Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2018
Considere as funções f: \big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big] \to [-1,1] e g: [0,\pi] \to [-1,1] definidas por f(x) = sen\ x e g(x) = cos\ x. Sendo f e g bijetoras, existem funções f^{-1} e g^{-1} tais que f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = id e g^{-1} \circ g = g \circ g^{-1} = id, em que id é a função identidade.
a) Para 0 \le \alpha \le 1, mostre que (g \circ f^{-1})(\alpha) = \sqrt{1 - \alpha^2}.
b) Mostre que f^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) + g^{-1} \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\pi}{4}.
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Resolução comentada
a) Seja \theta = f^{-1}(\alpha). Pela definição de inversa, \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] e \sen\,\theta = f(\theta) = \alpha.
Como 0 \le \alpha \le 1, temos \sen\,\theta \ge 0, e então \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]. Nesse intervalo, \cos\,\theta \ge 0.
Pela relação fundamental, \cos^2\theta = 1 - \sen^2\theta = 1 - \alpha^2. Como \cos\,\theta \ge 0, tomamos a raiz positiva:
Fica demonstrado que (g \circ f^{-1})(\alpha) = \sqrt{1-\alpha^2}.
b) Calculamos cada parcela separadamente.
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f^{-1}\left(\frac12\right) é o único x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] com \sen\,x = \frac12. Esse valor é x = \frac{\pi}{6}.
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g^{-1}\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right) é o único y \in [0,\pi] com \cos\,y = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. Usando \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}:
Como \frac{\pi}{12} \in [0,\pi], concluímos que y = \frac{\pi}{12}.
Somando:
Fica demonstrado que a soma vale \frac{\pi}{4}.
Assuntos: funções trigonométricas inversas, função inversa, arcos notáveis e cosseno da diferença.
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