Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

Na igualdade abaixo, a, b e c são números inteiros positivos. Qual é o valor de c?

\frac{10}{7} = a + \frac{1}{b + \frac{1}{c}}

A
2
B
3
C
4
D
5
E
7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Na igualdade abaixo, a, b e c são números inteiros positivos. Qual é o valor de c?

\frac{10}{7} = a + \frac{1}{b + \frac{1}{c}}

A
2
B
3
C
4
D
5
E
7

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

\frac{10}{7} = \frac{7 + 3}{7} = 1 + \frac{3}{7} = 1 + \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \frac{1}{\frac{6 + 1}{3}} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}

Logo, a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a expressão do enunciado.
Não há outra solução além de c = 3. Veja uma outra maneira de resolver a questão:
De acordo com o enunciado, a, b, c \ge 1. Como 1 < \frac{10}{7} < 2, segue que a = 1. De fato, se a \ge 2, deveríamos ter \frac{1}{b+\frac{1}{c}} < 0, o que não ocorre. Consequentemente, \frac{10}{7} = 1 + \frac{1}{b+\frac{1}{c}}. Basta encontrar b e c tais que \frac{3}{7} = \frac{1}{b+\frac{1}{c}} = \frac{c}{bc+1}.
A partir dessa igualdade de frações, concluímos que 7c = 3(bc + 1). Como 3 e 7 são números primos, segue que 3 divide c, bem como 7 divide (bc + 1). Portanto, existem dois números naturais positivos m e n satisfazendo c = 3m e (bc + 1) = 7n.
Assim, 7n c = (bc + 1)(3m) = 3(bc + 1)m = 7c m, o que garante que m = n. Logo, bc + 1 = b(3m) + 1 = 7n = 7m e, então, 1 = 7m - 3bm = m(7 - 3b). Consequentemente, m = 1, pois m divide 1 e é positivo. Segue que c = 3m = 3 e também que b = 2, pois 3b + 1 = 7.

Observação: Uma fração contínua finita simples é uma expressão da forma

a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \dots \cfrac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_n}}}}}

em que a_0 é um número inteiro e a_1, \dots, a_n são inteiros positivos.

Todo número racional pode ser expresso na forma de uma fração contínua simples, e toda fração contínua simples é um número racional. A representação como fração contínua não é única. Se a_n > 1, há apenas duas representações possíveis, porém de “comprimentos” diferentes; por exemplo:

\frac{10}{7} = 1 + \frac{1}{2+\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}}.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Trata-se de uma fração contínua. Vamos "descascá-la" por etapas.

Como b e c são positivos, \frac{1}{b+\frac{1}{c}} está entre 0 e 1. Logo a é a parte inteira de \frac{10}{7}\approx 1{,}43, ou seja, a=1.
Subtraindo:
\frac{10}{7}-1=\frac{3}{7}=\frac{1}{b+\frac{1}{c}}
Invertendo os dois lados:
b+\frac{1}{c}=\frac{7}{3}
Como \frac{1}{c} está entre 0 e 1 (com c\ge 2 para não dar inteiro), b é a parte inteira de \frac{7}{3}\approx 2{,}33, ou seja, b=2.
Então
\frac{1}{c}=\frac{7}{3}-2=\frac{1}{3}
e portanto c=3.

Verificação: 1+\frac{1}{2+\frac13}=1+\frac{1}{\frac73}=1+\frac37=\frac{10}{7}. ✓

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsse é o valor de b, não de c.
CNão resulta de nenhuma etapa correta; \frac{1}{4} não aparece na decomposição.
DValor sem relação com a decomposição de \frac{10}{7}.
EUsa o denominador 7 de \frac{10}{7} sem inverter corretamente \frac{3}{7}.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗