PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2018
Sérgio inventou as operações matemáticas # e @ entre números inteiros, como abaixo:
- a\#b = a^2 + b^2
- a@b = (a + b)^2
Por exemplo, 1\#4 = 17 e 1@(-6) = 25 . Utilizando as operações criadas por Sérgio, responda às perguntas abaixo:
a) Qual é o valor de (2@3) - (2\#3) ?
b) Se (x - 5)\#(y - 6) = 0 , qual é o valor de x@y ?
c) Quantos são os pares ordenados (a,b) de números inteiros, tais que (a@b) - (a\#b) = 36 ?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Aplicando as definições: 2@3 = (2+3)^2 = 25 e 2\#3 = 2^2+3^2 = 4+9 = 13.
Logo, (2@3)-(2\#3) = 25-13 = 12.
12
b) Pela definição, (x-5)\#(y-6) = (x-5)^2+(y-6)^2 = 0.
A soma de dois quadrados de números reais só é zero se os dois forem zero. Então x-5=0 e y-6=0, ou seja, x=5 e y=6.
Assim, x@y = 5@6 = (5+6)^2 = 121.
121
c) Primeiro simplificamos a expressão para qualquer par (a,b):
A condição fica 2ab=36, isto é, ab=18.
Precisamos contar os pares de inteiros com produto 18. Os divisores positivos de 18 são 1,2,3,6,9,18, que são 6 divisores.
- Com a e b positivos, a pode ser qualquer um dos 6 divisores e b=18/a fica determinado: (1,18),(2,9),(3,6),(6,3),(9,2),(18,1). São 6 pares.
- Com a e b negativos o produto também é positivo, e vale a mesma contagem: (-1,-18),(-2,-9),(-3,-6),(-6,-3),(-9,-2),(-18,-1). São mais 6 pares.
- Sinais diferentes dariam produto negativo, então não servem. Também não há caso com a=0 ou b=0.
Total: 6+6=12 pares.
12 pares ordenados
Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗