Questão 4 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015
Seja r a reta de equação cartesiana x + 2y = 4. Para cada número real t tal que 0 < t < 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x = t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0 < t < 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) = k/x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.
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Resolução comentada
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a) O ponto P tem abscissa t e está na reta r, então sua ordenada vem de t + 2y = 4, ou seja, y = \frac{4-t}{2}.
O triângulo é retângulo em (t,0). A base mede t e a altura mede \frac{4-t}{2}, que é positiva para 0<t<4. Logo:
O gráfico é um arco de parábola com concavidade para baixo, porque o coeficiente de t^2 é -\frac14. As raízes são t=0 e t=4, e o vértice está em t=2, com A(2) = \frac{2\cdot 2}{4} = 1.
Para o esboço, desenhe o arco que parte de (0,0), sobe até o máximo (2,1) e desce até (4,0). Como 0<t<4, as extremidades (0,0) e (4,0) ficam "abertas" (bolinhas vazias).
A(t) = t − t²/4 (= t(4−t)/4), com gráfico em arco de parábola de máximo (2, 1) e extremos abertos em (0,0) e (4,0).
b) Os pontos comuns ao gráfico de g e à reta r satisfazem \frac{k}{x} = \frac{4-x}{2}, com x\neq 0.
Multiplicando por 2x:
Há um único ponto em comum quando essa equação do 2º grau tem uma só raiz, isto é, quando o discriminante é nulo:
Conferindo: a raiz é x=2, que é diferente de zero. O ponto comum é (2,1), e de fato g(2) = \frac{2}{2} = 1. Além disso, k=2 não é nulo, como o enunciado exige.
k = 2
Assuntos: área de triângulo, função quadrática, reta e hipérbole.
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