DESEMPENHO NESTA PROVA
Claude Sonnet 5.5
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 40 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | Se $n$ vale $5621$ na base $m$ e $1208$ na base $m+5$, então: $$n = 5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 = (m+5)^3 + 2(m+5)^2 + 0\cdot(m+5) + 8$$ Desenvolvendo o lado direito: $(m+5)^3 = m^3 + 15m^2 + 75m + 125$ e $2(m+5)^2 = 2m^2 + 20m + 50$. Somand… |
| 2 | B | B | Total de funções injetivas de X (5 elementos) em Y (8 elementos): 8·7·6·5·4 = 6720. Subtraímos as funções em que |f(xi) − f(xj)| = 1, para os dois elementos xi e xj fixados. Contagem das funções "ruins": os valores f(xi) e f(xj) formam … |
| 3 | C | C | Como P(x) − P(x−1) = x², o polinômio P é a soma de quadrados mais uma constante. Somando a identidade de x = 1 até x = 10 (a soma é telescópica): P(10) − P(0) = 1² + 2² + ... + 10² A soma dos quadrados é n(n+1)(2n+1)/6, com n = 10: 10… |
| 4 | B | B | **Resolução** Coloque x^m, y^m e z^m em evidência nas linhas 1, 2 e 3 do determinante. Com a = x², b = y² e c = z², obtemos: $$\text{LHS} = (xyz)^m \begin{vmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix} = (xyz)^m\,(b-a)(c-a)(c-b),$$ que… |
| 5 | D | D | **Cálculo de z.** Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador: z = (1 − 2i)(4 + 3i)/25 = (10 − 5i)/25 = (2 − i)/5. Logo, z̄ = (2 + i)/5 e |z|² = 5/25 = 1/5. **Soma.** Seja w = z̄. Então Sₙ = w(1 − wⁿ)/(1 − w), uma… |
| 6 | D | D | **Identificação da região.** A condição |z − (−1+i)| + |z − (3+4i)| ≤ 7 descreve a região interior (com o contorno) de uma elipse com focos F₁ = (−1, 1) e F₂ = (3, 4). - Distância focal: |F₁F₂| = √(4² + 3²) = 5, logo 2c = 5 e c = 5/2. - … |
| 7 | C | C | Para cada equação, (a_i − b_i + c_i)/a_i = 1 − b_i/a_i + c_i/a_i. Pelas relações de Girard, b_i/a_i = −(soma das raízes) e c_i/a_i = produto das raízes. Então, para as raízes p e q da equação i: 1 + (p + q) + pq = (1 + p)(1 + q) **Cálc… |
| 8 | B | B | Reescrevendo a equação: 9^x − 4·5^(x−1/2) = 5^(x+1/2) − 2·3^(2x−1). Note que 3^(2x−1) = 9^x/3. Passando os termos com 9^x para um lado e os com 5^x para o outro: 9^x + (2/3)·9^x = 5^(x+1/2) + 4·5^(x−1/2) Lado esquerdo: (5/3)·9^x. Lad… |
| 9 | B | B | **Ideia:** um polinômio mônico de grau 4, com coeficientes inteiros, cujas raízes são todas raízes 12-ésimas da unidade, deve ser um produto de polinômios ciclotômicos. Isso vale porque as raízes de cada fator irredutível sobre ℚ são conj… |
| 10 | B | B | Resposta obtida somando as três probabilidades, calculadas separadamente. **Setup.** Há C(10,2) = 45 modos equiprováveis de Maria escolher suas duas caixas. Depois, Pedro sempre consegue mostrar 6 caixas vazias entre as 8 restantes, porq… |
| 11 | A | A | Os vértices são as soluções reais de xy = 2025 e x² + y² = 10145. **Encontrando os pontos.** - (x + y)² = 10145 + 2·2025 = 14195, logo x + y = ±√14195. - (x − y)² = 10145 − 2·2025 = 6095, logo x − y = ±√6095. Isso dá 4 pontos distintos,… |
| 12 | A | A | **Simplificando o radical.** Como tg²x + cotg²x + 2 = (tg x + cotg x)² e tg x + cotg x = 1/(sen x · cos x), temos √(2 + tg²x + cotg²x) = 1/|sen x · cos x|. As condições x ≠ mπ/2 garantem que sen x · cos x ≠ 0. **Mudança de variável.** … |
| 13 | B | B | **Condições de existência.** Para que log₍b₎(a) = 1 faça sentido, é preciso ter b > 0, b ≠ 1 e a > 0, em que - b = 0,5·cos(4x) + 0,5, - a = 0,5·sen(4x). **Resolução.** log₍b₎(a) = 1 equivale a a = b: 0,5·sen(4x) = 0,5·cos(4x) + 0,5, ou… |
| 14 | C | C | **Montagem.** O círculo C₁ está inscrito no quadrado de lado 2, logo seu raio é 1. Seja r o raio do círculo variável de centro M. **Condições.** - O círculo variável tangencia C₁ externamente, então MO = r + 1. - O círculo variável tange… |
| 15 | C | C | Seja a o lado do hexágono regular da base e h a altura do prisma. **Relação com a esfera.** O prisma está inscrito na esfera, então o raio da circunferência circunscrita à base é a. Assim, o raio da esfera satisfaz R² = a² + (h/2)², ou … |
| 16 | E | E | Temos x = 9 v_y = 9 y' e y = −4 v_x = −4 x'. Derivando a primeira equação: x' = 9 y''. Da segunda, y = −4 x' = −4·9 y'' = −36 y''. Logo y'' + y/36 = 0, ou seja, ω² = 1/36 e ω = 1/6 rad/s. Para x: y = −4x', então y' = −4x''. Substituind… |
| 17 | C | C | Seja a o semieixo maior da elipse, e a distância focal c = OS. **Apoastro e periastro** - Apoastro: r_a = a + c - Periastro: r_p = a − c Como r_a/r_p = 9/4, temos 4(a + c) = 9(a − c), logo 13c = 5a e c = 5a/13. **Distância de S ao pon… |
| 18 | B | B | **Forças elétricas nas partículas.** O plano está carregado positivamente, então o campo aponta para cima acima do plano e para baixo abaixo dele. - A carga −Q está acima do plano, onde o campo aponta para cima. A força sobre ela aponta … |
| 19 | E | E | **Efeito Doppler relativístico** Na nave X, a fonte se aproxima, então o comprimento de onda diminui: λ/2 = λ·√[(1−β_X)/(1+β_X)] (1−β_X)/(1+β_X) = 1/4, logo 4 − 4β_X = 1 + β_X e β_X = 0,6. Na nave Y, a fonte se afasta, então o comprim… |
| 20 | E | E | Aplicamos a lei de Gauss em cada camada condutora, usando o fato de que o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio é nulo. **Camada condutora em a ≤ r < 2a** - Em r = a (superfície interna), a carga induzida deve anular o flux… |
| 21 | B | B | **Raciocínio** A plataforma permanece horizontal e as juntas estão em pontos equivalentes das polias. Por isso, ela faz uma translação circular de raio R, e todos os seus pontos têm a mesma aceleração: o módulo é a = Rω², dirigido da jun… |
| 22 | A | A | Posições medidas a partir de A (x = 0): - Carga de 75 kN em x = 0,9 m - Apoio B em x = 0,9 + 1,8 = 2,7 m - Carga de 30 kN em x = 2,7 + 0,6 = 3,3 m - Carga de 30 kN em x = 3,3 + 0,6 = 3,9 m **Equilíbrio de momentos em relação a A** (consi… |
| 23 | C | C | **Montagem** Seja Q₁ o calor recebido pela máquina 1 e W₁ o seu trabalho. O calor rejeitado por ela é Q₂ = Q₁ − W₁. Para a máquina 2, o calor recebido é Q₂' = 0,8·Q₂ e o trabalho é W₂ = 0,4·W₁. Como as duas máquinas operam em ciclos de … |
| 24 | C | C | **Montagem** - Velocidade inicial: 10√2 m/s a 45°, logo vₓ = 10 m/s e v_y = 10 m/s. - Em um instante t antes da explosão, a granada está na altura y₀ = 10t − 5t² e tem velocidade vertical 10 − 10t. - Pela figura, o fragmento leve sai na … |
| 25 | C | C | **Modelagem dos circuitos** Nas duas figuras a malha é a mesma: um hexágono com 6 resistores R nas arestas e 6 resistores R ligando cada vértice ao centro, ou seja, 12 resistores iguais. A única diferença é onde a bateria é ligada: - **… |
| 26 | D | D | **Raciocínio** A velocidade de um pulso transversal numa corda é v = √(T/μ), em que T é a tração local e μ a densidade linear. Como μ é constante, o mínimo de v ocorre onde a tração é mínima. **Tração ao longo da corda.** Num trecho da … |
| 27 | A | A | **Corrente no circuito:** o circuito se fecha através das 10 espiras do solenoide entre os pontos de contato dos ímãs. - R = 10 × 0,04 = 0,4 Ω - i = U/R = 6/0,4 = 15 A **Campo do solenoide:** os contatos distam 10 espiras e o projétil t… |
| 28 | B | B | Cada esfera cai, a cada inversão, a altura total do tubo disponível (as esferas ficam no fundo, o tubo é invertido e elas caem até o novo fundo). Toda a energia potencial perdida na queda, m·g·h, vira calor, então ΔT = g·h_total/c. **Alt… |
| 29 | D | D | Como a fibra deve ficar sobre a superfície da Terra, o menor caminho entre A e B é o arco de círculo máximo (geodésica) que os une. **Vetores posição (com raio R):** - A: latitude 45°, longitude 0° → R(cos45°, 0, sen45°) = R(√2/2, 0, √2/… |
| 30 | D | D | Na Situação 2, a esfera está totalmente imersa e mantida em posição pela mão do pesquisador, que está fora do líquido. O sistema a considerar é "balde + líquido + esfera", com a mão aplicando uma força sobre a esfera. **Forças sobre a es… |
| 31 | C | C | Para o subnível 3p, o número quântico principal é n = 3 e o azimutal é l = 1. Com l = 1, o número quântico magnético pode assumir m_l = −1, 0 ou +1, e o spin pode ser +1/2 ou −1/2. Análise das alternativas: - (A) Falsa. n = 3, e não 2. … |
| 32 | D | D | **Molécula I (ácido 2-metilbenzoico)** - O –COOH (C1) é desativante e meta-dirigente, então orienta o grupo NO₂ para as posições 3 e 5. - O –CH₃ (C2) é ativante e orto/para-dirigente. Suas posições orto são C1 (ocupada) e C3, e a posição … |
| 33 | B | B | **Resposta: B** Analisei cada reação quanto à possibilidade química e ao balanceamento. **i. CrCl₃ + Br₂ em meio básico (KOH)** Em meio básico, o Cr(III) é oxidado a cromato (CrO₄²⁻), em que o Cr tem Nox +6. O K₂CrO₃ não é o produto cor… |
| 34 | D | D | Cálculo da carga: Q = i·t = 11 A × (52 × 60 s) = 11 × 3120 = 34320 C. Mols de elétrons: n(e⁻) = 34320 / 96500 ≈ 0,3557 mol. Pela semirreação 2 Cl⁻ → Cl₂ + 2 e⁻, cada mol de Cl₂ corresponde a 2 mol de elétrons: n(Cl₂) = 0,3557 / 2 ≈ 0,17… |
| 35 | E | E | Penta-2,3-dieno: CH3–CH=C=CH–CH3, um aleno 1,3-dissubstituído. **(A)** Um aleno com dois substituintes diferentes em cada extremidade apresenta quiralidade axial. Aqui, cada carbono terminal tem H e CH3, que são diferentes. Logo, a moléc… |
| 36 | C | C | Análise das alternativas: **(A)** Falsa. O lítio tem a menor energia de ionização por ter o elétron de valência mais afastado do núcleo, em 2s, e o maior raio entre os elementos do período (excluindo o gás nobre). Dizer que seu raio é o … |
| 37 | A | A | Analisando cada alternativa: **(A)** O DNA contém adenina, guanina, citosina e timina. Adenina e guanina são purinas (duplo anel), e citosina e timina são pirimidinas (anel simples). **Correta.** **(B)** Falsa. As gorduras armazenam ene… |
| 38 | B | B | Q = [ADP][Pi]/[ATP] = (10⁻⁴ · 10⁻²)/10⁻³ = 10⁻³ (a água não entra em Q). ln Q = −3 · 2,303 = −6,909 T = 298 K, então RT = 1,987 · 298 = 592,1 cal/mol. RT ln Q = 592,1 · (−6,909) ≈ −4,09 × 10³ cal/mol ΔG = −7,7 × 10³ − 4,09 × 10³ ≈ −11… |
| 39 | E | E | **Afirmativa I:** a teoria de Arrhenius define ácido como a substância que libera H⁺ em água e base como a que libera OH⁻. Na reação ii, o HCO₃⁻ recebe H⁺ para formar H₂CO₃, mas não libera OH⁻ e, portanto, não é base de Arrhenius. Esse co… |
| 40 | C | C | **Resposta: C** **Conservação.** Como a temperatura é constante, a quantidade de cada gás é proporcional a pV. O volume final é 6V. O produto pV total é P·V + 2P·2V + 3P·3V = 14PV, então a pressão total final é 14P/6 = 7P/3. **Variáveis… |