Questão 5 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015
Seja (a, b, c, d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q \neq 0 e a \neq 0.
a) Mostre que x = -1/q é uma raiz do polinômio cúbico p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3.
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, \begin{pmatrix} a & c \\ d & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}. Determine para que valores da razão q esse sistema tem solução única.
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a) Como (a,b,c,d) é uma PG de razão q, temos b=aq, c=aq^2 e d=aq^3. Então:
Para x=-1/q (possível, pois q\neq 0), temos qx=-1. Logo:
Portanto x=-1/q é raiz de p(x). p(-1/q)=0
b) Um sistema linear 2\times 2 tem solução única quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, quaisquer que sejam e e f. Calculando o determinante:
Como a\neq0 e q\neq0, temos a^2q\neq 0. Assim, o determinante é nulo apenas se 1-q^4=0, isto é, q=1 ou q=-1 (em \mathbb{R}).
Portanto, o sistema tem solução única para q\neq 0, q\neq 1 e q\neq -1. q\in\mathbb{R}, com q\neq 0, q\neq 1 e q\neq -1
Assuntos: progressão geométrica, sistemas lineares, determinante.
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