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Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 38 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | A base \(m\) deve ser maior que o maior algarismo da representação \(5621\), que é \(6\). Logo, \(m > 6\). Temos: \[ n = 5621_m = 5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 \] E também: \[ n = 1208_{m+5} = 1\cdot(m+5)^3 + 2\cdot(m+5)^2 + 0\cdot(m+5) + 8 \] … |
| 2 | B | B | Fixados dois elementos distintos \(x_i, x_j \in X\), queremos contar as funções injetivas \(f:X\to Y\), com \(Y=\{1,2,\dots,8\}\), tais que \(|f(x_i)-f(x_j)|\neq 1\). Total de funções injetivas de \(X\) em \(Y\): \[ P(8,5)=8\cdot7\cdot6\… |
| 3 | C | C | Seja \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Como \(P(0)=5\), temos \(d=5\). Calculamos: \[ P(x)-P(x-1) = a[x^3-(x-1)^3]+b[x^2-(x-1)^2]+c[x-(x-1)] \] \[ = a(3x^2-3x+1)+b(2x-1)+c = 3a x^2+(-3a+2b)x+(a-b+c) \] Essa expressão deve ser igual a \(x^2\), lo… |
| 4 | B | B | Fatorando \(x^m, y^m, z^m\) de cada linha do determinante, obtemos: \[ D=(xyz)^m \begin{vmatrix} 1&x^2&x^4\\ 1&y^2&y^4\\ 1&z^2&z^4 \end{vmatrix} \] O determinante restante é um Vandermonde nas variáveis \(x^2,y^2,z^2\): \[ \begin{vmatr… |
| 5 | D | D | Temos: \[ z=\frac{1-2i}{4-3i}\cdot \frac{4+3i}{4+3i} =\frac{4+3i-8i-6i^2}{25} =\frac{10-5i}{25} =\frac{2-i}{5}. \] Assim, \[ \bar z=\frac{2+i}{5},\qquad |z|^2=\frac{2^2+1^2}{25}=\frac15. \] Além disso, \[ 1-z=1-\frac{2-i}{5}=\frac{3+i}{5… |
| 6 | D | D | **Identificação da região \(S\)** A condição \(|z+1-i| + |z-3-4i| \le 7\) descreve o interior (e a fronteira) de uma elipse com focos \[ F_1 = (-1,\,1),\qquad F_2=(3,\,4), \] pois \[ |z+1-i|=|z-(-1+i)|,\qquad |z-3-4i|=|z-(3+4i)|. \] **P… |
| 7 | C | C | Para cada equação do segundo grau \(ax^2+bx+c=0\) com raízes \(\alpha\) e \(\beta\), temos: \[ \frac{a-b+c}{a}=1-\frac ba+\frac ca =1+(\alpha+\beta)+\alpha\beta =(1+\alpha)(1+\beta). \] Aplicando isso às três equações: - \(a_1x^2+b_1x+c… |
| 8 | B | B | Reescrevemos a equação: \[ 9^x-4\cdot 5^{x-\frac12}=5^{x+\frac12}-2\cdot 3^{2x-1} \] Como \(9^x=3^{2x}\), \(3^{2x-1}=\dfrac{3^{2x}}3\), \(5^{x-\frac12}=\dfrac{5^x}{\sqrt5}\) e \(5^{x+\frac12}=\sqrt5\cdot 5^x\), temos: \[ 3^{2x}-\frac{4… |
| 9 | B | B | A questão pede o número \(n\) de polinômios mônicos de grau \(4\), com coeficientes inteiros, cujas raízes são também raízes de \[ P(x)=x^{12}-1. \] As raízes de \(P(x)\) são as raízes 12-ésimas da unidade. Para cada divisor \(d\) de \… |
| 10 | B | B | A probabilidade de Maria escolher inicialmente: - 2 moedas: \(\frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac1{45}\) - 1 moeda: \(\frac{\binom{2}{1}\binom{8}{1}}{\binom{10}{2}}=\frac{16}{45}\) - 0 moedas: \(\frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}}=\fr… |
| 11 | A | A | Substituindo \(y=\frac{2025}{x}\) na segunda equação: \[ y^2=-x^2+10145 \implies x^2+y^2=10145 \] \[ x^2+\left(\frac{2025}{x}\right)^2=10145 \] \[ x^4-10145x^2+2025^2=0 \] Fazendo \(t=x^2\), temos: \[ t^2-10145t+2025^2=0 \] Como o d… |
| 12 | A | A | A equação é \[ |\sen x-\cos x|+\sqrt{2+\tg^2x+\cotg^2x}=\sqrt3. \] Para todo \(x\) do domínio, \(\tg x\) e \(\cotg x\) são reais e não nulos. Temos, pela desigualdade das médias, \[ \tg^2x+\cotg^2x \ge 2\sqrt{\tg^2x\cdot \cotg^2x}=2. \] … |
| 13 | B | B | A equação é: \[ \log_{(0,5\cos(4x)+0,5)}(0,5\operatorname{sen}(4x))=1 \] Simplificando a base: \[ 0,5\cos(4x)+0,5=\frac{\cos(4x)+1}{2}=\cos^2(2x) \] e o logaritmando: \[ 0,5\operatorname{sen}(4x)=\frac{\operatorname{sen}(4x)}{2}=\operat… |
| 14 | C | C | A condição de tangência externa ao círculo \(C_1\), de raio \(1\), implica \[ MO=1+\rho, \] onde \(\rho\) é o raio do círculo variável. Como esse círculo é tangente à reta \(L\), seu raio é a distância de \(M\) a \(L\): \[ \rho=d(M,L). \]… |
| 15 | C | C | Seja \(r\) o raio da circunferência circunscrita à base hexagonal regular e \(h\) a altura do prisma. Como o prisma regular reto está inscrito em uma esfera de raio \(R\), seus vértices pertencem à esfera. A distância do centro da esfera… |
| 16 | E | E | As equações dadas são: \[ x(t)=9\,v_y(t) \quad\Rightarrow\quad x = 9\,\frac{dy}{dt} \] \[ y(t)=-4\,v_x(t) \quad\Rightarrow\quad y = -4\,\frac{dx}{dt} \] Isso fornece o sistema: \[ \frac{dx}{dt}=-\frac{y}{4}, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{x}… |
| 17 | C | C | A órbita é uma elipse com centro \(O\) e a estrela \(S\) em um dos focos. Sejam \(a\) o semieixo maior e \(e\) a excentricidade. As distâncias de \(S\) ao apoastro e ao periastro são, respectivamente, \[ r_a=a(1+e),\qquad r_p=a(1-e). \] … |
| 18 | B | B | Para resolver a questão, vamos analisar o sistema formado pelas duas roldanas engrenadas e as cargas elétricas. **1. Relação cinemática entre as roldanas:** As roldanas estão engrenadas, então a velocidade tangencial nos pontos de contat… |
| 19 | E | E | Usando o efeito Doppler relativístico para a luz: \[ \lambda_{\text{obs}}=\lambda\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} \quad \text{(aproximação)} \] \[ \lambda_{\text{obs}}=\lambda\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \quad \text{(afastamento)} \] Pa… |
| 20 | E | E | Para determinar a carga superficial total induzida em \(r = 3a\), analisamos o equilíbrio eletrostático e aplicamos a lei de Gauss. **1. Condutor interno (\(a \le r < 2a\)):** - Inicialmente descarregado (carga total nula). - No interior… |
| 21 | B | B | A plataforma está acoplada às polias por pinos que descrevem movimento circular de raio \(R\). Como a plataforma permanece horizontal, as componentes vertical e horizontal do movimento dos pinos são transmitidas ao bloco. A posição horizo… |
| 22 | A | A | Para resolver, aplicamos as equações de equilíbrio da estática. Dados: - Carga de 75 kN a 0,9 m do apoio A. - Apoio B a 0,9 + 1,8 = 2,7 m de A. - Carga de 30 kN a 2,7 + 0,6 = 3,3 m de A. - Carga de 30 kN a 3,3 + 0,6 = 3,9 m de A. Sendo … |
| 23 | C | C | Para a máquina 1, sendo \(T_1=900\text{ K}\) e \(T_2\) a temperatura intermediária: \[ \eta_1 = 1-\frac{T_2}{900} \] Se \(Q_1\) é o calor recebido pela máquina 1, o calor rejeitado para a fonte intermediária é: \[ Q_2 = Q_1(1-\eta_1) \… |
| 24 | C | C | A velocidade inicial da granada tem componentes: \[ v_{0x}=v_0\cos45^\circ=10\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=10\text{ m/s} \] \[ v_{0y}=v_0\operatorname{sen}45^\circ=10\text{ m/s} \] Como a única força externa é a gravidade, o centro de mas… |
| 25 | ? | C | |
| 26 | D | D | A velocidade de um pulso transversal em uma corda é dada por $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, onde $T$ é a tração local e $\mu$ é a densidade linear de massa da corda. Como a corda é homogênea, $\mu$ é constante. Portanto, a velocidade é mínim… |
| 27 | A | A | Cálculo da corrente no trecho do solenoide: - Como os contatos estão sempre separados por 10 espiras, a resistência do trecho é: \[ R=10\cdot 0{,}04=0{,}4\ \Omega \] - Corrente: \[ I=\frac{U}{R}=\frac{6}{0{,}4}=15\ \text{A} \… |
| 28 | B | B | Inicialmente, as esferas estão no fundo do tubo A (tampo inferior). A cada inversão de 180°, elas caem de uma extremidade à outra do espaço disponível. **Fase 1 – 8 inversões no tubo A:** - Altura de queda por inversão = 0,50 m. - Queda … |
| 29 | D | D | Para a fibra óptica, a luz se propaga com velocidade \[ v=\frac{c}{n}. \] Assim, o menor tempo corresponde ao menor caminho sobre a superfície esférica da Terra, que é o arco de grande círculo entre os pontos A e B. Dados: - Latitude d… |
| 30 | D | D | Na Situação 1, a balança está em equilíbrio com uma massa \(M_1\) no lado oposto ao balde. Como as massas do balde e da balança são desprezíveis, conclui-se que \(M_1\) é a massa do líquido contido no balde. Na Situação 2, a esfera está … |
| 31 | C | C | O subnível **3p** indica que: - número quântico principal: \( n = 3 \) - número quântico azimutal: \( l = 1 \), pois a letra **p** corresponde a \( l = 1 \) Para \( l = 1 \), o número quântico magnético \( m_l \) pode assumir os valores:… |
| 32 | A | D | Na molécula I (ácido 2-metilbenzoico), temos dois grupos dirigentes: - **COOH**: grupo meta-dirigente; - **CH₃**: grupo orto/para-dirigente. As posições que satisfazem ambos os efeitos são **3** e **5**, pois são meta em relação ao COOH … |
| 33 | B | B | Vamos analisar cada reação separadamente. **i. Oxidação de CrCl₃ com Br₂ em meio básico (KOH)** O Cr³⁺ é oxidado a Cr⁶⁺, formando cromato (CrO₄²⁻). O Br₂ atua como oxidante e é reduzido a Br⁻. A equação balanceada é: `2 CrCl₃ + 3 Br₂… |
| 34 | D | D | A carga elétrica total aplicada é: \[ Q = i \cdot t = 11 \text{ A} \cdot (52 \cdot 60 \text{ s}) = 11 \cdot 3120 = 34320 \text{ C} \] O número de mols de elétrons é: \[ n_{e^-} = \frac{34320}{96500} \approx 0,3556 \text{ mol} \] Pela … |
| 35 | E | E | A estrutura do penta-2,3-dieno é: \[ \mathrm{CH_3-CH=C=CH-CH_3} \] Trata-se de um alceno cumulado (alleno), com carbono central \(\mathrm{sp}\) e carbonos das extremidades duplas \(\mathrm{sp^2}\). Analisando as alternativas: - **(A)*… |
| 36 | C | C | A primeira energia de ionização é a energia necessária para remover o elétron mais externo de um átomo no estado gasoso. Ao longo do segundo período, ela geralmente aumenta da esquerda para a direita, devido ao aumento da carga nuclear ef… |
| 37 | A | A | A alternativa correta é a **(A)**. - **DNA**: é formado pelas bases nitrogenadas **adenina, guanina, citosina e timina**. As bases **adenina e guanina** são **purinas** (estrutura com dois anéis) e **citosina e timina** são **pirimidinas… |
| 38 | B | B | A expressão para \(Q\) na hidrólise do ATP é: \[ Q=\frac{[\text{ADP}][\text{P}_i]}{[\text{ATP}]} \] A água não entra na expressão, pois é o solvente e sua atividade é aproximadamente 1. Substituindo as concentrações: \[ Q=\frac{(10^{-… |
| 39 | E | E | A afirmativa I está incorreta: na reação i, o HCO₃⁻ atua como ácido de Brønsted-Lowry, doando H⁺ para o OH⁻; porém, na reação ii, ele atua como base de Brønsted-Lowry, aceitando H⁺ do HF. A teoria de Arrhenius não classifica adequadamente… |
| 40 | C | C | Sejam - \(a = p_{X,A}\), com \(0\le a\le P\), pois \(A\) não contém \(Z\) e sua pressão total é \(P\); - \(b = p_{X,B}\), com \(0\le b\le 2P\), pois \(B\) não contém \(Y\) e sua pressão total é \(2P\); - \(c = p_{Y,C}\), com \(0\le c\le… |