Uma questão de cada vez.

Os números inteiros positivos foram escritos em sequência, como indicado na figura. Observe que na primeira linha foi escrito o número 1 e que nas seguintes há dois números a mais do que na linha anterior. Em qual linha foi escrito o número 2015?

Mônica desenha caminhos poligonais em tabuleiros formados por quadradinhos de 1 cm de lado. Cada caminho começa e termina na borda do tabuleiro, contém somente esses dois pontos da borda e nunca passa duas vezes por um mesmo ponto.

Considere a função f(x) = 10^{1+x} + 10^{1-x}, definida para todo número real x.

Gilmar brinca de cobrir tabuleiros com peças do tipo [figura F5]. Cada peça cobre perfeitamente três casas do tabuleiro, na vertical ou na horizontal. As casas dos tabuleiros estão pintadas e carimbadas com três cores e três marcas, intercaladamente, de modo que cada peça cobre sempre três cores diferentes e três marcas diferentes, como na figura.

Seja r a reta de equação cartesiana x + 2y = 4. Para cada número real t tal que 0 < t < 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x = t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.

O retângulo da figura possui área igual a 640\text{ cm}^2. Os pontos B e F são pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente. Qual é a área do triângulo BDF?

Resolva os três itens abaixo.

Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?

Nas figuras, ABC é um triângulo isósceles, retângulo em A. A altura do triângulo em relação à base BC mede 1 e a circunferência de centro O tem raio 1. A circunferência gira, sem deslizar, pela base do triângulo. Ao girar, o ponto de tangência T (da circunferência com a base BC) move-se ao longo do lado BC. A Figura 1 ilustra a situação em que T é o ponto médio de BC. A Figura 2 ilustra uma posição genérica do ponto T. Em ambas as figuras, P e Q são os pontos de interseção dos lados AB e AC, respectivamente, com a circunferência.

A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n,

Seja (a, b, c, d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q \neq 0 e a \neq 0.

Para a primeira fase de um torneio internacional de futebol foram classificadas 3 equipes espanholas, 2 francesas, 1 alemã, 1 portuguesa e 1 italiana. Nessa fase, serão realizadas quatro partidas, com os confrontos definidos por sorteio. Em seguida, duas semifinais serão realizadas com as quatro equipes vencedoras da primeira fase, também com os confrontos definidos por sorteio. As duas equipes vencedoras jogarão a partida final.

A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central \theta.

Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n \ge 1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #**# é uma palavra de comprimento 4.

Joãozinho tem um tabuleiro como o da figura, no qual há uma casa vazia, uma casa com uma peça preta e as demais casas com peças cinzentas. Em cada movimento, somente as peças que estão acima, abaixo, à direita ou à esquerda da casa vazia podem se movimentar, com uma delas ocupando a casa vazia. Qual é o número mínimo de movimentos necessários para Joãozinho levar a peça preta até a casa do canto superior esquerdo, indicada pelas setas?

Uma criança com uma bola nas mãos está sentada em um “gira-gira” que roda com velocidade angular constante e frequência f = 0{,}25\text{ Hz}.

A soma de dois números é 3 e a soma de seus cubos é 25. Qual é a soma de seus quadrados?

Número de Zonas Francas oficiais por país em 2008

Marcelo gasta 24 minutos para ir andando de casa até o ponto de ônibus, ou 12 minutos, se for correndo. Ele sai de casa andando, às 15 horas, para pegar um ônibus às 15h30min. No caminho, percebe que esqueceu a carteira e volta para casa correndo. Ele perde 3 minutos para encontrar a carteira e retorna correndo para o ponto de ônibus, chegando exatamente às 15h30min. A que horas Marcelo percebeu que estava sem a carteira?

As figuras acima ilustram a importância do sistema internacional de circulação. As longas distâncias a serem vencidas representam altos custos, calculados em função do tempo de deslocamento. Por isso foram construídos dois importantes canais de comunicação interoceânicos, hoje já centenários. São eles o Canal de Suez e o Canal do Panamá, que completou cem anos em agosto.