Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Joãozinho tem um tabuleiro como o da figura, no qual há uma casa vazia, uma casa com uma peça preta e as demais casas com peças cinzentas. Em cada movimento, somente as peças que estão acima, abaixo, à direita ou à esquerda da casa vazia podem se movimentar, com uma delas ocupando a casa vazia. Qual é o número mínimo de movimentos necessários para Joãozinho levar a peça preta até a casa do canto superior esquerdo, indicada pelas setas?

Tabuleiro de 8 por 8 casas contendo peças circulares cinzentas, uma peça preta na penúltima casa da última linha e a última casa inferior direita vazia. Duas setas apontam para a casa no canto superior esquerdo.

A
13
B
21
C
24
D
36
E
39

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Joãozinho tem um tabuleiro como o da figura, no qual há uma casa vazia, uma casa com uma peça preta e as demais casas com peças cinzentas. Em cada movimento, somente as peças que estão acima, abaixo, à direita ou à esquerda da casa vazia podem se movimentar, com uma delas ocupando a casa vazia. Qual é o número mínimo de movimentos necessários para Joãozinho levar a peça preta até a casa do canto superior esquerdo, indicada pelas setas?

Tabuleiro de 8 por 8 casas contendo peças circulares cinzentas, uma peça preta na penúltima casa da última linha e a última casa inferior direita vazia. Duas setas apontam para a casa no canto superior esquerdo.

A
13
B
21
C
24
D
36
E
39

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Joãozinho precisa levar a peça preta até o canto superior esquerdo do tabuleiro, indicado pelas setas. Para fazer isso, a peça preta precisa andar para cima e para a esquerda, sem nunca voltar com ela para a direita ou para baixo. Inicialmente, Joãozinho deve andar com a pedra preta para cima, fazendo três movimentos, indicados na figura abaixo:

[Figura: sequência de quatro tabuleiros mostrando a movimentação das peças para deslocar a pedra preta uma casa para cima em três movimentos]

Ele deve andar com a pedra preta para cima, pois a outra possibilidade (andar com a pedra preta para a esquerda) requereria cinco movimentos, veja:

[Figura: sequência de seis tabuleiros mostrando a movimentação das peças para deslocar a pedra preta uma casa para a esquerda em cinco movimentos]

Como ele quer realizar o menor número possível de movimentos, ele opta em movimentar a pedra preta para cima, realizando três movimentos.

Após fazer isto, ele deve andar com a pedra preta para a esquerda, fazendo novos três movimentos.

[Figura: sequência de quatro tabuleiros mostrando a movimentação das peças para deslocar a pedra preta uma casa para a esquerda em três movimentos]

Se ele optasse por andar com a pedra preta para cima faria cinco movimentos, veja:

[Figura: sequência de seis tabuleiros mostrando a movimentação das peças para deslocar a pedra preta uma casa para cima em cinco movimentos]

Deste modo, sempre optando em realizar o menor número de movimentos, ele escolhe mover a pedra preta para a esquerda, com outros três movimentos.

Assim, para levar a pedra preta até o canto superior esquerdo do tabuleiro, com o menor número de movimentos possível, Joãozinho deve andar com a pedra preta sete casas para cima e seis casas para a direita, alternando esses movimentos e começando para cima, gastando sempre três movimentos cada vez que a pedra preta andar uma casa. Logo, o número mínimo de movimentos necessários é 3 \times 7 + 3 \times 6 = 21 + 18 = 39.

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Resolução comentada

A peça preta precisa subir 7 casas e andar 6 casas para a esquerda. Portanto, ela deve fazer, no mínimo,

7+6=13\text{ movimentos}.

Mas também precisamos contar os movimentos das peças cinzentas para posicionar a casa vazia.

Depois de um movimento da peça preta, a casa vazia fica na posição que ela acabou de deixar. Para permitir outro movimento da preta, sem simplesmente desfazer o anterior, são necessários pelo menos dois movimentos de peças cinzentas: a casa vazia precisa contornar a preta.

Inicialmente, também são necessários dois movimentos de cinzentas para colocar o vazio acima da preta. Assim, o total é, no mínimo,

2+13+2\cdot12=39.

Começar levando a preta para a direita não melhora esse resultado: ela precisaria de pelo menos 15 movimentos, além de dois movimentos de cinzentas entre movimentos consecutivos, totalizando pelo menos 15+2\cdot14=43.

Para conseguir exatamente 39, primeiro leve o vazio uma casa para cima e uma para a esquerda. Depois, mova a preta alternadamente para cima e para a esquerda, começando e terminando para cima. São sete subidas e seis deslocamentos à esquerda. Entre eles, bastam dois movimentos de cinzentas para reposicionar o vazio.

Logo, o mínimo é 39 movimentos.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A conta somente o caminho da peça preta, esquecendo que mover as peças cinzentas também conta.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta apenas os 13 movimentos da peça preta, ignorando os das peças cinzentas.
BNão inclui movimentos suficientes para reposicionar a casa vazia entre os deslocamentos da preta.
CFica abaixo do mínimo necessário para mover a preta e reposicionar a casa vazia.
DOs 36 movimentos não cobrem os 13 deslocamentos da preta e os 26 movimentos mínimos das cinzentas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗