Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2018

Question

Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P \notin C. Diz-se que “P enxerga C sob um ângulo \alpha" se \alpha for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo \alpha indicado.

Ponto P com duas semirretas tangenciando os cantos de uma região quadrada C, formando um ângulo alfa com vértice em P.

a) Se C for um círculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60^\circ.

b) Se C for a união dos segmentos OA e OB, em que O = (0,0), A = (a,0) e B = (0,b), com a, b > 0, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 90^\circ.

Answer 1

Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2018

3º dia · Matemática

Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P \notin C. Diz-se que “P enxerga C sob um ângulo \alpha" se \alpha for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo \alpha indicado.

Ponto P com duas semirretas tangenciando os cantos de uma região quadrada C, formando um ângulo alfa com vértice em P.

a) Se C for um círculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60^\circ.

b) Se C for a união dos segmentos OA e OB, em que O = (0,0), A = (a,0) e B = (0,b), com a, b > 0, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 90^\circ.

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Resolução comentada

a) Se P está a uma distância d do centro O do círculo, as duas semirretas que saem de P e tangenciam o círculo formam o menor ângulo que o contém. A bissetriz desse ângulo é a reta PO. Cada tangente forma com PO um ângulo \theta = \alpha/2, e o triângulo retângulo formado por P, O e o ponto de tangência dá:

\sen\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{d}

Para \alpha=60^\circ, temos \sen 30^\circ=\tfrac12, logo d=2r.

O lugar geométrico é a circunferência de centro na origem e raio 2r:

x^2+y^2=4r^2

Resposta: circunferência x^2+y^2=4r^2.

b) O menor ângulo com vértice em P que contém C é o mesmo que contém o triângulo OAB. Para P fora do triângulo, ele é o maior dos ângulos \widehat{APB}, \widehat{APO} e \widehat{BPO}. Queremos que esse maior ângulo seja 90^\circ.

Usamos o produto escalar: \widehat{XPY} é agudo, reto ou obtuso conforme (X-P)\cdot(Y-P) seja >0, =0 ou <0. Para P=(x,y):

(A-P)\cdot(B-P)=x^2+y^2-ax-by
(A-P)\cdot(O-P)=x^2+y^2-ax
(B-P)\cdot(O-P)=x^2+y^2-by

\widehat{APB}=90^\circ e os outros dois \le 90^\circ. P está na circunferência de diâmetro AB: x^2+y^2-ax-by=0. Nela, x^2+y^2-ax=by e x^2+y^2-by=ax. Precisamos de by\ge0 e ax\ge0, ou seja, x\ge0 e y\ge0. Sobra o arco AB que não contém O, sem as extremidades.
\widehat{APO}=90^\circ e os outros dois \le 90^\circ. P está na circunferência de diâmetro OA: x^2+y^2=ax. Então (A-P)\cdot(B-P)=-by, e precisamos de -by\ge 0, ou seja, y\le0. O terceiro produto vale ax-by\ge0, o que é automático. Sobra a semicircunferência inferior (y<0), sem O e A.
\widehat{BPO}=90^\circ e os outros dois \le 90^\circ. Por simetria, P está na circunferência de diâmetro OB, com x<0: a semicircunferência da esquerda, sem O e B.

Os pontos O, A, B pertencem a C e ficam excluídos. Os pontos dentro do triângulo também não servem: eles não são vistos sob ângulo menor que 180^\circ.

O lugar geométrico é a união de três arcos:

(x-\tfrac a2)^2+(y-\tfrac b2)^2=\tfrac{a^2+b^2}{4}, com x>0 e y>0;
(x-\tfrac a2)^2+y^2=\tfrac{a^2}{4}, com y<0;
x^2+(y-\tfrac b2)^2=\tfrac{b^2}{4}, com x<0.

Resposta: a união desses três arcos.

Assuntos: lugar geométrico, circunferência, geometria analítica.

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