Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2015

3º dia · Matemática

Resolva os três itens abaixo.

a) Calcule \cos(3\pi/8) e \sen(3\pi/8).

b) Dado o número complexo z = \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i\sqrt{2 + \sqrt{2}}, encontre o menor inteiro n > 0 para o qual z^n seja real.

c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que possua z como raiz e que não possua raiz real.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Use a fórmula do arco metade com \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt2}{2}, já que 3\pi/8 está no 1º quadrante (seno e cosseno positivos).

\cos\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}
\sen\frac{3\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}

\cos(3\pi/8)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2} e \sen(3\pi/8)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}

b) O módulo de z é |z|^2=(2-\sqrt2)+(2+\sqrt2)=4, logo |z|=2. Pelo item (a),

z=2\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\right)=2\left(\cos\frac{3\pi}{8}+i\,\sen\frac{3\pi}{8}\right).

Pela fórmula de De Moivre, z^n=2^n\left(\cos\frac{3n\pi}{8}+i\,\sen\frac{3n\pi}{8}\right).

Para z^n ser real, é preciso \sen\frac{3n\pi}{8}=0, ou seja, \frac{3n}{8} inteiro. Como \text{mdc}(3,8)=1, n deve ser múltiplo de 8. O menor positivo é n=8, e então z^8=2^8\cos 3\pi=-256.

n=8

c) Do item (b), z^8=-256, isto é, z é raiz de P(x)=x^8+256.

Esse polinômio tem coeficientes inteiros. Para todo x real, x^8\ge 0, então x^8+256\ge 256>0 e P não tem raiz real.

P(x)=x^8+256

Assuntos: números complexos, forma trigonométrica e De Moivre, arco metade.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão M04 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2015