Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Para a primeira fase de um torneio internacional de futebol foram classificadas 3 equipes espanholas, 2 francesas, 1 alemã, 1 portuguesa e 1 italiana. Nessa fase, serão realizadas quatro partidas, com os confrontos definidos por sorteio. Em seguida, duas semifinais serão realizadas com as quatro equipes vencedoras da primeira fase, também com os confrontos definidos por sorteio. As duas equipes vencedoras jogarão a partida final.

Ilustração colorida de dois jogadores de futebol disputando a bola em um campo de gramado, com trave, goleiro e torcida ao fundo.

a) Qual é a probabilidade de que, na primeira fase, as duas equipes francesas se enfrentem?

b) Qual é a probabilidade de ocorrer, na primeira fase, um confronto entre duas equipes espanholas?

c) Admitindo que em cada confronto do torneio as equipes têm, todas, iguais probabilidades de ganhar, qual é a probabilidade de que a final seja realizada entre duas equipes de um mesmo país?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Para a primeira fase de um torneio internacional de futebol foram classificadas 3 equipes espanholas, 2 francesas, 1 alemã, 1 portuguesa e 1 italiana. Nessa fase, serão realizadas quatro partidas, com os confrontos definidos por sorteio. Em seguida, duas semifinais serão realizadas com as quatro equipes vencedoras da primeira fase, também com os confrontos definidos por sorteio. As duas equipes vencedoras jogarão a partida final.

Ilustração colorida de dois jogadores de futebol disputando a bola em um campo de gramado, com trave, goleiro e torcida ao fundo.

a) Qual é a probabilidade de que, na primeira fase, as duas equipes francesas se enfrentem?

b) Qual é a probabilidade de ocorrer, na primeira fase, um confronto entre duas equipes espanholas?

c) Admitindo que em cada confronto do torneio as equipes têm, todas, iguais probabilidades de ganhar, qual é a probabilidade de que a final seja realizada entre duas equipes de um mesmo país?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Fixada uma equipe, todas as demais 7 equipes têm a mesma probabilidade (igual a 1/7) de ser sua adversária na próxima fase. Logo, a probabilidade de que uma equipe francesa enfrente a outra na primeira fase é 1/7.

Outra solução: Um modo de definir os confrontos consiste em ordenar, por sorteio, as 8 equipes e determinar os quatro jogos: Equipe 1 x Equipe 2, Equipe 3 x Equipe 4, Equipe 5 x Equipe 6 e Equipe 7 x Equipe 8. Procedendo deste modo, há 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 sorteios possíveis para as equipes. Para produzir um caso favorável devemos:

Escolher a partida em que as equipes francesas vão se enfrentar (4 possibilidades);
Escolher a ordem dessas equipes no sorteio (2 possibilidades);
Definir a posição das demais equipes (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 possibilidades).

Logo, o número de casos favoráveis é 4 \times 2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 e a probabilidade de que duas equipes francesas se enfrentem na primeira fase é

\frac{4 \times 2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1}{7}

Outra solução: O número de emparelhamentos possíveis entre duas equipes é 8 \times 7/2 = 28 (seleciona-se a primeira equipe dentre 8, depois a segunda dentre 7 e divide-se o resultado do produto por 2 devido à simetria dentro de cada par, pois a ordem das equipes em uma partida não deve ser levada em conta na contagem). Desses 28 emparelhamentos, há um só entre equipes francesas, mas isto pode ocorrer em qualquer dos quatro jogos da primeira fase. Logo, a probabilidade de duas equipes francesas se enfrentarem é (1/28) \times 4 = 1/7.

b)

Há três confrontos possíveis entre equipes espanholas. A probabilidade de cada confronto na primeira fase é 1/7. Como esses confrontos são mutuamente excludentes (isto é, no máximo um dos confrontos pode ocorrer), a probabilidade de que duas equipes espanholas se enfrentem na primeira fase é 1/7 + 1/7 + 1/7 = 3/7.

Outra solução: Como na segunda solução do item a), há 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 sorteios possíveis. Para produzir um caso favorável devemos:

Escolher duas das três equipes espanholas para se enfrentarem (3 possibilidades);
Escolher a partida em que essas equipes vão se enfrentar (4 possibilidades);
Escolher a ordem dessas equipes no sorteio (2 possibilidades);
Definir a posição das demais equipes (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 possibilidades).

Logo, o número de casos favoráveis é 3 \times 4 \times 2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 e a probabilidade de que duas equipes espanholas se enfrentem na primeira fase é

\frac{3 \times 4 \times 2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3}{7}

Outra solução: O número de emparelhamentos entre as três equipes espanholas é igual a 3. Qualquer um desses emparelhamentos pode ocorrer em qualquer um dos quatro jogos da primeira fase e assim a probabilidade de duas equipes espanholas se enfrentarem nessa fase é (3/28) \times 4 = 3/7.

c)

Há 8 \times 7/2 = 28 possibilidades para o par de equipes que se enfrentarão na final. Como as chances de vitória são iguais em cada confronto, todos estes 28 possíveis encontros são equiprováveis. Deles, um é entre duas equipes francesas e três são entre equipes espanholas. Logo, a probabilidade de que a final seja entre equipes do mesmo país é 4/28 = 1/7.

probabilidade da Equipe B ser também espanhola é 2/7. Logo a probabilidade de uma final entre duas equipes espanholas é 3/8 \times 2/7 = 3/28. De forma análoga, a probabilidade de uma final francesa é 2/8 \times (1/7) = (1/28). Logo a probabilidade de uma final entre duas equipes de um mesmo país é (3/28) + (1/28) = (4/28) = (1/7).

Outra solução: Para que haja dois times franceses na final é necessário que eles estejam presentes na 2ª.fase, que não disputem jogos entre si e que vençam seus jogos da 2ª. fase. Para que estejam na 2ª fase é necessário que não disputem partidas entre si e que vençam seus jogos da 1ª. fase. A probabilidade de dois times franceses disputarem a final é, portanto,

(6/7).(1/2).(1/2).(2/3).(1/2).(1/2) = 1/28.

Analogamente, há três possibilidades da final ser realizada com dois times espanhóis e, como caso dos times franceses descrito acima, cada uma das duplas de times espanhóis tem probabilidade igual a 1/28 de disputar a final. Logo a probabilidade de dois times do mesmo país disputarem a final é 4 . (1/28) = 1/7.

Outra solução: Como vimos acima, a probabilidade dos dois times franceses disputarem a final é 1/28.Para calcular a probabilidade de uma dupla de times espanhóis disputar a final, vamos dividir em casos mutuamente excludentes:

Três times espanhóis disputam a 2ª. fase

2a) Dois times espanhóis disputam a 2ª. fase e não há dois times espanhóis que se enfrentam na 1ª. fase.

2b) Dois times espanhóis disputam a 2ª. fase e dois times espanhóis se enfrentam na 1ª. fase.

No caso 1), nenhum dos times espanhóis disputou com outro espanhol jogos da 1ª. fase, todos eles venceram seus jogos e, na segunda fase, o time espanhol que não disputou com outro time de seu país venceu o jogo. A probabilidade, neste caso, é (6/7)(4/6).(1/2).(1/2).(1/2).(1/2) = 1/28.

No caso 2a), (6/7)(4/6).(1/8+1/8+1/8).(2/3) .(1/4) = 1/28

No Caso 2b) (3/7).(1/2).(2/3) .(1/4) = 1/28

Logo a probabilidade de dois times do mesmo país disputarem a final é (1/28) + 3. (1/28) = 1/7.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Fixe uma das equipes francesas. Seu adversário é sorteado entre as outras 7 equipes, todas com a mesma chance, e só uma delas é a outra francesa.

P=\frac{1}{7}

Resposta: \dfrac{1}{7}

b) Como há só 3 espanholas, no máximo um confronto espanhol × espanhol pode acontecer. Por isso é mais fácil calcular a probabilidade de nenhum confronto assim e usar o complementar.

A espanhola E_1 enfrenta uma não espanhola: \dfrac{5}{7} (são 5 não espanholas entre 7 adversários).
Sobram 6 equipes: E_2, E_3 e 4 não espanholas. A espanhola E_2 não pode pegar E_3, então enfrenta uma das 4 não espanholas entre 5 adversários: \dfrac{4}{5}.
Aí E_3 só pode ficar com uma não espanhola, pois não sobra outra espanhola.

P(\text{nenhum})=\frac{5}{7}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{7}

P(\text{pelo menos um})=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}

Conferindo por contagem: existem 7\cdot5\cdot3\cdot1=105 maneiras de formar os 4 jogos. Com um confronto espanhol, há 3 escolhas para o par espanhol, 5 parceiros para a terceira espanhola e 3 maneiras de parear as 4 restantes, ou seja, 45 casos. Assim, \dfrac{45}{105}=\dfrac{3}{7}.

Resposta: \dfrac{3}{7}

c) Só Espanha e França têm duas ou mais equipes, então a final de um mesmo país é Espanha × Espanha ou França × França.

O sorteio e as chances de vitória não distinguem as equipes. Logo, todos os pares de finalistas têm a mesma probabilidade. Vamos calcular essa probabilidade para um par fixo A e B:

A e B não se enfrentam na 1ª fase: \dfrac{6}{7}.
Os dois vencem na 1ª fase: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.
Na semifinal, A não pega B: \dfrac{2}{3} (restam 3 adversários, 2 deles não são B).
Os dois vencem a semifinal: \dfrac{1}{4}.

P(A\text{ e }B\text{ na final})=\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{28}

Isso confere com o total de pares: \binom{8}{2}=28 pares equiprováveis.

Os pares do mesmo país são \binom{3}{2}=3 espanhóis e 1 francês, ou seja, 4 pares.

P=4\cdot\frac{1}{28}=\frac{1}{7}

Resposta: \dfrac{1}{7}

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗