DESEMPENHO NESTA PROVA
Gemini 3.8 Flash
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 39 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | Para resolver a questão, escrevemos o número natural $n$ nas duas bases dadas: 1. **Na base $m$:** Como $n$ é representado por $5621_{(m)}$, os algarismos são $5, 6, 2, 1$. Logo, a base deve ser maior do que o maior dígito, ou seja, $… |
| 2 | B | B | Para determinar o número de funções injetivas $f: X \to Y$ que satisfazem a condição dada, podemos calcular o número de pares possíveis para as imagens dos dois elementos fixados $x_i$ e $x_j$, e depois multiplicar pelas maneiras de defin… |
| 3 | C | C | Para encontrar o valor de $P(10)$, podemos utilizar o método da soma telescópica a partir da relação dada: $$P(x) - P(x - 1) = x^2$$ Substituindo $x$ pelos valores inteiros de $1$ até $10$, obtemos: $$\begin{aligned} P(1) - P(0) &= 1^2… |
| 4 | B | B | Para resolver a questão, vamos calcular o determinante no lado esquerdo da igualdade e comparar a expressão com o lado direito. Seja o determinante: $$D = \begin{vmatrix} x^m & x^{m+2} & x^{m+4} \\ y^m & y^{m+2} & y^{m+4} \\ z^m & z^{m+2… |
| 5 | D | D | Para resolver a questão, vamos inicialmente simplificar os termos dados. 1. **Cálculo de $|z|$:** Dado $z = \dfrac{1 - 2i}{4 - 3i}$, calculamos o módulo do numerador e do denominador: $$|1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$$ … |
| 6 | D | D | Para resolver a questão, vamos analisar a região $S$ dada no plano de Argand-Gauss: $$S = \{z \in \mathbb{C} \mid |z - (-1 + i)| + |z - (3 + 4i)| \le 7\}$$ Essa inequação representa uma elipse (e seu interior) com focos em: - $F_1 = -1 … |
| 7 | C | C | Para resolver a questão, vamos analisar a expressão dentro do produtório: Para cada equação quadrática $P_i(x) = a_i x^2 + b_i x + c_i = 0$, podemos fatorá-la em função de suas raízes: - Para $i = 1$, as raízes são $r_1$ e $r_2$: $$P_1… |
| 8 | B | B | Para resolver a equação dada: $$9^x - 4 \cdot 5^{x - \frac{1}{2}} = 5^{x + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2x - 1}$$ Primeiramente, agrupamos os termos com bases semelhantes em cada lado da igualdade: $$9^x + 2 \cdot 3^{2x - 1} = 5^{x + \fra… |
| 9 | B | B | Para determinar o número $n$ de polinômios de grau 4 que atendem às condições do enunciado, analisamos as propriedades das suas raízes e coeficientes: 1. **Polinômios Ciclotômicos e Fatoração:** O polinômio $P(x) = x^{12} - 1$ tem com… |
| 10 | B | B | Para resolver este problema, vamos analisar a situação inicial e as probabilidades correspondentes a cada uma das três opções. Existem $10$ caixas no total, das quais $2$ contêm moedas e $8$ estão vazias. O número total de maneiras de Ma… |
| 11 | A | A | Para resolver a questão, analisamos o sistema de equações formado pelas condições dadas: 1. $y = \dfrac{2025}{x} \iff x \cdot y = 2025$ 2. $y^2 = -x^2 + 10145 \iff x^2 + y^2 = 10145$ com $x, y \in \mathbb{R}^*$. Podemos determinar as s… |
| 12 | A | A | Para determinar o número de soluções da equação, vamos analisar o valor mínimo que o lado esquerdo da igualdade pode assumir. Temos a equação: $$|\sen(x) - \cos(x)| + \sqrt{2 + \tg^2(x) + \cotg^2(x)} = \sqrt{3}$$ 1. **Análise do termo d… |
| 13 | B | B | Para resolver a equação: $$\log_{(0,5 \cdot \cos(4x) + 0,5)}(0,5 \cdot \operatorname{sen}(4x)) = 1$$ primeiramente analisamos as **condições de existência** do logaritmo: 1. A base deve ser positiva e diferente de $1$: $$0,5 \cdot \c… |
| 14 | C | C | Para determinar o lugar geométrico do centro $M$, analisamos as propriedades das distâncias envolvidas: 1. **Raio e centro de $C_1$:** Como $C_1$ é o círculo inscrito no quadrado de lado $2$, seu centro é $O$ e seu raio é: $$R_1 = … |
| 15 | C | C | Para determinar o valor da área lateral máxima do prisma regular reto de base hexagonal inscrito em uma esfera de raio $R$, podemos modelar o problema geometricamente: 1. **Relação entre as dimensões do prisma e o raio da esfera:** - … |
| 16 | E | E | Para determinar o tempo necessário para a partícula percorrer a trajetória fechada uma vez (o período $T$ do movimento), podemos relacionar a posição e a velocidade em termos de derivadas temporais: Como $v_x(t) = \dot{x}(t)$ e $v_y(t) =… |
| 17 | C | C | Para determinar a razão entre as energias potenciais gravitacionais do planeta $P$ no apoastro e no ponto $B$, analisamos as características geométricas da órbita elíptica: 1. **Relação das distâncias dos apsides:** Seja $a$ o semi-ei… |
| 18 | B | B | Para resolver a questão, aplicamos o **Princípio da Conservação da Energia** (ou Teorema do Trabalho-Energia Cinética) ao sistema formado pelas duas roldanas e pelas partículas carregadas. ### 1. Forças Elétricas Atuantes O plano infini… |
| 19 | E | E | Para determinar o módulo da velocidade relativa entre as duas naves, utilizamos o efeito Doppler relativístico para a luz e a composição relativística de velocidades (ou a leitura do gráfico fornecido). ### 1. Determinação da velocidade … |
| 20 | E | E | Para determinar a carga superficial total induzida na superfície esférica em $r = 3a$, aplicamos a Lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático: 1. **Na origem ($r = 0$):** Existe uma carga pontual igual a… |
| 21 | B | B | Para determinar o valor máximo da rotação $\omega$ das polias para que o bloco de massa $m$ não deslize sobre a plataforma, analisamos o movimento da plataforma e as forças atuantes no bloco. Como a plataforma permanece sempre na horizon… |
| 22 | A | A | Para determinar a razão entre os módulos das forças de reação nos apoios, aplicamos as condições de equilíbrio estático da viga. 1. **Equilíbrio de momentos em torno do apoio A ($\sum M_A = 0$):** Adotando o sentido horário como positivo… |
| 23 | C | C | Para determinar a soma numérica dos rendimentos das duas máquinas de Carnot, analisamos as relações termodinâmicas de cada ciclo: 1. **Primeira máquina de Carnot (operando entre $T_1$ e $T_2$):** O rendimento é dado por: $$\eta_1 =… |
| 24 | C | C | Para determinar a distância vertical do fragmento mais leve até o solo, podemos analisar o movimento do centro de massa ($CM$) do sistema. 1. **Movimento do Centro de Massa ($CM$):** Como a explosão decorre exclusivamente de forças inter… |
| 25 | C | C | Para determinar a razão entre as correntes $I_1$ e $I_2$, precisamos calcular as resistências equivalentes dos dois circuitos ($R_{eq1}$ e $R_{eq2}$), uma vez que ambos são alimentados pela mesma fonte de tensão $V$: $$I_1 = \frac{V}{R_{… |
| 26 | D | D | Para determinar o valor local mínimo da velocidade de propagação de um pulso ondulatório transversal na corda, lembramos que a velocidade da onda é dada pela fórmula de Taylor: $$v(x) = \sqrt{\frac{T(x)}{\mu}}$$ onde $T(x)$ é a tração l… |
| 27 | A | A | Para determinar a velocidade com que o projétil começa a deixar o solenoide, seguimos os seguintes passos: 1. **Cálculo da corrente elétrica ($i$):** A ddp fornecida pela pilha é $U = 6\text{ V}$. Como os pontos de contato dos ímãs di… |
| 28 | B | B | Para determinar a elevação de temperatura das esferas de liga metálica, calculamos a altura total de queda ao longo de todas as etapas do experimento: 1. **Primeira etapa (8 inversões no Tubo A):** - Altura de cada queda: $h_1 = 0,50\… |
| 29 | D | D | Para determinar o menor tempo de viagem do sinal óptico entre os pontos A e B, devemos encontrar a menor distância sobre a superfície esférica da Terra (geodésica), que corresponde ao arco de círculo máximo (grande círculo) que une os doi… |
| 30 | D | D | Para resolver a questão, devemos analisar o equilíbrio estático do balde com líquido em cada uma das situações. ### Situação 1: No lado esquerdo, o balde contém uma massa de líquido igual a $M_1$. Desprezando a massa do balde, a força pa… |
| 31 | C | C | Para um elétron pertencente ao subnível **$3p$**, temos as seguintes propriedades dos números quânticos: 1. **Número quântico principal ($n$):** indica o nível de energia (camada). Para o subnível $3p$, temos $n = 3$ (portanto, a alterna… |
| 32 | A | D | Para determinar as posições mais viáveis para a mononitração por substituição eletrofílica aromática em cada uma das moléculas, analisamos os efeitos eletrônicos e estéricos dos substituintes: 1. **Molécula I (ácido 2-metilbenzoico):** … |
| 33 | B | B | Para determinar a alternativa correta, analisamos cada uma das reações químicas descritas: 1. **Reação i: Oxidação de $\text{CrCl}_3$ com $\text{Br}_2$ em meio básico ($\text{KOH}$)** * O cromo no estado de oxidação $+3$ ($\text{Cr}^{… |
| 34 | D | D | Para determinar o volume de gás cloro ($\text{Cl}_2$) produzido nas CNTP, seguimos os seguintes passos: 1. **Cálculo da carga elétrica total ($Q$):** A corrente elétrica é $i = 11\text{ A}$ e o tempo é $t = 52\text{ minutos} = 52 \tim… |
| 35 | E | E | Para resolver a questão, vamos analisar a estrutura e as propriedades do **penta-2,3-dieno**: A fórmula estrutural do penta-2,3-dieno é: $$\text{H}_3\text{C}-\text{CH}=\text{C}=\text{CH}-\text{CH}_3$$ Trata-se de um dieno acumulado (ale… |
| 36 | C | C | Analisando cada uma das alternativas: * **(A) Incorreta:** Ao longo de um período da Tabela Periódica, da esquerda para a direita, o número atômico e a carga nuclear efetiva aumentam, fazendo com que o raio atômico diminua. Portanto, o l… |
| 37 | A | A | Análise das alternativas: * **(A) Correta:** O DNA é composto pelas bases nitrogenadas adenina, guanina, citosina e timina. A adenina e a guanina possuem estrutura com dois anéis heterocíclicos condensados e são classificadas como **puri… |
| 38 | B | B | Para determinar a variação da energia livre de Gibbs ($\Delta G$) e a espontaneidade da reação, utilizamos a equação fornecida: $$\Delta G = \Delta G^o + RT \ln(Q)$$ 1. **Cálculo do quociente de reação ($Q$):** Como a água ($\text{H}_2\… |
| 39 | E | E | Vamos analisar cada uma das afirmativas: I. **Incorreta:** A teoria de Arrhenius define ácidos como substâncias que, em solução aquosa, liberam íons $\text{H}^+$ ($\text{H}_3\text{O}^+$) e bases como substâncias que liberam íons hidróxid… |
| 40 | C | C | Para determinar os limites estritamente aplicáveis às pressões parciais finais, analisamos o número de mols (ou o produto $nRT = pV$) de cada gás presente nos três recipientes. ### 1. Dados Iniciais Como a temperatura $T$ é mantida const… |