Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Gilmar brinca de cobrir tabuleiros com peças do tipo peça formada por três casas alinhadas . Cada peça cobre perfeitamente três casas do tabuleiro, na vertical ou na horizontal. As casas dos tabuleiros estão pintadas e carimbadas com três cores e três marcas, intercaladamente, de modo que cada peça cobre sempre três cores diferentes e três marcas diferentes, como na figura.

Tabuleiro 8 x 8 com casas em três cores e três marcas alternadas, destacando duas peças de três casas (uma vertical e uma horizontal) e retas diagonais tracejadas apontando para 'mesma cor' e 'mesma marca'

a) Na Figura 1 vemos uma maneira de cobrir um tabuleiro 4 x 4, deixando apenas uma casa descoberta. Desenhe na Figura 2 outra maneira de cobrir esse tabuleiro, deixando apenas uma casa descoberta.

Figura 1: tabuleiro 4 x 4 com quatro peças contornadas e uma casa descoberta

Figura 2: tabuleiro 4 x 4 para desenho

b) Explique por que, quando se cobre com 5 peças um tabuleiro 4 x 4, uma das casas do canto sempre fica descoberta.

c) Ao cobrir um tabuleiro 8 x 8 com 21 peças, uma casa ficará descoberta. Marque no tabuleiro as posições possíveis para essa casa, e justifique por que só existem essas posições que você marcou.

Tabuleiro 8 x 8 com casas coloridas e carimbadas para marcação

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Gilmar brinca de cobrir tabuleiros com peças do tipo peça formada por três casas alinhadas . Cada peça cobre perfeitamente três casas do tabuleiro, na vertical ou na horizontal. As casas dos tabuleiros estão pintadas e carimbadas com três cores e três marcas, intercaladamente, de modo que cada peça cobre sempre três cores diferentes e três marcas diferentes, como na figura.

Tabuleiro 8 x 8 com casas em três cores e três marcas alternadas, destacando duas peças de três casas (uma vertical e uma horizontal) e retas diagonais tracejadas apontando para 'mesma cor' e 'mesma marca'

a) Na Figura 1 vemos uma maneira de cobrir um tabuleiro 4 x 4, deixando apenas uma casa descoberta. Desenhe na Figura 2 outra maneira de cobrir esse tabuleiro, deixando apenas uma casa descoberta.

Figura 1: tabuleiro 4 x 4 com quatro peças contornadas e uma casa descoberta

Figura 2: tabuleiro 4 x 4 para desenho

b) Explique por que, quando se cobre com 5 peças um tabuleiro 4 x 4, uma das casas do canto sempre fica descoberta.

c) Ao cobrir um tabuleiro 8 x 8 com 21 peças, uma casa ficará descoberta. Marque no tabuleiro as posições possíveis para essa casa, e justifique por que só existem essas posições que você marcou.

Tabuleiro 8 x 8 com casas coloridas e carimbadas para marcação

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Abaixo estão algumas maneiras de se cobrir o tabuleiro, todas elas diferentes da que aparece na Figura 1.

[Figura: Três tabuleiros 4x4 cobertos com 5 peças de tamanho 3x1, cada um deixando um canto diferente descoberto]

b)

Primeiro, observemos que cinco peças cobrem exatamente 5 \times 3 = 15 casas do tabuleiro. Consequentemente, quando cobrimos o tabuleiro com cinco peças, sobrará uma casa descoberta. Por outro lado, observemos que o tabuleiro apresentado possui 5 casas brancas, 5 casas cinzas e 6 casas amarelas. Também vemos que ele possui 5 casas marcadas com a palavra OBMEP, 5 com o ano 2015 e, finalmente, 6 com o logotipo [Figura: Logotipo da OBMEP]. Como cada peça cobre sempre três cores e três marcas diferentes, concluímos que a única casa descoberta deve ser amarela e marcada com o logo [Figura: Logotipo da OBMEP]. Mas somente as casas dos cantos têm estas características (amarela e marcada com [Figura: Logotipo da OBMEP]). Portanto, a única casa descoberta sempre será uma casa localizada em um dos cantos.

Outra solução. Se forem colocadas quatro peças no tabuleiro cobrindo os quatro cantos então as quatro casas centrais do tabuleiro ficarão descobertas, e a quinta peça nunca irá cobrir essas casas, pois não há possibilidade de encaixe para essa peça. Logo, a única forma de se cobrir um tabuleiro 4x4 com 5 peças é deixar uma das casas do canto descoberta. Isso é sempre possível, como visto no item a).

menos uma casa ficará descoberta, uma vez que o tabuleiro 8 \times 8 tem 64 casas. Usando o mesmo raciocínio aplicado no item anterior, observemos que o tabuleiro apresentado possui 21 casas amarelas, 21 casas cinzas e 22 casas brancas. Por outro lado, possui 21 casas demarcadas com a palavra OBMEP, 21 casas com o ano 2015 e 22 com o logo [Figura: Logotipo da OBMEP]. Consequentemente, se a cobertura deixar apenas uma casa descoberta, esta deve ser branca e marcada com o logo [Figura: Logotipo da OBMEP]. Dentre todas as casas do tabuleiro, existem apenas 4 com essas características, destacadas em vermelho na figura abaixo à esquerda. Na figura abaixo, ao centro, exibimos uma possível cobertura com a correspondente casa descoberta. A partir dessa, “rodando” a cobertura sobre o tabuleiro, obtemos uma nova cobertura exibida na figura à direita, cuja casa descoberta é diferente da anterior. Seguindo esta ideia, podemos exibir 4 coberturas diferentes, cada uma correspondendo a uma das casas indicadas na figura à esquerda.

[Figura: Três tabuleiros 8x8: à esquerda, tabuleiro com 4 casas centrais destacadas em vermelho; ao centro e à direita, coberturas com peças 3x1 obtidas por rotação]

Outra solução. Pinte 28 casas do tabuleiro 8 \times 8, dispostas em duas faixas horizontais e duas faixas verticais, conforme a figura abaixo.

[Figura: Tabuleiro 8x8 com a 3ª e a 6ª linhas e a 3ª e a 6ª colunas pintadas de marrom]

Suponha, por absurdo, que exista uma cobertura do tabuleiro com 21 peças do tipo 3 \times 1 que cobrem as quatro casas situadas na interseção de duas faixas pintadas. Cada peça que cobre uma casa da interseção obrigatoriamente cobre 3 casas pintadas e não cobre duas casas da interseção de duas faixas. Portanto há 4 peças, cada uma cobrindo exatamente uma casa da interseção, logo, juntas cobrem ao todo 12 das casas pintadas. Pela disposição da pintura (das faixas estarem afastadas de 2 casas entre si), cada uma das 17 peças restantes cobre exatamente 1 casa pintada. Logo o número de casas pintadas no tabuleiro é maior do que ou igual a 12 + 17 = 29, absurdo, pois apenas há 28 delas. Portanto qualquer cobertura do tabuleiro com 21 peças deixa descoberta uma das casas de interseção de duas faixas. A existência de coberturas do tabuleiro com 21 peças deixando descoberta uma casa da interseção de duas faixas é exibida na solução anterior.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Numere linhas e colunas de cima para baixo e da esquerda para a direita, com casa (i,j). Pela figura, a cor depende de i+j (é a mesma ao longo das diagonais que sobem para a direita). A marca depende de j-i (é a mesma ao longo das diagonais que descem para a direita). Em cada caso, o que importa é o resto da divisão por 3.

a) Basta cobrir o tabuleiro com 5 peças deixando um canto livre. Uma maneira, deixando a casa (4,4) descoberta:

peça horizontal nas casas (1,1),(1,2),(1,3);
peça vertical nas casas (1,4),(2,4),(3,4);
três peças horizontais, uma em cada linha 2, 3 e 4, ocupando as colunas 1, 2 e 3.

As 5 peças cobrem 15 casas, e só sobra o canto (4,4). Qualquer peça reta de 3 casas cobre três cores e três marcas diferentes, então a regra do enunciado vale automaticamente. Girando o desenho, obtemos as demais posições do canto livre.

Resposta: a figura acima, com 5 peças e o canto inferior direito descoberto.

b) Cada peça cobre uma casa de cada cor e uma de cada marca. Logo, 5 peças cobrem exatamente 5 casas de cada cor e 5 de cada marca. Vamos contar as casas do tabuleiro 4\times4.

Para as cores, i+j vai de 2 a 8. Os restos 0, 1 e 2 na divisão por 3 aparecem em 5, 5 e 6 casas, respectivamente. Há então 6 casas de uma cor e 5 de cada uma das outras duas.

Para as marcas, j-i vai de -3 a 3. Também aparecem 5, 5 e 6 casas de cada marca.

A casa descoberta tem de ser da cor que aparece 6 vezes e da marca que aparece 6 vezes. Isso significa i+j\equiv 2 e j-i\equiv 0 \pmod 3. Somando as duas condições, 2j\equiv 2, ou seja, j\equiv1, e então i\equiv 1 \pmod 3. Com i,j\in\{1,2,3,4\}, isso dá i,j\in\{1,4\}, que são as quatro casas dos cantos.

Resposta: só as casas de canto (amarelas, com a marca do logo) aparecem 6 vezes; a casa descoberta tem de ser uma delas.

c) No tabuleiro 8\times 8, 21 peças cobrem 21 casas de cada cor e 21 de cada marca, e sobra 1 casa.

Contando as cores, i+j vai de 2 a 16. Os restos 2, 0 e 1 aparecem em 21, 22 e 21 casas. Ou seja, a casa livre é da cor com 22 casas, que é a branca (i+j\equiv0).

Contando as marcas, j-i vai de -7 a 7 e há 8-|j-i| casas em cada valor. Os restos 0, 1 e 2 aparecem em 22, 21 e 21 casas. Logo, a casa livre tem a marca com 22 casas, que é a do logo (j-i\equiv0).

As duas condições dão 2j\equiv0, então j\equiv0 e i\equiv0 \pmod 3. Com i,j\in\{1,\dots,8\}, isso dá i,j\in\{3,6\}. As posições possíveis são (3,3), (3,6), (6,3) e (6,6), as quatro casas brancas com a marca do logo.

Essas posições realmente ocorrem. Exemplo com (3,3) livre:

linhas 1 e 2, colunas 1 a 6: 4 peças horizontais;
colunas 7 e 8, linhas 1 a 3: 2 peças verticais;
linha 3, colunas 4 a 6: 1 peça horizontal;
colunas 1 e 2, linhas 3 a 5: 2 peças verticais;
linhas 4 e 5, colunas 3 a 8: 4 peças horizontais;
linhas 6 a 8: 8 peças verticais, uma por coluna.

São 21 peças. As outras três posições saem girando o tabuleiro.

Resposta: as casas (3,3), (3,6), (6,3) e (6,6), isto é, as quatro casas brancas com a marca do logo.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2ª fase 2015 · Questão 6 (Nível 2)c) Ao cobrir um tabuleiro 88 com 21 peças, uma casa ficará descoberta. Marque no tabuleiro as posições possíveis para essa casa, e justifique por que…

Ver como caiu na prova

Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗