DESEMPENHO NESTA PROVA
Claude Fable 5.1
Na prova IME 2027 · Prova objetiva: 39 acertos em 40 questões com gabarito.
| Questão | Resposta | Gabarito | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | C | C | Temos n = 5m³ + 6m² + 2m + 1 (base m, com m ≥ 7) e n = 1·(m+5)³ + 2(m+5)² + 0·(m+5) + 8 (base m+5, com m+5 ≥ 9). Expandindo a segunda expressão: (m+5)³ = m³ + 15m² + 75m + 125 2(m+5)² = 2m² + 20m + 50 Soma com 8: m³ + 17m² + 95m + 183. … |
| 2 | B | B | Total de funções injetivas de X (5 elementos) em Y (8 elementos): 8·7·6·5·4 = 6720. Agora contamos as funções injetivas em que |f(x_i) − f(x_j)| = 1, para os dois elementos fixados x_i e x_j: - Pares ordenados (f(x_i), f(x_j)) de elemen… |
| 3 | C | C | P(x) − P(x−1) = x² para todo x real. Somando essa identidade para x = 1, 2, ..., 10 (soma telescópica): P(10) − P(0) = 1² + 2² + ... + 10² = 10·11·21/6 = 385. Logo P(10) = 385 + P(0) = 385 + 5 = 390. (Verificação: P(x) = x³/3 + x²/2 + … |
| 4 | B | B | **Passo 1 – Simplificar o determinante.** Colocando em evidência $x^m$, $y^m$ e $z^m$ das linhas: $$ \begin{vmatrix} x^m & x^{m+2} & x^{m+4}\\ y^m & y^{m+2} & y^{m+4}\\ z^m & z^{m+2} & z^{m+4}\end{vmatrix} =(xyz)^m\begin{vmatrix} 1 & x^2… |
| 5 | D | D | **Calculando $z$:** $$z=\frac{1-2i}{4-3i}=\frac{(1-2i)(4+3i)}{25}=\frac{4+3i-8i+6}{25}=\frac{10-5i}{25}=\frac{2-i}{5}.$$ Logo $\bar z=\dfrac{2+i}{5}$, $|z|^2=\dfrac{4+1}{25}=\dfrac15$ e $|z|=\dfrac{1}{\sqrt5}<1$. **Soma geométrica:** … |
| 6 | D | D | **Identificando a região S** A condição $|z-(-1+i)| + |z-(3+4i)| \le 7$ descreve o interior de uma elipse com focos $F_1=(-1,1)$ e $F_2=(3,4)$ e soma das distâncias $2a = 7$, logo $a = \tfrac{7}{2}$. Distância focal: $F_1F_2 = \sqrt{4^2… |
| 7 | C | C | Para cada equação, $a_i x^2 + b_i x + c_i = a_i(x - p)(x - q)$, onde $p, q$ são suas raízes. Avaliando em $x = -1$: $$\frac{a_i - b_i + c_i}{a_i} = (-1-p)(-1-q) = (1+p)(1+q).$$ Logo: - $i=1$: $(1+r_1)(1+r_2)$ - $i=2$: $(1+r_2)(1+r_3)$ … |
| 8 | B | B | **Resolução** Reescrevendo as potências: - $9^x = 3^{2x}$ - $5^{x-\frac12} = \dfrac{5^x}{\sqrt5}$ - $5^{x+\frac12} = \sqrt5\cdot 5^x$ - $3^{2x-1} = \dfrac{3^{2x}}{3} = \dfrac{9^x}{3}$ A equação fica: $$9^x - \frac{4}{\sqrt5}\,5^x = \s… |
| 9 | B | B | **Ideia central:** um polinômio mônico de coeficientes inteiros cujas raízes são todas raízes de $x^{12}-1$ (isto é, raízes 12-ésimas da unidade) fatora-se em $\mathbb{Q}[x]$ como produto de polinômios ciclotômicos $\Phi_d(x)$ com $d \mid… |
| 10 | B | B | **Montando o problema** Há 10 caixas, 2 com moeda. Maria escolhe 2 ao acaso; Pedro remove 6 caixas vazias dentre as 8 restantes, sobrando 2 caixas "não escolhidas". O total de pares possíveis é $\binom{10}{2}=45$. **Opção (1) – manter a… |
| 11 | A | A | **Montando o sistema:** $xy = 2025$ e $x^2 + y^2 = 10145$. Fazendo $u = x^2$ e $v = y^2$: $u + v = 10145$ e $uv = 2025^2$. A equação $t^2 - 10145t + 2025^2 = 0$ tem discriminante $10145^2 - 4\cdot 2025^2 = (10145-4050)(10145+4050) = 609… |
| 12 | A | A | **Simplificando o radical:** $$2+\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x=(\operatorname{tg}x+\operatorname{cotg}x)^2=\left(\frac{\operatorname{sen}^2x+\cos^2x}{\operatorname{sen}x\cos x}\right)^2=\frac{1}{\operatorname{sen}^2x\cos^2x… |
| 13 | B | B | **Condições de existência:** base $0{,}5\cos(4x)+0{,}5>0$ e $\neq 1$; argumento $0{,}5\,\text{sen}(4x)>0$. **Resolvendo a equação:** $$0{,}5\,\text{sen}(4x)=0{,}5\cos(4x)+0{,}5 \;\Rightarrow\; \text{sen}(4x)-\cos(4x)=1$$ $$\sqrt{2}\,\… |
| 14 | C | C | **Análise:** O círculo $C_1$ inscrito no quadrado de lado 2 tem raio 1 e centro $O$. Seja $r$ o raio do círculo variável de centro $M$. - Como ele é tangente à reta $L$: $d(M, L) = r$. - Como tangencia externamente $C_1$: $MO = 1 + r$. … |
| 15 | C | C | Seja $a$ o lado do hexágono regular da base (que coincide com o raio da circunferência circunscrita à base) e $h$ a altura do prisma. Como o prisma está inscrito na esfera, o centro da esfera é o centro do prisma, e um vértice do prisma d… |
| 16 | E | E | Temos x = 9 y' e y = −4 x'. Logo x' = −y/4 e y' = x/9. Derivando a primeira: x'' = −y'/4 = −x/36, ou seja, x'' + (1/36)x = 0 — um oscilador harmônico com ω² = 1/36 ⇒ ω = 1/6 rad/s. Analogamente y'' = x'/9 = −y/36, mesma frequência. Assi… |
| 17 | C | C | **Geometria da órbita** Seja $a$ o semieixo maior e $e$ a excentricidade da elipse. As distâncias da estrela S (foco) ao apoastro e ao periastro são: $$r_{apo} = a(1+e), \qquad r_{peri} = a(1-e)$$ Pela razão dada: $$\frac{1+e}{1-e} = … |
| 18 | B | B | **Forças elétricas** O plano infinito positivo gera um campo de módulo $E$ que aponta para longe do plano: para cima acima dele e para baixo abaixo dele. - Carga $-Q$ (acima do plano): campo para cima, carga negativa → força para **baix… |
| 19 | E | E | **Efeito Doppler relativístico** Para uma fonte parada no referencial inercial e um observador com velocidade β (em unidades de c): - Aproximando-se: λ_obs = λ·√[(1−β)/(1+β)] - Afastando-se: λ_obs = λ·√[(1+β)/(1−β)] **Nave X** (aproxim… |
| 20 | E | E | **Análise por indução eletrostática (Lei de Gauss)** 1. **Carga central:** $-Q$ na origem. 2. **Condutor $a \le r < 2a$ (inicialmente neutro):** - O campo dentro do metal é nulo, logo a superfície interna ($r=a$) adquire carga induzida… |
| 21 | B | B | **Movimento do bloco** Como a plataforma permanece sempre horizontal e está presa a pontos equivalentes das duas polias, ela executa uma **translação circular**: todo ponto da plataforma (e, portanto, o bloco) descreve uma circunferência… |
| 22 | A | A | Vamos tomar o apoio A como origem e as posições das forças ao longo da viga: - 75 kN em x = 0,9 m - Apoio B em x = 0,9 + 1,8 = 2,7 m - 30 kN em x = 2,7 + 0,6 = 3,3 m - 30 kN em x = 3,3 + 0,6 = 3,9 m **Equilíbrio de forças (vertical):** … |
| 23 | C | C | **Máquina 1 (Carnot entre T₁ e T₂):** η₁ = 1 − T₂/T₁ = 1 − T₂/900 Recebendo Q₁, produz W₁ = Q₁(900 − T₂)/900 e rejeita Q₂' = Q₁·T₂/900. **Máquina 2 (Carnot entre T₂ e T₃):** η₂ = 1 − 300/T₂ Recebe Q₂ = 0,8·Q₂' = 0,8·Q₁·T₂/900 e produz … |
| 24 | C | C | **Resolução** Decompondo a velocidade inicial: $v_x = v_y = 10\sqrt2\cos45^\circ = 10$ m/s. Como a explosão é causada apenas por forças internas, o **centro de massa** do sistema continua descrevendo a parábola original sob ação exclusi… |
| 25 | C | C | **Análise dos circuitos** Ambas as malhas são a mesma "roda": um hexágono com 6 resistores R nas arestas e 6 resistores R ligando cada vértice ao centro (12 resistores iguais). A diferença está em onde a fonte é ligada: - **Circuito 1:*… |
| 26 | D | D | **Raciocínio** A velocidade de um pulso transversal numa corda é $v=\sqrt{T/\mu}$, com $\mu$ constante. Logo, a velocidade mínima ocorre onde a tração é mínima, ou seja, no ponto mais baixo da catenária ($x=0$), onde a tração é horizonta… |
| 27 | A | A | **Corrente no circuito** Os pontos de contato dos ímãs distam 10 espiras, logo a resistência entre eles é: R = 10 × 0,04 = 0,4 Ω → I = U/R = 6/0,4 = 15 A **Campo produzido pela corrente no solenoide** A corrente circula pelas 10 esp… |
| 28 | B | B | **Análise das quedas** Como as esferas só caem após o fim de cada inversão, e em cada inversão elas caem de uma extremidade à outra do trecho disponível, basta somar as alturas percorridas. - **Primeiras 8 inversões (apenas tubo A):** c… |
| 29 | D | D | **Resolução** O menor caminho sobre a superfície da Terra entre dois pontos é o arco de círculo máximo (geodésica). Precisamos do ângulo central θ entre A e B. Escrevendo os vetores posição (com eixo z pelo polo Norte, eixo x no meridia… |
| 30 | D | D | **Análise da Situação 2** Considere o sistema formado por **balde + líquido + esfera**. As forças externas verticais sobre ele são: - peso do líquido: $M_1 g$ (pois a massa do líquido é igual a $M_1$); - peso da esfera: $m_e g$; - força… |
| 31 | C | C | Para um elétron no subnível **3p**: - O número quântico principal é n = 3 (o "3" indica o nível). Logo, (A) está errada. - O subnível p corresponde a l = 1 (s → 0, p → 1, d → 2, f → 3). Logo, (B) está errada. - O número quântico magnétic… |
| 32 | A | D | **Molécula I (ácido 2‑metilbenzoico):** - O grupo –COOH é desativador e orientador *meta* (posições 3 e 5). - O grupo –CH₃ é ativador e orientador *orto/para* (posições 3 e 5, além da 1, já ocupada). Os dois grupos concordam nas posições… |
| 33 | B | B | Vamos analisar cada reação: **i. CrCl₃ + Br₂ em meio básico:** o Cr³⁺ é oxidado a cromato (CrO₄²⁻, Cr⁶⁺), e o Br₂ é reduzido a Br⁻. A equação correta é: 2 CrCl₃ + 3 Br₂ + 16 KOH → 2 K₂CrO₄ + 6 KBr + 6 KCl + 8 H₂O (verificação: Cr perde 3… |
| 34 | D | D | Carga total: Q = i·t = 11 A × 52 min × 60 s/min = 34 320 C. Mols de elétrons: n(e⁻) = 34 320 / 96 500 ≈ 0,3557 mol. Pela semirreação 2 Cl⁻ → Cl₂ + 2 e⁻, cada mol de Cl₂ requer 2 mol de elétrons: n(Cl₂) = 0,3557 / 2 ≈ 0,178 mol. Volume … |
| 35 | E | E | Penta-2,3-dieno: CH₃–CH=C=CH–CH₃, um aleno (dieno acumulado). Análise das alternativas: **(A)** Falsa. Alenos com substituintes diferentes em cada carbono terminal apresentam quiralidade axial. No penta-2,3-dieno, cada carbono terminal … |
| 36 | C | C | Analisando cada alternativa com base na tabela e nas configurações eletrônicas: **(A)** Falsa. O lítio tem a menor energia de ionização, mas porque seu raio atômico é o **maior** do período (menor carga nuclear efetiva), não o menor. **… |
| 37 | A | A | Analisando cada alternativa: **(A)** O DNA contém as bases adenina (A), guanina (G), citosina (C) e timina (T). Adenina e guanina possuem anel duplo (purinas); citosina e timina possuem anel simples (pirimidinas). **Correta.** **(B)** G… |
| 38 | B | B | Q = [ADP][Pi]/[ATP] = (10⁻⁴ · 10⁻²)/10⁻³ = 10⁻³ ln(Q) = −3 · ln(10) = −3 · 2,303 = −6,909 RT = 1,987 · 298 ≈ 592,1 cal/mol RT ln(Q) ≈ 592,1 · (−6,909) ≈ −4,09×10³ cal/mol ΔG = ΔG° + RT ln(Q) = −7,7×10³ − 4,09×10³ ≈ −1,18×10⁴ cal/mol … |
| 39 | E | E | **Análise das afirmativas** **I. Falsa.** A teoria de Arrhenius define ácido como substância que, em água, libera H⁺, e base como a que libera OH⁻. O comportamento anfótero do HCO₃⁻ (doar próton em i, receber próton em ii) só é descrito … |
| 40 | C | C | **Análise do problema** Como os gases são ideais e a temperatura é constante, o número de mols de cada recipiente é proporcional ao produto $P\cdot V$: - Recipiente A: $P\cdot V = PV$ - Recipiente B: $2P\cdot 2V = 4PV$ - Recipiente C: $… |