Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2018
Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade \frac{1}{2} de vencer.
a) Explique por que 2 times não podem empatar na classificação com 4 vitórias cada um.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classificado termine a competição com 4 vitórias?
c) Qual é a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificação?
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Resolução comentada
a) Cada par de times se enfrenta uma única vez. Se dois times terminassem com 4 vitórias, cada um teria vencido todos os seus 4 jogos, inclusive o jogo contra o outro. Isso é impossível, porque nesse jogo só um dos dois vence. Logo, dois times não podem empatar com 4 vitórias.
Dois times não podem ter 4 vitórias cada um, pois o jogo entre eles teria dois vencedores.
b) Cada time joga 4 partidas. Pelo item (a), no máximo um time faz 4 vitórias, então os eventos "o time X vence os 4 jogos" são mutuamente exclusivos.
- Para um time específico vencer os 4 jogos: \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}.
- Como são 5 times e os eventos não se sobrepõem, somamos: 5\cdot\frac{1}{16}=\frac{5}{16}.
O primeiro classificado tem 4 vitórias exatamente quando algum time vence os 4 jogos.
\dfrac{5}{16}
c) São \binom{5}{2}=10 jogos, ou seja, 10 vitórias no total. Para os 5 times empatarem, cada um precisa ter 10\div5=2 vitórias.
O número de resultados possíveis é 2^{10}=1024, todos igualmente prováveis. Vamos contar os casos favoráveis, chamando os times de A,B,C,D,E.
- O time A escolhe quais 2 dos 4 adversários vence: \binom{4}{2}=6 maneiras. Suponha que A vença B e C e perca para D e E.
- Restam os jogos entre B,C,D,E. B e C precisam de 2 vitórias entre esses jogos (já perderam para A). D e E precisam de 1 vitória (já venceram A).
- Se B vence C: C precisa vencer D e E. B precisa de mais 1 vitória, contra D ou E. Se B vence D, então E vence B, e D precisa vencer E. Isso fecha 2 vitórias para cada time. O caso em que B vence E é análogo. São 2 possibilidades.
- Se C vence B: por simetria, 2 possibilidades.
- Então há 4 configurações para cada escolha de A, num total de 6\cdot4=24 casos favoráveis.
A probabilidade é:
\dfrac{3}{128}
Assuntos: probabilidade, análise combinatória.
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