Uma questão de cada vez.

Um torrefador comprou uma saca de 60 kg de café especial cru (antes de torrar) por R$ 400,00. Devido à perda de umidade durante o processo de torrefação, são perdidos 10 kg de café por saca.

Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura.

Na intenção de ampliar suas fatias de mercado, as operadoras de telefonia apresentam diferentes planos e promoções. Uma operadora oferece três diferentes planos baseados na quantidade de minutos utilizados mensalmente, apresentados no gráfico. Um casal foi à loja dessa operadora para comprar dois celulares, um para a esposa e outro para o marido. Ela utiliza o telefone, em média, 30 minutos por mês, enquanto ele, em média, utiliza 90 minutos por mês.

Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30^\circ com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede \frac{6}{\pi}\text{ cm}, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

No quadro estão representadas as quantidades de certos tipos de vinho vendidos durante um ano e o lucro por unidade vendida de cada um desses tipos. Para repor seu estoque, o proprietário escolherá apenas os tipos de vinho em que o lucro total com sua venda foi maior do que a média entre os lucros obtidos com a venda de todos os tipos.

Um número inteiro positivo é chamado de interessante quando termina com um algarismo que é igual ao produto de seus demais algarismos. Por exemplo, 326 e 1020 são interessantes, pois 3 \times 2 = 6 e 1 \times 0 \times 2 = 0.

Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade \frac{1}{2} de vencer.

Dados genéticos podem ser utilizados para estudar populações de uma espécie no ambiente natural. Por exemplo, amostras de DNA podem ser coletadas para identificar espécies, estimar tamanhos populacionais ou identificar indivíduos. Um pesquisador coletou duas amostras de fezes em uma localidade na Índia e sequenciou parte do gene Gapdh dos DNAs extraídos a partir delas. Como resultado, foram obtidas as sequências abaixo (apenas uma das fitas do DNA é mostrada).

Na tabela abaixo, a soma dos números da primeira linha é igual à soma dos números da segunda linha. Qual é o valor de x?

A figura A abaixo mostra o claro dimorfismo sexual que ocorre na espécie de besouro neotropical Dynastes hercules (besouro-hércules), um dos maiores besouros do mundo. Nos machos, protuberâncias cefálicas e torácicas formam estruturas semelhantes aos chifres de alguns mamíferos. Um estudo mostrou que, nessa espécie, há três tipos de machos geneticamente distintos, P, M e G, que diferem apenas quanto ao tamanho médio dos "chifres" (figura B). Os dados na figura C indicam a capacidade de machos dos três tipos de copular com fêmeas. Testes genéticos mostraram ainda que 85% dos filhotes em cada geração têm machos do tipo G como pais.

Na igualdade abaixo, a, b e c são números inteiros positivos. Qual é o valor de c?

Considere as funções f: \big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big] \to [-1,1] e g: [0,\pi] \to [-1,1] definidas por f(x) = sen\ x e g(x) = cos\ x. Sendo f e g bijetoras, existem funções f^{-1} e g^{-1} tais que f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = id e g^{-1} \circ g = g \circ g^{-1} = id, em que id é a função identidade.

Números naturais devem ser escritos dentro de cada círculo vazio da figura, de modo que a soma dos números escritos em três círculos alinhados e consecutivos seja sempre a mesma.

As questões a seguir tratam de alimentação e saúde humana.

Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P \notin C. Diz-se que “P enxerga C sob um ângulo \alpha" se \alpha for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo \alpha indicado.

Sérgio inventou as operações matemáticas # e @ entre números inteiros, como abaixo:

Os produtos A, B e C foram avaliados pelos consumidores em relação a oito itens. Em cada item os produtos receberam notas de 1 a 6, conforme a figura. De acordo com essas notas, qual é a alternativa correta?

Considere a sequência a_1 = 6, a_2 = 4, a_3 = 1, a_4 = 2, e a_n = a_{n-4}, para n \ge 5. Defina S_n^k = a_n + a_{n+1} + \cdots + a_{n+k} para k \ge 0, isto é, S_n^k é a soma de k + 1 termos consecutivos da sequência começando do n-ésimo, por exemplo, S_2^1 = 4 + 1 = 5.

O triângulo retângulo ABC tem catetos de medidas AB = 10 e AC = 10. O ponto P sobre o lado AB está a uma distância x de A. O ponto Q sobre o lado AC é tal que PQ é paralelo a BC. Os pontos R e S sobre BC são tais que QR é paralelo a AB e PS é paralelo a AC. A união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ determina uma região cinza de área f(x) no interior do triângulo ABC.

Alice colocou um litro (1000\text{ cm}^3) de água em uma jarra e mediu o nível da água. Depois ela colocou um objeto maciço de prata na jarra e mediu novamente o nível da água, conforme a figura. A massa de um centímetro cúbico de prata é 10{,}5 gramas. Qual é a massa desse objeto?