Questão 180 do ENEM 2018

Question

Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30^\circ com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede \frac{6}{\pi}\text{ cm}, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

Esquema mostrando o cilindro circular reto com a faixa retangular desenrolada, cuja diagonal forma um ângulo de 30° com a borda inferior, e ao lado o cilindro totalmente envolvido pela faixa transparente, formando uma linha helicoidal com seis voltas completas.

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

A
36\sqrt{3}
B
24\sqrt{3}
C
4\sqrt{3}
D
36
E
72

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 180 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H12 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30^\circ com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede \frac{6}{\pi}\text{ cm}, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

Esquema mostrando o cilindro circular reto com a faixa retangular desenrolada, cuja diagonal forma um ângulo de 30° com a borda inferior, e ao lado o cilindro totalmente envolvido pela faixa transparente, formando uma linha helicoidal com seis voltas completas.

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

A
36\sqrt{3}
B
24\sqrt{3}
C
4\sqrt{3}
D
36
E
72

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Ao desenrolar a faixa, a borda inferior do retângulo tem o comprimento de todas as voltas dadas ao redor da base, e a altura do retângulo é a altura do cilindro. A diagonal desenhada forma com a borda inferior um triângulo retângulo de ângulo 30^\circ.

Pela figura da hélice, a linha dá 6 voltas completas (contando as seis linhas escuras na lateral do cilindro).

Comprimento de uma volta: 2\pi r = 2\pi\cdot\frac{6}{\pi} = 12\ \text{cm}.
Comprimento da base do retângulo, com 6 voltas: 6\cdot 12 = 72\ \text{cm}.
No triângulo retângulo, a altura h é o cateto oposto ao ângulo de 30^\circ e a base é o cateto adjacente: \tg 30^\circ = \frac{h}{72}.
Como \tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}: h = 72\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} = 24\sqrt{3}\ \text{cm}.

Assim, a altura do cilindro é 24\sqrt{3} cm.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E traz 72, que é o comprimento da base do retângulo (6 voltas), não a altura; a C esquece de multiplicar pelas 6 voltas.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa uma base de 108 cm, ou seja, erra a conta do comprimento total das voltas.
CUsa apenas uma volta (12 cm) como base: 12\cdot\frac{\sqrt3}{3}=4\sqrt3.
DUsa o seno de 30^\circ (1/2) sobre 72 em vez da tangente.
EConfunde a altura com o comprimento da base do retângulo, 72 cm.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Cilindro.

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Questão 180 no caderno Azul do ENEM 2018

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