Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2018

Resolução comentada

a) Em qualquer reta com três círculos consecutivos, a soma é S. Logo, se a,b,c,d são quatro círculos consecutivos, a+b+c=b+c+d, ou seja, d=a. Em cada reta, os números se repetem de 3 em 3.

A 4ª linha é 3,\ y,\ 2,\ z. Como 3+y+2=S, temos y=S-5. Como y+2+z=S, temos z=3.

O círculo da 4ª linha com o número 3 (o 1º) está 3 posições abaixo do vermelho, na mesma diagonal. Os dois são o 1º e o 4º círculos de uma reta, então têm o mesmo valor.

O círculo vermelho vale 3.

b) Chame de t=S-5 e numere os círculos por (linha r, posição k). Usando a repetição de 3 em 3 nas três direções e os números dados (3, 2 e 2), o preenchimento fica determinado. O valor depende só do resto de r+k na divisão por 3:

• resto 0: t
• resto 1: 2
• resto 2: 3

A tabela fica:

1. Linha 1: 3
2. Linha 2: t,\ 2
3. Linha 3: 2,\ 3,\ t
4. Linha 4: 3,\ t,\ 2,\ 3
5. Linha 5: t,\ 2,\ 3,\ t,\ 2
6. Linha 6: 2,\ 3,\ t,\ 2,\ 3,\ t

Confere com os dados: o 1º e o 3º da linha 4 são 3 e 2, e o 1º da linha 6 é 2.

Em cada reta, três círculos consecutivos têm valores de r+k com três restos diferentes, então a soma é t+2+3=t+5=S. A tabela satisfaz a regra.

Contando os 21 círculos, há 7 com resto 0, 7 com resto 1 e 7 com resto 2. A soma total é

que é múltiplo de 7.

c) Pelo item anterior, a soma total é 7S=63, então S=9 e t=S-5=4.

O círculo azul é o último da linha 6, com r+k=12, resto 0. Ele vale t=4.

O círculo azul deve ser 4.

Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC.

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