Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2018

Resolução comentada

a) O número é 14A8, então o último algarismo é 8 e os demais são 1, 4 e A. Para ser interessante, é preciso que

O número é 1428. Conferindo: 1\times4\times2=8.

Resposta: A=2.

b) Um número de quatro algarismos que termina em 6 tem a forma abc6. Ele é interessante quando a\times b\times c=6.

Como o produto é 6, nenhum dos três algarismos pode ser 0. Basta decompor 6 em três fatores de 1 a 9:

• \{1,1,6\}: o 6 pode ocupar 3 posições, o que dá 3 números (1166, 1616, 6116).
• \{1,2,3\}: são 3 algarismos distintos, o que dá 3!=6 números.

Não há outra decomposição: um fator 4, 5, 7, 8 ou 9 não divide 6, e \{1,1,6\} e \{1,2,3\} são as únicas ternas de fatores possíveis. O total é 3+6=9.

Resposta: 9 números.

c) Um número de cinco algarismos que termina em 0 tem a forma abcd0, com a\neq0. Ele é interessante quando a\times b\times c\times d=0, ou seja, quando pelo menos um dos algarismos a,b,c,d é zero. Como a\ne 0, pelo menos um entre b,c,d deve ser 0.

Usamos o complementar:

1. Escolhas para a: 9 (de 1 a 9).
2. Escolhas para b,c,d sem restrição: 10^3=1000.
3. Escolhas para b,c,d todos diferentes de zero: 9^3=729.
4. Escolhas para b,c,d com pelo menos um zero: 1000-729=271.

O total é 9\times 271=2439.

Resposta: 2439 números.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Sistemas de numeração.

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