Questão 3 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

3º dia · Matemática

Considere a função f(x) = 10^{1+x} + 10^{1-x}, definida para todo número real x.

a) Mostre que f(\log_{10}(2 + \sqrt{3})) é um número inteiro.

b) Sabendo que \log_{10} 2 \approx 0.3, encontre os valores de x para os quais f(x) = 52.

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a) Seja x=\log_{10}(2+\sqrt{3}). Então 10^{x}=2+\sqrt{3} e, como 10^{-x}=\dfrac{1}{10^x}, temos:

10^{-x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}.

Como f(x)=10\cdot 10^{x}+10\cdot 10^{-x}, fica:

f(x)=10(2+\sqrt{3})+10(2-\sqrt{3})=20+20=40.

Os termos com \sqrt{3} se cancelam e sobra um inteiro. f(\log_{10}(2+\sqrt{3}))=40, que é inteiro.

b) Escreva f(x)=10\cdot 10^{x}+10\cdot 10^{-x} e faça t=10^{x}>0. A equação f(x)=52 vira:

10\left(t+\frac{1}{t}\right)=52 \;\Rightarrow\; 5t^2-26t+5=0.

O discriminante é \Delta=676-100=576, com \sqrt{\Delta}=24. Logo:

t=\frac{26\pm 24}{10}\;\Rightarrow\; t=5 \ \text{ou}\ t=\frac{1}{5}.

As duas raízes são positivas, então ambas servem.

  • Se 10^x=5: x=\log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}=1-\log_{10}2\approx 1-0{,}3=0{,}7.
  • Se 10^x=\frac15: x=-\log_{10}5\approx -0{,}7.

x\approx 0{,}7 ou x\approx -0{,}7 (exatamente, x=\pm\log_{10}5).

Assuntos: funções exponenciais, logaritmos, equação do segundo grau.

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