DESEMPENHO NESTA PROVA

Claude Opus 5.5

Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 39 acertos em 40 questões com gabarito.

Questão	Resposta	Gabarito	Resposta
1	C	C	Resposta: n = 2024 (alternativa C) Montagem da equação O número 5621 na base m vale: n = 5m³ + 6m² + 2m + 1 O número 1208 na base m + 5 vale: n = (m+5)³ + 2(m+5)² + 0·(m+5) + 8 Expandindo o segundo membro: (m³ + 15m² + 75m + 1…
2	B	B	A resposta é 5040: contamos todas as funções injetivas e subtraímos aquelas em que $\|f(x_i) - f(x_j)\| = 1$. Total de funções injetivas de $X$ em $Y$: $$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720$$ **Funções injetivas com $\|f(x_i) …
3	C	C	Raciocínio A identidade $P(x) - P(x-1) = x^2$ vale para todo $x \in \mathbb{R}$, então vale em particular para $x = 1, 2, \dots, 10$: $$P(1) - P(0) = 1^2,\quad P(2) - P(1) = 2^2,\quad \dots,\quad P(10) - P(9) = 10^2.$$ Somando as d…
4	B	B	Resposta: m = −4 Passo 1 – Colocar fatores em evidência. Em cada linha do determinante, coloca-se em evidência $x^m$, $y^m$ e $z^m$: $$ \det = x^m y^m z^m \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^4\\ 1 & y^2 & y^4\\ 1 & z^2 & z^4 \end{vmatri…
5	D	D	Resposta: n = 10 (alternativa D) 1. Cálculo de z $$z=\frac{1-2i}{4-3i}=\frac{(1-2i)(4+3i)}{25}=\frac{10-5i}{25}=\frac{2-i}{5}$$ Logo $\|z\|^2=\dfrac{1}{5}$. Seja $w=\overline z=\dfrac{2+i}{5}$, com $\|w\|=\dfrac{1}{\sqrt5}<1$. **2…
6	D	D	Resposta: D) 14√6 1. Identificar a região S. A condição \|z − (−1 + i)\| + \|z − (3 + 4i)\| ≤ 7 diz que a soma das distâncias de z a dois pontos fixos é no máximo 7. Logo, S é uma elipse (com seu interior) cujos focos são F₁ = (−1, 1…
7	C	C	Resposta: (C), entendida como $\|(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\|$. A raiz quadrada devolve o módulo desse produto. A alternativa (C) só coincide exatamente com o resultado quando o produto é não negativo; supõe-se que a questão pretende esse ca…
8	B	B	A equação tem uma única solução, x = 3/2, que é positiva. Para chegar a isso, isolam-se as potências de 9 de um lado e as de 5 do outro, e chega-se a uma igualdade de mesma base. Equação: $$9^x - 4\cdot 5^{x-\frac12} = 5^{x+\frac…
9	B	B	Resposta: B (n = 21). Considero que raízes repetidas são permitidas. Se a questão exigisse raízes distintas, a contagem daria n = 7, com resto 2. Ideia. As raízes de $P(x)=x^{12}-1$ são as raízes 12-ésimas da unidade. Um polinômi…
10	B	B	Resposta: (B) 26 Seja $k$ o número de moedas nas duas caixas escolhidas inicialmente por Maria. Há $\binom{10}{2} = 45$ escolhas possíveis. - $k = 2$: há 1 escolha, então $P(k=2) = 1/45$. - $k = 1$: há $2 \cdot 8 = 16$ escolhas, ent…
11	A	A	Resposta: (A). Os vértices formam um retângulo inscrito na circunferência centrada na origem, cujas diagonais são diâmetros. Encontrando os vértices. As condições são xy = 2025 e x² + y² = 10145. Combinando-as: - (x + y)² = 1014…
12	A	A	Resposta: (A) 0 Simplificando a raiz. Como $\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{cotg}x = 1$, vale $$2 + \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{cotg}^2 x = (\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x)^2 .$$ Daí, $$\sqrt{2+\opera…
13	B	B	Resposta: (B) 2 Condição de existência. A base é $b = 0{,}5\cos(4x) + 0{,}5$ e o logaritmando é $a = 0{,}5\,\text{sen}(4x)$. Precisamos de $a > 0$, $b > 0$ e $b \neq 1$. Resolução. Como $\log_b a = 1$, temos $a = b$: $$0{,}…
14	C	C	Resposta: (C), uma parábola com foco em O. 1. O círculo $C_1$ está inscrito em um quadrado de lado 2. Logo, seu raio é 1 e seu centro é $O$. 2. Seja $r$ o raio do círculo variável de centro $M$. - Como ele tangencia externamente …
15	C	C	Resposta: (C) 6R² Montagem. Seja $a$ a aresta da base hexagonal regular e $h$ a altura do prisma. - Num hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita à base é igual à aresta, ou seja, vale $a$. - O centro da esfera é o…
16	E	E	Período: T = 12π s (alternativa E). Montando o sistema Do enunciado: - x = 9 v_y ⇒ v_y = ẏ = x/9 - y = −4 v_x ⇒ v_x = ẋ = −y/4 Equação de movimento para x Derivando ẋ = −y/4 em relação ao tempo: ẍ = −ẏ/4 = −(1/4)(x/9) = …
17	C	C	Resposta: (C) 13/18 1. Semieixo maior e distância focal Seja $a$ o semieixo maior e $c$ a distância do centro O à estrela S (foco da elipse). - A distância de S ao apoastro é $a + c$. - A distância de S ao periastro é $a - c$. …
18	B	B	Resposta: (B) a = 4EQ/(3m) 1. Vínculo cinemático As roldanas estão engrenadas, então os pontos de contato têm a mesma velocidade: ω₁r = ω₂(2r). Logo, os pontos dos perímetros das duas roldanas têm a mesma velocidade escalar v. …
19	E	E	Resposta: (E) 0,39c. O raciocínio usa o efeito Doppler relativístico para obter a velocidade de cada nave e, em seguida, a composição relativística de velocidades. 1. Velocidade da nave X (aproximando-se da fonte) Na aproximação…
20	E	E	Resposta: (E) $+Q - q$ O raciocínio usa a Lei de Gauss: no equilíbrio eletrostático, o campo no interior de um condutor é nulo. 1. Camada condutora interna ($a \le r < 2a$), neutra. O campo dentro dela é nulo. Assim, a superfíci…
21	B	B	Resposta: (B) ω = 10/3 rad/s Movimento da plataforma. As juntas estão em pontos equivalentes das duas polias. Por isso a plataforma translada sem girar, e cada ponto dela, inclusive o bloco, descreve um círculo de raio R com velo…
22	A	A	Resposta: (A) 3,50 Coloco a origem no apoio A. As posições ao longo da viga ficam assim: - força de 75 kN em x = 0,9 m; - apoio B em x = 0,9 + 1,8 = 2,7 m; - primeira força de 30 kN em x = 2,7 + 0,6 = 3,3 m; - segunda força de 30 kN …
23	C	C	Resposta: (C) 38/45 Como as duas máquinas operam em ciclos de Carnot, o rendimento de cada uma depende só das temperaturas: η = 1 − T_fria/T_quente. Máquina 1 (entre T₁ = 900 K e T₂): Seja Q₁ o calor recebido da fonte quente. - …
24	C	C	Ideia central: a explosão envolve apenas forças internas. Por isso o centro de massa continua na mesma trajetória parabólica que a granada teria sem a explosão. 1. Altura do centro de massa em t = 1,9 s As componentes da velocid…
25	C	C	I₁/I₂ = 15/11 ≈ 1,36, que está no intervalo (C). Estrutura das malhas. Cada malha é uma "roda" com 12 resistores R. Seis resistores formam o contorno hexagonal e seis são raios que ligam o centro a cada vértice. - Na malha 1, a f…
26	D	D	Resposta: D. A velocidade mínima de um pulso transversal é $v_{min}=\sqrt{Sg\,(e^{L/b}-e^{-L/b})^{-1}}$. Ela ocorre no ponto mais baixo, onde a tensão na corda é mínima. 1. Velocidade do pulso A velocidade de um pulso transversa…
27	A	A	Resposta: (A) 4,5 m/s 1. Corrente no trecho ativo do solenoide A pilha fecha circuito apenas pelas espiras entre os dois ímãs, que são 10. - Resistência desse trecho: R = 10 · 0,04 = 0,4 Ω. - Corrente: I = U/R = 6/0,4 = 15 A. *…
28	B	B	Resposta: (B) 2,0 °C Cada esfera cai a altura de queda por inversão. Toda a energia potencial perdida vira calor nas próprias esferas, então a massa se cancela: m·g·H = m·c·ΔT. Altura total de queda (H) - **Primeiras 8 inversõe…
29	D	D	Ideia: o caminho mais curto entre dois pontos sobre a superfície de uma esfera é o arco de círculo máximo que os une. 1. Posição dos pontos. Use um sistema com origem no centro da Terra, o eixo $z$ apontando para o polo Norte e o…
30	D	D	Resposta: D Vou analisar as forças que agem sobre o conjunto balde + líquido. Situação 1: o balde contém apenas o líquido, e as massas do balde e da balança são desprezadas. Logo, o equilíbrio exige M₁ = m_líquido. **Situação 2…
31	C	C	Para um elétron no subnível 3p, os números quânticos ficam definidos pela notação do subnível: - Número quântico principal (n): é o número que aparece em "3p", logo n = 3. A alternativa (A), que dá n = 2, está incorreta. - **Núme…
32	A	D	Resposta: A (5 e 2). Molécula I (ácido 2-metilbenzoico) - O –COOH é desativante e orienta para meta, ou seja, as posições 3 e 5. - O –CH₃ é ativante e orienta para orto/para. A posição 1 já está ocupada, então sobram a 3 (ort…
33	B	B	Resposta: B. Os detalhes de cada reação seguem abaixo. i. CrCl₃ + Br₂ em meio básico (KOH) - Em meio básico, o Cr(III) é oxidado a cromato (CrO₄²⁻, Cr⁶⁺). O Br₂ é reduzido a Br⁻. - O K₂CrO₃ (Cr⁴⁺) não é o produto esperado. Também…
34	D	D	O volume de Cl₂ nas CNTP é de aproximadamente 4,0 L. 1. Carga elétrica que passou pela solução $$Q = i \cdot t = 11\ \text{A} \times (52 \times 60)\ \text{s} = 11 \times 3120 = 34\,320\ \text{C}$$ 2. Mols de elétrons $$n_{e^-}…
35	E	E	Resposta: E O penta-2,3-dieno é CH₃–CH=C=CH–CH₃, um aleno, ou seja, um dieno cumulado. - (A) Falsa. Cada carbono terminal do aleno (C2 e C4) tem dois substituintes diferentes (H e CH₃). Os planos desses substituintes são per…
36	C	C	Análise das alternativas - (A) Falsa. A energia de ionização do lítio é de fato a menor (520 kJ/mol). A causa, porém, é o raio atômico ser o maior do período, e não o menor. Além disso, o elétron 2s fica blindado pelo cerne 1s²…
37	A	A	Resposta: A (A) Correta. O DNA tem as bases adenina, guanina, citosina e timina. Adenina e guanina são purinas, com anel duplo. Citosina e timina são pirimidinas, com anel simples. (B) Incorreta. Os carbonos das gorduras est…
38	B	B	Resposta: B. ΔG ≈ −1,18 × 10⁴ cal/mol, e a reação é espontânea no sentido direto. 1. Quociente de reação Q A água é o solvente, portanto não entra em Q: $$Q = \frac{[\text{ADP}][\text{P}_i]}{[\text{ATP}]} = \frac{10^{-4}\cdot 1…
39	E	E	Afirmativa I – falsa. Pela teoria de Arrhenius, ácido é a substância que libera H⁺ em água e base é a que libera OH⁻. Essa teoria não classifica uma espécie conforme o papel que ela tem em uma reação de transferência de próton. - Na r…
40	C	C	Resposta: (C) 1. Quantidades de gás (equação dos gases ideais, mesma temperatura). O número de mols em cada recipiente é proporcional a pV: - A: P·V = 1·PV - B: 2P·2V = 4·PV - C: 3P·3V = 9·PV O total é 14·PV. Após a abertura, o…

Questão	Resposta	Gabarito	Resposta
1	C	C	Resposta: n = 2024 (alternativa C) Montagem da equação O número 5621 na base m vale: n = 5m³ + 6m² + 2m + 1 O número 1208 na base m + 5 vale: n = (m+5)³ + 2(m+5)² + 0·(m+5) + 8 Expandindo o segundo membro: (m³ + 15m² + 75m + 1…
2	B	B	A resposta é 5040: contamos todas as funções injetivas e subtraímos aquelas em que $\|f(x_i) - f(x_j)\| = 1$. Total de funções injetivas de $X$ em $Y$: $$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720$$ **Funções injetivas com $\|f(x_i) …
3	C	C	Raciocínio A identidade $P(x) - P(x-1) = x^2$ vale para todo $x \in \mathbb{R}$, então vale em particular para $x = 1, 2, \dots, 10$: $$P(1) - P(0) = 1^2,\quad P(2) - P(1) = 2^2,\quad \dots,\quad P(10) - P(9) = 10^2.$$ Somando as d…
4	B	B	Resposta: m = −4 Passo 1 – Colocar fatores em evidência. Em cada linha do determinante, coloca-se em evidência $x^m$, $y^m$ e $z^m$: $$ \det = x^m y^m z^m \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^4\\ 1 & y^2 & y^4\\ 1 & z^2 & z^4 \end{vmatri…
5	D	D	Resposta: n = 10 (alternativa D) 1. Cálculo de z $$z=\frac{1-2i}{4-3i}=\frac{(1-2i)(4+3i)}{25}=\frac{10-5i}{25}=\frac{2-i}{5}$$ Logo $\|z\|^2=\dfrac{1}{5}$. Seja $w=\overline z=\dfrac{2+i}{5}$, com $\|w\|=\dfrac{1}{\sqrt5}<1$. **2…
6	D	D	Resposta: D) 14√6 1. Identificar a região S. A condição \|z − (−1 + i)\| + \|z − (3 + 4i)\| ≤ 7 diz que a soma das distâncias de z a dois pontos fixos é no máximo 7. Logo, S é uma elipse (com seu interior) cujos focos são F₁ = (−1, 1…
7	C	C	Resposta: (C), entendida como $\|(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\|$. A raiz quadrada devolve o módulo desse produto. A alternativa (C) só coincide exatamente com o resultado quando o produto é não negativo; supõe-se que a questão pretende esse ca…
8	B	B	A equação tem uma única solução, x = 3/2, que é positiva. Para chegar a isso, isolam-se as potências de 9 de um lado e as de 5 do outro, e chega-se a uma igualdade de mesma base. Equação: $$9^x - 4\cdot 5^{x-\frac12} = 5^{x+\frac…
9	B	B	Resposta: B (n = 21). Considero que raízes repetidas são permitidas. Se a questão exigisse raízes distintas, a contagem daria n = 7, com resto 2. Ideia. As raízes de $P(x)=x^{12}-1$ são as raízes 12-ésimas da unidade. Um polinômi…
10	B	B	Resposta: (B) 26 Seja $k$ o número de moedas nas duas caixas escolhidas inicialmente por Maria. Há $\binom{10}{2} = 45$ escolhas possíveis. - $k = 2$: há 1 escolha, então $P(k=2) = 1/45$. - $k = 1$: há $2 \cdot 8 = 16$ escolhas, ent…
11	A	A	Resposta: (A). Os vértices formam um retângulo inscrito na circunferência centrada na origem, cujas diagonais são diâmetros. Encontrando os vértices. As condições são xy = 2025 e x² + y² = 10145. Combinando-as: - (x + y)² = 1014…
12	A	A	Resposta: (A) 0 Simplificando a raiz. Como $\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{cotg}x = 1$, vale $$2 + \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{cotg}^2 x = (\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x)^2 .$$ Daí, $$\sqrt{2+\opera…
13	B	B	Resposta: (B) 2 Condição de existência. A base é $b = 0{,}5\cos(4x) + 0{,}5$ e o logaritmando é $a = 0{,}5\,\text{sen}(4x)$. Precisamos de $a > 0$, $b > 0$ e $b \neq 1$. Resolução. Como $\log_b a = 1$, temos $a = b$: $$0{,}…
14	C	C	Resposta: (C), uma parábola com foco em O. 1. O círculo $C_1$ está inscrito em um quadrado de lado 2. Logo, seu raio é 1 e seu centro é $O$. 2. Seja $r$ o raio do círculo variável de centro $M$. - Como ele tangencia externamente …
15	C	C	Resposta: (C) 6R² Montagem. Seja $a$ a aresta da base hexagonal regular e $h$ a altura do prisma. - Num hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita à base é igual à aresta, ou seja, vale $a$. - O centro da esfera é o…
16	E	E	Período: T = 12π s (alternativa E). Montando o sistema Do enunciado: - x = 9 v_y ⇒ v_y = ẏ = x/9 - y = −4 v_x ⇒ v_x = ẋ = −y/4 Equação de movimento para x Derivando ẋ = −y/4 em relação ao tempo: ẍ = −ẏ/4 = −(1/4)(x/9) = …
17	C	C	Resposta: (C) 13/18 1. Semieixo maior e distância focal Seja $a$ o semieixo maior e $c$ a distância do centro O à estrela S (foco da elipse). - A distância de S ao apoastro é $a + c$. - A distância de S ao periastro é $a - c$. …
18	B	B	Resposta: (B) a = 4EQ/(3m) 1. Vínculo cinemático As roldanas estão engrenadas, então os pontos de contato têm a mesma velocidade: ω₁r = ω₂(2r). Logo, os pontos dos perímetros das duas roldanas têm a mesma velocidade escalar v. …
19	E	E	Resposta: (E) 0,39c. O raciocínio usa o efeito Doppler relativístico para obter a velocidade de cada nave e, em seguida, a composição relativística de velocidades. 1. Velocidade da nave X (aproximando-se da fonte) Na aproximação…
20	E	E	Resposta: (E) $+Q - q$ O raciocínio usa a Lei de Gauss: no equilíbrio eletrostático, o campo no interior de um condutor é nulo. 1. Camada condutora interna ($a \le r < 2a$), neutra. O campo dentro dela é nulo. Assim, a superfíci…
21	B	B	Resposta: (B) ω = 10/3 rad/s Movimento da plataforma. As juntas estão em pontos equivalentes das duas polias. Por isso a plataforma translada sem girar, e cada ponto dela, inclusive o bloco, descreve um círculo de raio R com velo…
22	A	A	Resposta: (A) 3,50 Coloco a origem no apoio A. As posições ao longo da viga ficam assim: - força de 75 kN em x = 0,9 m; - apoio B em x = 0,9 + 1,8 = 2,7 m; - primeira força de 30 kN em x = 2,7 + 0,6 = 3,3 m; - segunda força de 30 kN …
23	C	C	Resposta: (C) 38/45 Como as duas máquinas operam em ciclos de Carnot, o rendimento de cada uma depende só das temperaturas: η = 1 − T_fria/T_quente. Máquina 1 (entre T₁ = 900 K e T₂): Seja Q₁ o calor recebido da fonte quente. - …
24	C	C	Ideia central: a explosão envolve apenas forças internas. Por isso o centro de massa continua na mesma trajetória parabólica que a granada teria sem a explosão. 1. Altura do centro de massa em t = 1,9 s As componentes da velocid…
25	C	C	I₁/I₂ = 15/11 ≈ 1,36, que está no intervalo (C). Estrutura das malhas. Cada malha é uma "roda" com 12 resistores R. Seis resistores formam o contorno hexagonal e seis são raios que ligam o centro a cada vértice. - Na malha 1, a f…
26	D	D	Resposta: D. A velocidade mínima de um pulso transversal é $v_{min}=\sqrt{Sg\,(e^{L/b}-e^{-L/b})^{-1}}$. Ela ocorre no ponto mais baixo, onde a tensão na corda é mínima. 1. Velocidade do pulso A velocidade de um pulso transversa…
27	A	A	Resposta: (A) 4,5 m/s 1. Corrente no trecho ativo do solenoide A pilha fecha circuito apenas pelas espiras entre os dois ímãs, que são 10. - Resistência desse trecho: R = 10 · 0,04 = 0,4 Ω. - Corrente: I = U/R = 6/0,4 = 15 A. *…
28	B	B	Resposta: (B) 2,0 °C Cada esfera cai a altura de queda por inversão. Toda a energia potencial perdida vira calor nas próprias esferas, então a massa se cancela: m·g·H = m·c·ΔT. Altura total de queda (H) - **Primeiras 8 inversõe…
29	D	D	Ideia: o caminho mais curto entre dois pontos sobre a superfície de uma esfera é o arco de círculo máximo que os une. 1. Posição dos pontos. Use um sistema com origem no centro da Terra, o eixo $z$ apontando para o polo Norte e o…
30	D	D	Resposta: D Vou analisar as forças que agem sobre o conjunto balde + líquido. Situação 1: o balde contém apenas o líquido, e as massas do balde e da balança são desprezadas. Logo, o equilíbrio exige M₁ = m_líquido. **Situação 2…
31	C	C	Para um elétron no subnível 3p, os números quânticos ficam definidos pela notação do subnível: - Número quântico principal (n): é o número que aparece em "3p", logo n = 3. A alternativa (A), que dá n = 2, está incorreta. - **Núme…
32	A	D	Resposta: A (5 e 2). Molécula I (ácido 2-metilbenzoico) - O –COOH é desativante e orienta para meta, ou seja, as posições 3 e 5. - O –CH₃ é ativante e orienta para orto/para. A posição 1 já está ocupada, então sobram a 3 (ort…
33	B	B	Resposta: B. Os detalhes de cada reação seguem abaixo. i. CrCl₃ + Br₂ em meio básico (KOH) - Em meio básico, o Cr(III) é oxidado a cromato (CrO₄²⁻, Cr⁶⁺). O Br₂ é reduzido a Br⁻. - O K₂CrO₃ (Cr⁴⁺) não é o produto esperado. Também…
34	D	D	O volume de Cl₂ nas CNTP é de aproximadamente 4,0 L. 1. Carga elétrica que passou pela solução $$Q = i \cdot t = 11\ \text{A} \times (52 \times 60)\ \text{s} = 11 \times 3120 = 34\,320\ \text{C}$$ 2. Mols de elétrons $$n_{e^-}…
35	E	E	Resposta: E O penta-2,3-dieno é CH₃–CH=C=CH–CH₃, um aleno, ou seja, um dieno cumulado. - (A) Falsa. Cada carbono terminal do aleno (C2 e C4) tem dois substituintes diferentes (H e CH₃). Os planos desses substituintes são per…
36	C	C	Análise das alternativas - (A) Falsa. A energia de ionização do lítio é de fato a menor (520 kJ/mol). A causa, porém, é o raio atômico ser o maior do período, e não o menor. Além disso, o elétron 2s fica blindado pelo cerne 1s²…
37	A	A	Resposta: A (A) Correta. O DNA tem as bases adenina, guanina, citosina e timina. Adenina e guanina são purinas, com anel duplo. Citosina e timina são pirimidinas, com anel simples. (B) Incorreta. Os carbonos das gorduras est…
38	B	B	Resposta: B. ΔG ≈ −1,18 × 10⁴ cal/mol, e a reação é espontânea no sentido direto. 1. Quociente de reação Q A água é o solvente, portanto não entra em Q: $$Q = \frac{[\text{ADP}][\text{P}_i]}{[\text{ATP}]} = \frac{10^{-4}\cdot 1…
39	E	E	Afirmativa I – falsa. Pela teoria de Arrhenius, ácido é a substância que libera H⁺ em água e base é a que libera OH⁻. Essa teoria não classifica uma espécie conforme o papel que ela tem em uma reação de transferência de próton. - Na r…
40	C	C	Resposta: (C) 1. Quantidades de gás (equação dos gases ideais, mesma temperatura). O número de mols em cada recipiente é proporcional a pV: - A: P·V = 1·PV - B: 2P·2V = 4·PV - C: 3P·3V = 9·PV O total é 14·PV. Após a abertura, o…