Questão 6 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

Question

A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central \theta.

Setor circular de ângulo central theta com círculo inscrito de raio r, tangenciando os dois raios R e o arco circular, com a região externa ao círculo sombreada em cinza.

a) Para \theta = 60^\circ, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de \cos \theta no caso em que R = 4r.

Answer 1

Questão 6 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

3º dia · Matemática

A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central \theta.

Setor circular de ângulo central theta com círculo inscrito de raio r, tangenciando os dois raios R e o arco circular, com a região externa ao círculo sombreada em cinza.

a) Para \theta = 60^\circ, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de \cos \theta no caso em que R = 4r.

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a)
A área do círculo é dada por A_C = e r^2 e a do setor circular, considerando que \theta = 60^\circ = \pi/3 radianos, é dada por A_S = \frac{1}{2}\theta R^2 = \frac{\pi}{6} R^2. A partir da figura abaixo, temos que \sin\frac{\theta}{2} = \frac{r}{R-r}, ou seja, \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{r}{R-r} e, portanto, R = 3r. Logo, a razão entre as áreas é igual a \frac{A_C}{A_S} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi}{6}R^2} = \frac{6r^2}{R^2} = \frac{6r^2}{9r^2} = \frac{2}{3}.

[Figura: Esquema geométrico com um setor circular em linhas pontilhadas de raio R e um círculo inscrito de raio r; há um triângulo retângulo destacado em linha contínua com ângulo \theta/2 no vértice do setor, cateto oposto de comprimento r perpendicular ao raio base, e hipotenusa dividida em dois segmentos de comprimentos R - r e r.]

b)
Novamente, a partir da figura acima, temos que \sin\frac{\theta}{2} = \frac{r}{R-r} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}.

Logo, \cos\theta = \cos(2\frac{\theta}{2}) = \left(\cos\frac{\theta}{2}\right)^2 - \left(\sin\frac{\theta}{2}\right)^2 = 1 - 2\left(\sin\frac{\theta}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}.

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Resolução comentada

Seja O o vértice do setor e C o centro do círculo. Por simetria, C está na bisetriz do ângulo \theta.

Como o círculo tangencia o arco internamente, OC = R - r. Como ele tangencia cada lado do setor, a distância de C a cada lado é r. No triângulo retângulo formado por O, C e o ponto de tangência em um dos lados, o ângulo em O vale \theta/2 e o cateto oposto a ele é r. Então:

r = (R - r)\,\sen\frac{\theta}{2}

a)

Com \theta = 60^\circ, temos \sen 30^\circ = \frac12. Substituindo na relação:

r = \frac{R - r}{2} \Rightarrow 3r = R

A área do círculo é \pi r^2. A área do setor, com \theta = \frac{\pi}{3} rad, é:

\frac{1}{2}R^2\theta = \frac12 \cdot 9r^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi r^2}{2}

A razão pedida é:

\frac{\pi r^2}{\frac{3\pi r^2}{2}} = \frac{2}{3}

A razão entre as áreas é \frac{2}{3}.

b)

Com R = 4r, a relação fica r = 3r\,\sen\frac{\theta}{2}, logo \sen\frac{\theta}{2} = \frac13.

Usando \cos\theta = 1 - 2\sen^2\frac{\theta}{2}:

\cos\theta = 1 - 2\cdot\frac19 = \frac79

\cos\theta = \frac{7}{9}

Assuntos: geometria plana, área de setor circular, trigonometria.

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