Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Os números inteiros positivos foram escritos em sequência, como indicado na figura. Observe que na primeira linha foi escrito o número 1 e que nas seguintes há dois números a mais do que na linha anterior. Em qual linha foi escrito o número 2015?

Esquema mostrando as linhas de números: a linha 1 contém o número 1; a linha 2 contém os números 2, 3, 4; a linha 3 contém de 5 a 9; a linha 4 contém de 10 a 16; e a linha 5 contém de 17 a 25, com reticências verticais abaixo indicando a continuação.

A
43
B
44
C
45
D
46
E
47

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Os números inteiros positivos foram escritos em sequência, como indicado na figura. Observe que na primeira linha foi escrito o número 1 e que nas seguintes há dois números a mais do que na linha anterior. Em qual linha foi escrito o número 2015?

Esquema mostrando as linhas de números: a linha 1 contém o número 1; a linha 2 contém os números 2, 3, 4; a linha 3 contém de 5 a 9; a linha 4 contém de 10 a 16; e a linha 5 contém de 17 a 25, com reticências verticais abaixo indicando a continuação.

A
43
B
44
C
45
D
46
E
47

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observe que o último número da linha 1 é 1, da linha 2 é 4 = 2^2, da linha 3 é 9 = 3^2 e assim por diante. Os números que finalizam uma linha são sempre quadrados perfeitos. Assim, como os quadrados mais próximos de 2015 são 44^2 = 1936 e 45^2 = 2025, o número 2015 foi escrito na linha 45.

Observação: A afirmação “A linha n contém 2n - 1 termos e termina com o número n^2 ” pode ser facilmente provada usando-se o Princípio de Indução Finita, pois ela é obviamente verdadeira para n=1 e, supondo-a verdadeira para a linha n, a linha n+1 terá 2n-1+2 = 2(n+1) - 1 termos, já que ela contém 2 termos a mais do que a anterior; além disso, o último termo da linha n+1 é n^2 + (2n-1) + 2 = (n+1)^2.

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Resolução comentada

Cada linha tem 2 números a mais que a anterior: a linha n tem 2n-1 números (1, 3, 5, 7, 9, ...).

A soma dos n primeiros ímpares é n^2. Logo, até o fim da linha n foram escritos n^2 números, e o último número da linha n é n^2. Isso confere com a figura: a linha 3 termina em 9, a linha 4 em 16 e a linha 5 em 25.

A linha n contém, portanto, os números de (n-1)^2+1 até n^2.

Precisamos achar n tal que:

(n-1)^2 < 2015 \le n^2

44^2 = 1936, que é menor que 2015.
45^2 = 2025, que é maior que 2015.

Assim, a linha 44 termina em 1936 e a linha 45 vai de 1937 até 2025. O número 2015 está entre esses valores, então está na linha 45.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base na contagem; não corresponde a nenhum quadrado perto de 2015.
BÉ a linha cujo último número é 44^2=1936, menor que 2015; erra ao tomar a raiz aproximada por baixo.
DA linha 46 começa em 45^2+1=2026, já maior que 2015.
EA linha 47 começa em 46^2+1=2117, muito acima de 2015.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗