Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2018
Considere a sequência a_1 = 6, a_2 = 4, a_3 = 1, a_4 = 2, e a_n = a_{n-4}, para n \ge 5. Defina S_n^k = a_n + a_{n+1} + \cdots + a_{n+k} para k \ge 0, isto é, S_n^k é a soma de k + 1 termos consecutivos da sequência começando do n-ésimo, por exemplo, S_2^1 = 4 + 1 = 5.
a) Encontre n e k tal que S_n^k = 20.
b) Para cada inteiro j, 1 \le j \le 12, encontre n e k tal que S_n^k = j.
c) Mostre que, para qualquer inteiro j, j \ge 1, existem inteiros n \ge 1 e k \ge 0 tais que S_n^k = j.
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Resolução comentada
a) A sequência é periódica: 6, 4, 1, 2, 6, 4, 1, 2, \dots Quaisquer 4 termos consecutivos formam um período completo e somam 6+4+1+2=13.
Para chegar a 20, começamos pelo termo a_2:
São 7 termos, logo k+1=7.
Uma resposta é n=2 e k=6. n=2,\ k=6
b) Basta procurar, nos termos 6,4,1,2,6,4,1,\dots, somas de termos consecutivos que deem cada valor de 1 a 12:
| j | soma | n | k |
|---|---|---|---|
| 1 | a_3=1 | 3 | 0 |
| 2 | a_4=2 | 4 | 0 |
| 3 | 1+2 | 3 | 1 |
| 4 | a_2=4 | 2 | 0 |
| 5 | 4+1 | 2 | 1 |
| 6 | a_1=6 | 1 | 0 |
| 7 | 4+1+2 | 2 | 2 |
| 8 | 2+6 | 4 | 1 |
| 9 | 1+2+6 | 3 | 2 |
| 10 | 6+4 | 1 | 1 |
| 11 | 6+4+1 | 1 | 2 |
| 12 | 2+6+4 | 4 | 2 |
Os pares (n,k) estão na tabela acima.
c) Dado j\ge1, dividimos por 13: j=13q+r, com q\ge0 e 0\le r\le 12.
- Se r=0, então q\ge1. Tomamos n=1 e k=4q-1, ou seja, q períodos completos. A soma é 13q=j.
- Se 1\le r\le12, a tabela do item (b) dá n_0\in\{1,2,3,4\} e k_0 com S_{n_0}^{k_0}=r. Tomamos n=n_0 e k=k_0+4q, isto é, acrescentamos 4q termos seguintes. Esses 4q termos formam q blocos de 4 termos consecutivos, e cada bloco soma 13, pela periodicidade. Logo S_n^k=r+13q=j.
Portanto todo inteiro j\ge1 pode ser escrito como S_n^k com n\ge1 e k\ge0. Demonstrado.
Assuntos: sequências periódicas, soma de termos consecutivos, divisão euclidiana.
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