Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?

Ilustração de cinco garotos vestindo camisetas verdes, sendo que dois deles usam medalhas no peito.

A
20
B
30
C
60
D
90
E
120

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?

Ilustração de cinco garotos vestindo camisetas verdes, sendo que dois deles usam medalhas no peito.

A
20
B
30
C
60
D
90
E
120

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Chamando cada participante pela primeira letra de seu nome, as possibilidades de escolha dos 2 premiados são: AB , AC , AD , AE , BC , BD , BE , CD , CE , DE, ou seja, há 10 possibilidades. As possibilidades de escolha das duas premiações são: Ouro Ouro, Ouro Prata, Ouro Bronze, Prata Ouro, Prata Prata, Prata Bronze, Bronze Ouro, Bronze Prata e Bronze Bronze, ou seja, há 9 possibilidades. Pelo Princípio Multiplicativo, as diferentes formas de premiação são 10 \times 9 = 90.

Outra solução Existem dois casos a considerar: ou os dois meninos premiados ganharam medalhas iguais, ou ganharam medalhas diferentes.

Se as medalhas são iguais, há 3 possibilidades para as medalhas, a saber, ou as duas são de ouro, ou as duas são de prata, ou as duas são de bronze. Além disso, dos 5 meninos, apenas 2 receberam medalhas, o que pode ocorrer de \frac{5\times 4}{2} maneiras diferentes (são 5 escolhas para o primeiro e são 4 escolhas para o segundo menino, mas precisamos dividir por 2, para eliminar as repetições, uma vez que para determinar a dupla de premiados, não importa a ordem de escolha dos meninos). Logo, pelo Princípio Multiplicativo, há 3 \times \frac{5\times 4}{2} = 3 \times 10 = 30 possibilidades para a premiação de dois desses meninos com medalhas iguais.

No segundo caso, se as medalhas recebidas pelos 2 meninos premiados são diferentes, há 3 possibilidades para os tipos de medalhas: ouro e prata; ouro e bronze; e prata e bronze. Em cada uma dessas possibilidades, a mais valiosa será recebida por 1 dos 5 meninos e a outra por um dentre os 4 meninos restantes. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, nesse caso, o número de formas diferentes de premiação é 3 \times 5 \times 4 = 60.

Portanto, pelo Princípio Aditivo, o número total de formas diferentes de ocorrer a premiação é 30 + 60 = 90.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Precisamos contar duas escolhas: quais dois dos cinco participantes foram premiados e qual medalha (ouro, prata ou bronze) cada um recebeu. Como há várias medalhas de cada tipo, os dois premiados podem receber o mesmo tipo de medalha.

Escolher os dois premiados entre os cinco: a ordem não importa, então usamos combinação:

\binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10

Escolher a medalha de cada um dos dois: cada um pode receber 3 tipos, de forma independente:

3\cdot 3=9

Pelo princípio multiplicativo, juntamos as duas etapas:

10\cdot 9=90

Conferindo por outro caminho: o primeiro premiado pode ser escolhido de 5 modos e o segundo de 4, dando 20 pares ordenados, que contam cada par duas vezes (o par A-B e o par B-A são o mesmo conjunto). Então 20/2=10 pares, e de novo 10\cdot 9=90.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que os dois premiados não podem receber o mesmo tipo de medalha, apesar de o enunciado dizer que há várias de cada.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta apenas os pares ordenados de premiados (5\cdot4) e ignora o tipo de medalha.
BMultiplica os 10 pares por 3, considerando um só tipo de medalha para os dois, em vez de 3\cdot3.
CTrata as medalhas como distintas e sem repetição (3\cdot2=6), esquecendo que há várias de cada tipo, e usa 10\cdot6.
EUsa 5\cdot4\cdot3\cdot2 ou outro arranjo sem sentido; não corresponde à contagem correta.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Combinações e binômio de Newton.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗