio \(1\), vale \[ MO=1+r=1+\operatorname{dist}(M,L). \] Considere a reta… |
| 15 | C | C | Seja \(a\) o lado do hexágono da base e \(h\) a altura do prisma. O raio circunscrito de um hexágono regular é igual ao seu lado. Assim, a distância do centro da esfera a um vértice do prisma satisfaz \[ a^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2. \… |
| 16 | E | E | Como \(v_x=\dot x\) e \(v_y=\dot y\), as relações dadas são \[ x=9\dot y,\qquad y=-4\dot x. \] Derivando a segunda, \(\dot y=-4\ddot x\). Substituindo na primeira: \[ x=-36\ddot x \quad\Rightarrow\quad \ddot x+\frac{x}{36}=0. \] Essa é a … |
| 17 | C | C | Sejam \(a\) o semieixo maior da órbita e \(c\) a distância do centro \(O\) ao foco \(S\). As distâncias do foco ao apoastro e ao periastro são \(a+c\) e \(a-c\), respectivamente. Logo, \[ \frac{a+c}{a-c}=\frac94 \quad\Longrightarrow\quad… |
| 18 | A | B | Como o plano está positivamente carregado, o campo elétrico abaixo dele aponta para baixo. Assim, a força elétrica sobre a carga \(+3Q\) aponta para baixo, enquanto a força sobre \(-Q\) aponta para cima. Escolha \(x\) positivo para baixo… |
| 19 | E | E | Para um observador que se aproxima da fonte, o comprimento de onda observado é \[ \lambda_{\text{obs}}=\lambda\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}, \] em que \(\beta=v/c\). Para a nave X, \(\lambda_{\text{obs}}=\lambda/2\), então \[ \frac14=\fr… |
| 20 | B | E | Como o sistema é esfericamente simétrico, o campo elétrico no material de cada condutor deve ser nulo. A primeira camada condutora é neutra. Para anular o campo no seu interior, ela fica com \(+Q\) na superfície interna e \(-Q\) na exter… |
| 21 | B | B | Seja \(a=R\omega^2\) o módulo da aceleração da plataforma. Como as juntas descrevem circunferências com a mesma fase, a plataforma tem acelerações horizontal e vertical que podem ser escritas como \[ a_x=a\cos\theta,\qquad a_y=a\sen\theta… |
| 22 | A | A | Tomando o apoio A como origem, o apoio B está a \(0{,}9+1{,}8=2{,}7\) m de A. As forças de 30 kN atuam, respectivamente, a 3,3 m e 3,9 m de A. Pelo equilíbrio dos momentos em torno de A: \[ F_B(2{,}7)=75(0{,}9)+30(3{,}3)+30(3{,}9), \] … |
| 23 | C | C | Seja \(Q_1\) o calor recebido pela primeira máquina. Como ela opera no ciclo de Carnot, seu rendimento é \[ \eta_1=1-\frac{T_2}{T_1}, \] e o calor rejeitado ao reservatório intermediário é \[ Q_{\text{rej},1}=Q_1\frac{T_2}{T_1}. \] A seg… |
| 24 | C | C | A velocidade inicial vertical da granada é \(10\sqrt{2}\sin45^\circ=10\ \text{m/s}\). Como a explosão envolve apenas forças internas, o centro de massa dos fragmentos continua seguindo a trajetória que a granada teria sem explodir. Após … |
| 25 | C | C | Para a mesma tensão \(V\), vale \(I=V/R_{\text{eq}}\). Portanto, basta calcular as resistências equivalentes entre os terminais de cada malha. **Malha da esquerda.** Aplicamos uma corrente de \(1\ \text{A}\) entre os terminais. Pela sime… |
| 26 | D | D | A velocidade de um pulso transversal em uma corda sob tensão \(T\) e com densidade linear \(\lambda\) é \[ v=\sqrt{\frac{T}{\lambda}}. \] Na catenária, a tensão é mínima no ponto mais baixo, onde a tangente à corda é horizontal. Seja \(H\… |
| 27 | A | A | A corrente percorre as 10 espiras entre os pontos de contato. Assim, a resistência do circuito é \[ R=10(0{,}04)=0{,}4\ \Omega, \] e a corrente fornecida pela pilha é \[ I=\frac{6}{0{,}4}=15\ \text{A}. \] As 10 espiras ficam distribuídas… |
| 28 | B | B | A cada inversão, as esferas ficam na extremidade que passa a ser a parte superior do conjunto conectado e, ao cair, percorrem seu comprimento total. - Nas primeiras 8 inversões, percorrem \(0{,}50\ \text{m}\) cada: \(8(0{,}50)=4\ \text{m… |
| 29 | D | D | A menor trajetória sobre a superfície da Terra é um arco de círculo máximo. O ângulo central \(\theta\) entre A e B satisfaz \[ \cos\theta=\sin\phi_A\sin\phi_B+\cos\phi_A\cos\phi_B\cos(\Delta\lambda). \] Com \(\phi_A=\phi_B=45^\circ\) e… |
| 30 | D | D | Na Situação 1, o objeto que equilibra o balde tem massa \(M_1\), igual à massa do líquido. Na Situação 2, a esfera submersa desloca um volume de líquido \[ V=\frac{4}{3}\pi R^3. \] O líquido exerce sobre ela um empuxo \(E=\rho gV\). Pela… |
| 31 | C | C | No subnível \(3p\), o número quântico principal é \(n=3\), e a letra \(p\) corresponde a \(l=1\). Assim, o número quântico magnético pode assumir os valores de \(-l\) a \(+l\): \(m_l=-1, 0, +1\). O spin pode ser \(m_s=+\tfrac12\) ou \(-\… |
| 32 | A | D | Na molécula I, o grupo metila é orientador orto/para, enquanto o grupo COOH é orientador meta. Ambos favorecem as posições 3 e 5; a posição 5 é menos impedida estericamente, pois fica para em relação à metila. Na molécula II, nas condiçõ… |
| 33 | B | B | Na reação **i**, o Cr passa de \(+3\) a \(+6\), enquanto o Br passa de \(0\) a \(-1\). Em meio básico, a equação possível é: \[ 2\,\mathrm{CrCl_3}+3\,\mathrm{Br_2}+16\,\mathrm{KOH} \longrightarrow 2\,\mathrm{K_2CrO_4}+6\,\mathrm{KBr}+6\,… |
| 34 | D | D | A carga elétrica total aplicada é \[ Q=I\,t=11\ \text{A}\times(52\times60)\ \text{s}=34\,320\ \text{C}. \] Assim, a quantidade de elétrons transferida é \[ n(e^-)=\frac{Q}{F}=\frac{34\,320}{96\,500}\approx 0{,}356\ \text{mol}. \] Pela… |
| 35 | E | E | O penta-2,3-dieno tem estrutura **CH₃–CH=C=CH–CH₃**. Na ozonólise completa, rompem-se as duas ligações duplas: cada carbono terminal da cumulena forma uma molécula de etanal, e o carbono central é oxidado a gás carbônico. Assim, obtêm-se… |
| 36 | C | C | A alternativa correta é a **(C)**. O nitrogênio tem configuração \(1s^2\,2s^2\,2p^3\), com os três elétrons \(2p\) desemparelhados. No oxigênio, \(2p^4\), há um par de elétrons no subnível \(2p\); a repulsão entre eles facilita a remoção … |
| 37 | A | A | A alternativa **(A)** está correta: o DNA contém adenina, guanina, citosina e timina. Adenina e guanina são purinas; citosina e timina são pirimidinas. As demais estão incorretas: as gorduras armazenam energia porque seus carbonos estão … |
| 38 | B | B | Para a hidrólise do ATP, considerando a água como solvente, o quociente da reação é \[ Q=\frac{[\mathrm{ADP}][\mathrm{P_i}]}{[\mathrm{ATP}]} =\frac{(10^{-4})(10^{-2})}{10^{-3}}=10^{-3}. \] Assim, \(\ln Q=-3\ln(10)=-6{,}909\). A \(25^\ci… |
| 39 | E | E | A afirmativa I é falsa: em i, o \(\mathrm{HCO_3^-}\) doa um próton, e em ii, recebe um próton. Esses papéis são descritos pela teoria de Brønsted-Lowry. Na teoria de Arrhenius, uma base deve aumentar a concentração de \(\mathrm{OH^-}\) em… |
| 40 | C | C | Como a temperatura é a mesma antes e depois da abertura das válvulas, a quantidade de cada gás é proporcional ao produto pressão-volume. O volume total após a abertura é \(6V\), e a pressão total final é \[ P_{\text{tot},f} =\frac{PV+(2P… |