Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Sejam a e b os números, com a+b=3 e a^3+b^3=25. Queremos a^2+b^2.

O conceito útil é a fatoração da soma de cubos: a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b). Ela liga a soma dos cubos à soma e ao produto dos números.

1. Substituindo os valores: 25=3^3-3ab\cdot 3.
2. Então 25=27-9ab, ou seja, 9ab=2 e ab=\dfrac{2}{9}.
3. Para a soma dos quadrados, usamos (a+b)^2=a^2+b^2+2ab, logo a^2+b^2=(a+b)^2-2ab.
4. Substituindo: a^2+b^2=9-2\cdot\dfrac{2}{9}=9-\dfrac{4}{9}=\dfrac{81-4}{9}=\dfrac{77}{9}.

Conferência: o produto \frac{2}{9} é positivo e pequeno, e a soma 3 é grande, então os números são reais (discriminante 9-\frac{8}{9}>0) e a soma dos quadrados fica um pouco abaixo de 9, o que bate com \frac{77}{9}\approx 8{,}56.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece o termo 2ab e toma (a+b)^2=9 como soma dos quadrados.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem relação com as identidades; não sai de (a+b)^2-2ab com ab=2/9.
• CResultado arbitrário; exigiria ab=1, o que não satisfaz a soma dos cubos.
• DEsquece de subtrair 2ab, tomando a^2+b^2=(a+b)^2.
• EConfunde com o produto ab=2/9 (com numerador trocado), não com a soma dos quadrados.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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