Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

O retângulo da figura possui área igual a 640\text{ cm}^2. Os pontos B e F são pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente. Qual é a área do triângulo BDF?

Retângulo ACDE com vértices A no canto superior esquerdo, C no superior direito, D no inferior direito e E no inferior esquerdo. O ponto B é ponto médio do segmento AC e o ponto F é ponto médio de AE. O triângulo formado pelos pontos B, D e F está destacado em cinza.

A
100\text{ cm}^2
B
120\text{ cm}^2
C
160\text{ cm}^2
D
220\text{ cm}^2
E
240\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O retângulo da figura possui área igual a 640\text{ cm}^2. Os pontos B e F são pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente. Qual é a área do triângulo BDF?

Retângulo ACDE com vértices A no canto superior esquerdo, C no superior direito, D no inferior direito e E no inferior esquerdo. O ponto B é ponto médio do segmento AC e o ponto F é ponto médio de AE. O triângulo formado pelos pontos B, D e F está destacado em cinza.

A
100\text{ cm}^2
B
120\text{ cm}^2
C
160\text{ cm}^2
D
220\text{ cm}^2
E
240\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sendo B e F os pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente, podemos dividir o retângulo ACDE usando segmentos paralelos aos seus lados com extremos nesses pontos médios para observar que:

a área do triângulo ABF é 1/8 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 80\text{ cm}^2;
a área do triângulo EDF é 1/4 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 160\text{ cm}^2;
a área do triângulo BCD é 1/4 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 160\text{ cm}^2.

A soma dessas áreas é igual a 1/8 + 1/4 + 1/4 = 5/8 da área do retângulo, ou ainda, 400\text{ cm}^2. Portanto, a área do triângulo BDF é igual a 3/8 da área do retângulo ACDE, ou seja, é 240\text{ cm}^2.

[Figura: Retângulo ACDE com vértices A no canto superior esquerdo, C no canto superior direito, D no canto inferior direito e E no canto inferior esquerdo. Os pontos médios dos lados AC e AE são identificados por B e F, respectivamente. O retângulo é dividido por dois segmentos perpendiculares que passam por esses pontos médios e ligam os lados opostos. No interior, o triângulo BDF está destacado com preenchimento cinza.]

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Resolução comentada

Chame de b a base AC e de h a altura AE do retângulo. Então b\cdot h = 640.

A ideia é subtrair da área do retângulo os três triângulos retângulos que ficam fora de BDF. Cada um tem área \frac{\text{cateto}\cdot\text{cateto}}{2}.

Triângulo ABF: catetos AB=\frac{b}{2} e AF=\frac{h}{2}, logo a área é \frac{1}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{h}{2}=\frac{bh}{8}=\frac{640}{8}=80.
Triângulo BCD: catetos BC=\frac{b}{2} e CD=h, logo a área é \frac{1}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot h=\frac{bh}{4}=160.
Triângulo FED: catetos FE=\frac{h}{2} e ED=b, logo a área é \frac{1}{2}\cdot\frac{h}{2}\cdot b=\frac{bh}{4}=160.

A soma das três áreas é 80+160+160=400.

Portanto, a área de BDF é:

640-400=240\ \text{cm}^2

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as partes do retângulo; não decorre da subtração dos três triângulos.
BCorresponde a \frac{3}{16} da área, resultado sem sustentação na decomposição da figura.
CÉ a área de apenas um dos triângulos externos (BCD ou FED), não a do triângulo BDF.
DErro de conta ao subtrair, por exemplo esquecendo parte dos 80 do triângulo ABF.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗