DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6 Astra
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 39 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | Pelo valor posicional dos algarismos, temos \[ n=5m^3+6m^2+2m+1 \] e \[ n=(m+5)^3+2(m+5)^2+8. \] Como o algarismo \(6\) aparece na base \(m\), necessariamente \(m\ge 7\). Igualando as expressões e desenvolvendo: \[ 5m^3+6m^2+2m+1=m^3+17m… |
| 2 | B | B | Como \(f\) é injetiva, as imagens dos dois elementos fixados devem ser distintas. Há \(8\cdot 7=56\) pares ordenados possíveis para \(\bigl(f(x_i),f(x_j)\bigr)\). Devemos excluir os pares cuja diferença em módulo é \(1\). São os 7 pares … |
| 3 | C | C | Aplicando a identidade para \(x=1,2,\ldots,10\) e somando, obtemos \[ \sum_{k=1}^{10}\bigl(P(k)-P(k-1)\bigr)=\sum_{k=1}^{10}k^2. \] No lado esquerdo, os termos intermediários se cancelam, restando \(P(10)-P(0)\). Assim, \[ P(10)-5=\frac{1… |
| 4 | B | B | Colocando \(x^m\), \(y^m\) e \(z^m\) em evidência nas respectivas linhas, o determinante fica \[ (xyz)^m \begin{vmatrix} 1&x^2&x^4\\ 1&y^2&y^4\\ 1&z^2&z^4 \end{vmatrix}. \] O determinante restante é de **Vandermonde**, logo o lado esquerd… |
| 5 | D | D | Racionalizando \(z\), obtemos \[ z=\frac{(1-2i)(4+3i)}{25}=\frac{2-i}{5}. \] Assim, \[ |z|^2=\frac15 \quad\text{e}\quad |1-z|^2=\left|\frac{3+i}{5}\right|^2=\frac25. \] Pela fórmula da soma de uma progressão geométrica, \[ S_n=\frac{\ove… |
| 6 | D | D | Escrevendo \(z=x+iy\), os módulos \(|z+1-i|\) e \(|z-3-4i|\) representam as distâncias de \((x,y)\) aos pontos \[ F_1=(-1,1),\qquad F_2=(3,4). \] Logo, \(S\) é uma região elíptica cuja soma das distâncias aos focos é, no máximo, \(7\). Se… |
| 7 | C | C | Pelas relações de Viète para a primeira equação, \[ \frac{b_1}{a_1}=-(r_1+r_2), \qquad \frac{c_1}{a_1}=r_1r_2. \] Assim, \[ \frac{a_1-b_1+c_1}{a_1} =1+r_1+r_2+r_1r_2 =(1+r_1)(1+r_2). \] Analogamente, \[ \frac{a_2-b_2+c_2}{a_2}=(1+r_2)(1+… |
| 8 | B | B | Como \(3^{2x-1}=\dfrac{9^x}{3}\) e \(5^{x+\frac12}=5\cdot5^{x-\frac12}\), podemos reorganizar a equação: \[ 9^x+2\cdot\frac{9^x}{3} =5\cdot5^{x-\frac12}+4\cdot5^{x-\frac12}. \] Logo, \[ \frac53\,9^x=9\cdot5^{x-\frac12} =\frac9{\sqrt5}\,5^… |
| 9 | B | B | O enunciado **não exige raízes distintas**, então devemos permitir fatores repetidos. A fatoração de \(x^{12}-1\) em polinômios irredutíveis sobre \(\mathbb{Q}\) é \[ x^{12}-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1). \] Assim, tod… |
| 10 | B | B | Há \(\binom{10}{2}=45\) maneiras igualmente prováveis de Maria escolher inicialmente duas caixas. Como Pedro remove apenas caixas vazias, as duas moedas permanecem entre as quatro caixas finais. **Opção (1): manter as duas caixas.** Ma… |
| 11 | A | A | As equações dadas equivalem a \[ xy=2025 \quad\text{e}\quad x^2+y^2=10145. \] Logo, \[ (x+y)^2=10145+2\cdot2025=14195, \] \[ (x-y)^2=10145-2\cdot2025=6095. \] Assim, \[ x+y=\pm\sqrt{14195},\qquad x-y=\pm\sqrt{6095}. \] As quatro combinaç… |
| 12 | A | A | Como \(\tg x\cdot\cotg x=1\) no domínio dado, temos \[ \tg^2x+\cotg^2x\ge 2|\tg x\cdot\cotg x|=2. \] Portanto, \[ \sqrt{2+\tg^2x+\cotg^2x}\ge \sqrt4=2. \] Além disso, \(|\sen x-\cos x|\ge0\). Assim, o lado esquerdo da equação é sempre **m… |
| 13 | B | B | Para que o logaritmo exista, sua base deve ser positiva e diferente de \(1\), e seu argumento deve ser positivo. Como \(\log_b a=1\) implica \(a=b\), temos \[ 0{,}5\sen(4x)=0{,}5\cos(4x)+0{,}5, \] ou seja, \[ \sen(4x)-\cos(4x)=1. \] Usan… |
| 14 | C | C | Como o quadrado tem lado \(2\), o raio de \(C_1\) é \(1\). Seja \(r\) o raio do círculo variável. Pela tangência externa entre os círculos, \[ MO=r+1. \] Além disso, a tangência à reta \(L\) implica \[ d(M,L)=r. \] Logo, \[ MO=d(M,L)+1. … |
| 15 | C | C | Sejam \(a\) o lado da base hexagonal e \(h\) a altura do prisma. Como o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular é igual ao seu lado, a distância do centro da esfera a um vértice satisfaz \[ a^2+\left(\frac h2\right)^2=R^… |
| 16 | E | E | Como \(v_x=\dot x\) e \(v_y=\dot y\), as relações dadas são \[ \dot y=\frac{x}{9} \qquad\text{e}\qquad \dot x=-\frac{y}{4}. \] Derivando a segunda e substituindo a primeira: \[ \ddot x=-\frac{\dot y}{4}=-\frac{x}{36}. \] Essa é a equação … |
| 17 | C | C | A estrela \(S\) ocupa um dos focos da órbita elíptica. Se \(a\) é o semieixo maior e \(c=OS\), as distâncias no apoastro e no periastro são \[ r_{\text{apo}}=a+c,\qquad r_{\text{peri}}=a-c. \] Assim, \[ \frac{a+c}{a-c}=\frac94 \;\Rightarr… |
| 18 | B | B | O plano está **positivamente carregado**, de modo que o campo elétrico aponta para cima na região superior e para baixo na inferior. Assim: - a carga \(-Q\), acima do plano, sofre força elétrica \(QE\) **para baixo**; - a carga \(+3Q\), a… |
| 19 | E | E | Pelo **efeito Doppler relativístico**, o comprimento de onda observado depende da velocidade da nave em relação à fonte. **1. Velocidade da nave X** Como X se aproxima da fonte, há redução do comprimento de onda: \[ \frac{\lambda_X}{\la… |
| 20 | E | E | No equilíbrio eletrostático, o **campo elétrico no interior do material condutor é nulo**. Portanto, pela lei de Gauss, uma superfície fechada inteiramente nesse material deve envolver carga total nula. Na primeira camada metálica, isso … |
| 21 | B | B | Como a plataforma permanece horizontal, ela realiza uma **translação circular**: todos os seus pontos têm a mesma aceleração das juntas. Para uma velocidade angular constante \(\omega\), tomando \(\theta\) como o ângulo do raio da junta c… |
| 22 | A | A | Como a viga está em equilíbrio, a soma das forças verticais e a soma dos momentos devem ser nulas. **Tomando os momentos em relação ao apoio A**, a reação \(F_A\) não contribui. As distâncias até B e até as forças de \(30\,\text{kN}\) sã… |
| 23 | C | C | Para uma máquina de Carnot, o rendimento é \[ \eta=1-\frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}. \] Seja \(Q_1\) o calor recebido pela primeira máquina. O calor que ela rejeita é \[ Q_{r1}=Q_1\frac{T_2}{T_1}, \] e seu trabalho vale \[ W_1… |
| 24 | C | C | A explosão envolve forças internas, que não alteram a trajetória do **centro de massa** dos fragmentos. Assim, até o instante do impacto, ele segue a trajetória que a granada teria sem explodir. A componente vertical da velocidade inicia… |
| 25 | C | C | Pela simetria das redes, podemos atribuir potenciais \(+V/2\) ao terminal esquerdo e \(-V/2\) ao direito. Assim, **os nós no eixo vertical de simetria têm potencial zero**, e nós espelhados têm potenciais opostos. ### Primeira malha Sej… |
| 26 | D | D | A velocidade local de um pulso transversal é \[ v(x)=\sqrt{\frac{T(x)}{\mu}}, \] em que \(\mu\) é a densidade linear da corda. Portanto, **a velocidade é mínima onde a tração é mínima**. Como o peso atua apenas verticalmente, a component… |
| 27 | A | A | A corrente percorre apenas o trecho do solenoide entre os dois ímãs, correspondente a **10 espiras**. Assim, a resistência desse trecho é \[ R=10\cdot 0{,}04=0{,}40\ \Omega, \] e a corrente fornecida pela pilha vale \[ i=\frac{U}{R}=\frac… |
| 28 | B | B | A cada inversão, as esferas caem por uma altura igual ao comprimento dos tubos disponíveis. A energia potencial gravitacional perdida, \(mgh\), é integralmente convertida em calor nas esferas. As alturas de queda em cada etapa são: - **8… |
| 29 | D | D | O menor caminho entre dois pontos sobre uma esfera é o **arco menor de um círculo máximo**, e não necessariamente o arco do paralelo que passa por eles. Seja \(\theta\) o ângulo entre os raios que ligam o centro da Terra aos pontos A e B… |
| 30 | D | D | Na Situação 1, a força exercida pelo líquido sobre o balde é seu peso, \(M_1g\). Na Situação 2, a esfera está totalmente imersa e recebe do líquido um **empuxo** de módulo \[ E=\rho gV=\rho g\frac{4}{3}\pi R^3. \] Pela terceira lei de N… |
| 31 | C | C | Para um elétron no subnível **\(3p\)**: - **Número quântico principal:** o algarismo 3 indica \(n=3\). Logo, **A é falsa**. - **Número quântico azimutal:** os subníveis \(s,p,d,f\) correspondem, respectivamente, a \(l=0,1,2,3\). Portanto… |
| 32 | A | D | **Molécula I:** o grupo \(\mathrm{-COOH}\) é desativante e **meta-dirigente**, favorecendo as posições **3 e 5**. Já o grupo \(\mathrm{-CH_3}\) é ativante e **orto/para-dirigente**, também favorecendo essas posições: 3 é orto e 5 é para e… |
| 33 | B | B | A alternativa correta deve apresentar os produtos compatíveis com o meio de cada reação. **i. Oxidação de \(\mathrm{CrCl_3}\) com \(\mathrm{Br_2}\) em meio básico** O cromo passa de NOX \(+3\) para \(+6\), formando **cromato**, \(\mathr… |
| 34 | D | D | A carga elétrica que atravessa a solução é: \[ Q=It=11\cdot(52\cdot60)=34320\ \text{C}. \] Pela constante de Faraday, a quantidade de elétrons transferidos é: \[ n_{e^-}=\frac{Q}{F}=\frac{34320}{96500}\approx0{,}356\ \text{mol}. \] Na r… |
| 35 | E | E | O **penta-2,3-dieno** tem a estrutura: \[ \mathrm{CH_3-CH=C=CH-CH_3}. \] Trata-se de um **dieno acumulado**, com duas ligações duplas em um mesmo carbono central. Analisando as alternativas: - **(A) Incorreta.** A molécula apresenta **q… |
| 36 | C | C | A alternativa correta é **C**. As configurações eletrônicas do nitrogênio e do oxigênio são: \[ \mathrm{N}:1s^2\,2s^2\,2p^3 \qquad \mathrm{O}:1s^2\,2s^2\,2p^4. \] Pela regra de Hund, os elétrons se distribuem nos três orbitais \(2p\) as… |
| 37 | A | A | A alternativa **A** é a correta. As bases nitrogenadas do DNA são adenina, guanina, citosina e timina. **Adenina e guanina são purinas**, com dois anéis em sua estrutura; **citosina e timina são pirimidinas**, com um anel. As demais estã… |
| 38 | B | B | Para a hidrólise do ATP, a água é o solvente e sua atividade é aproximadamente 1. Assim, usando as concentrações fornecidas: \[ Q=\frac{[\mathrm{ADP}][\mathrm{P_i}]}{[\mathrm{ATP}]} =\frac{10^{-4}\cdot10^{-2}}{10^{-3}} =10^{-3}. \] Logo… |
| 39 | E | E | **I — Falsa.** O comportamento descrito para o \(\mathrm{HCO_3^-}\) é explicado pela teoria de **Brønsted–Lowry**, e não pela de Arrhenius: - Na reação i, ele **doa um próton** ao \(\mathrm{OH^-}\), formando \(\mathrm{CO_3^{2-}}\): atua c… |
| 40 | C | C | Como os gases são ideais e a temperatura é a mesma antes e depois da mistura, podemos aplicar \(pV=nRT\) e conservar a quantidade de matéria de cada gás. O volume final disponível é \(V+2V+3V=6V\). Assim, a pressão total final vale \[ P_… |