Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2015
A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n,
a) Esboce o gráfico de f para 0 \le x \le 6.
b) Encontre os valores de x, 0 \le x \le 6, tais que f(x) = \frac{1}{5}.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Para cada n ímpar, f é definida no intervalo [n-1,\,n+1] por dois pedaços de reta. Em [0,6] os valores relevantes são n=1,3,5.
- n=1: em [0,1], f(x)=x (de 0 a 1). Em [1,2], f(x)=2-x (de 1 a 0).
- n=3: em [2,3], f(x)=x-2 (de 0 a 1). Em [3,4], f(x)=4-x (de 1 a 0).
- n=5: em [4,5], f(x)=x-4 (de 0 a 1). Em [5,6], f(x)=6-x (de 1 a 0).
Nos pontos comuns x=2 e x=4 os dois lados dão 0, então a função é contínua.
O gráfico é uma "serra" de três triângulos de altura 1 e base 2. Ele passa por (0,0), (1,1), (2,0), (3,1), (4,0), (5,1) e (6,0), ligados por segmentos de reta. Os máximos f=1 ocorrem em x=1,3,5 e os zeros em x=0,2,4,6.
Gráfico: zigue-zague ligando os pontos (0,0),(1,1),(2,0),(3,1),(4,0),(5,1),(6,0).
b) Cada triângulo tem uma subida e uma descida, e o valor \frac15 está entre 0 e 1. Logo, a reta y=\frac15 corta cada triângulo em dois pontos, num total de 6 soluções.
Na subida de cada triângulo, f(x)=x-(n-1)=\frac15, ou seja, x=n-1+\frac15. Na descida, f(x)=n+1-x=\frac15, ou seja, x=n+1-\frac15.
- n=1: x=\frac15 e x=2-\frac15=\frac95.
- n=3: x=2+\frac15=\frac{11}{5} e x=4-\frac15=\frac{19}{5}.
- n=5: x=4+\frac15=\frac{21}{5} e x=6-\frac15=\frac{29}{5}.
x\in\left\{\frac15,\ \frac95,\ \frac{11}5,\ \frac{19}5,\ \frac{21}5,\ \frac{29}5\right\}
Assuntos: funções definidas por partes, gráfico de funções, função afim.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
