Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2018

Question

O triângulo retângulo ABC tem catetos de medidas AB = 10 e AC = 10. O ponto P sobre o lado AB está a uma distância x de A. O ponto Q sobre o lado AC é tal que PQ é paralelo a BC. Os pontos R e S sobre BC são tais que QR é paralelo a AB e PS é paralelo a AC. A união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ determina uma região cinza de área f(x) no interior do triângulo ABC.

a) Calcule f(2).

Triângulo retângulo ABC com catetos AB e AC, onde P está sobre AB a uma distância x = 2 de A, e a região sombreada representa a união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ.

b) Calcule f(8).

Triângulo retângulo ABC com catetos AB e AC, onde P está sobre AB a uma distância x = 8 de A, e a região sombreada representa a união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ.

c) Encontre a expressão de f(x) para 0 \le x \le 10.

d) Para qual valor de x a área f(x) é máxima?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

O triângulo retângulo ABC tem catetos de medidas AB = 10 e AC = 10. O ponto P sobre o lado AB está a uma distância x de A. O ponto Q sobre o lado AC é tal que PQ é paralelo a BC. Os pontos R e S sobre BC são tais que QR é paralelo a AB e PS é paralelo a AC. A união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ determina uma região cinza de área f(x) no interior do triângulo ABC.

a) Calcule f(2).

Triângulo retângulo ABC com catetos AB e AC, onde P está sobre AB a uma distância x = 2 de A, e a região sombreada representa a união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ.

b) Calcule f(8).

Triângulo retângulo ABC com catetos AB e AC, onde P está sobre AB a uma distância x = 8 de A, e a região sombreada representa a união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ.

c) Encontre a expressão de f(x) para 0 \le x \le 10.

d) Para qual valor de x a área f(x) é máxima?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Denotemos por T a intersecção das retas QR e PS. Para calcular f(2) basta subtrair da área do triângulo ABC as áreas dos triângulos APQ e TRS. Logo,

f(2) = \frac{10 \times 10}{2} - \frac{2 \times 2}{2} - \frac{6 \times 6}{2} = 30.

b) Para calcular f(8) basta subtrair a área do triângulo APQ da área do triângulo ABC:

f(8) = 50 - \frac{8 \times 8}{2} = 18

c) No caso geral, a expressão de f(x) para x \le 5 usa a mesma ideia que a utilizada no item a):

f(x) = 50 - \frac{x^2}{2} - \frac{(10 - 2x)^2}{2} = -\frac{5x^2}{2} + 20x

e a expressão de f(x) para x \ge 5 usa a mesma ideia que a utilizada no item b):

f(x) = 50 - \frac{x^2}{2}

As expressões de f(x) obtidas acima coincidem quando x = 5. O gráfico de f(x) para 0 \le x \le 10 é a união de dois arcos de diferentes parábolas que emendam perfeitamente em x = 5.

O ponto de máximo de f(x) ocorre quando x = 4, que é a abscissa do vértice do primeiro trecho de parábola que compõe a função f(x).
Assim, a área é máxima quando x = 4.

[Figura: Gráfico de f(x) para 0 \le x \le 10 no plano cartesiano]

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Resolução comentada

a) Coloque A=(0,0), B=(10,0) e C=(0,10). Como PQ\parallel BC, o triângulo APQ é isósceles, então P=(x,0) e Q=(0,x). Como QR\parallel AB e PS\parallel AC, temos R=(10-x,\,x) e S=(x,\,10-x).

Cada paralelogramo tem base 10-x (por exemplo PB ou QC) e altura x, logo área x(10-x).

A região cinza é a união dos dois, então precisamos descontar a interseção. Ela está no quadrado [0,x]\times[0,x], ao lado de A, e fica acima da reta PQ (isto é, X+Y\ge x). Para x\le 5, o quadrado inteiro está abaixo da reta BC, então a interseção é metade do quadrado: \dfrac{x^2}{2}.

Para x=2:

f(2)=2\cdot 2\cdot 8-\frac{2^2}{2}=32-2=30.

f(2) = 30

b) Para x=8, a união dos paralelogramos é exatamente a faixa entre PQ e BC. Essa faixa é o triângulo ABC menos o triângulo APQ:

f(8)=\frac{10\cdot10}{2}-\frac{8\cdot 8}{2}=50-32=18.

Conferindo pela soma: 2\cdot 8\cdot 2=32 menos a interseção \frac{8^2}{2}-\frac{(2\cdot8-10)^2}{2}=32-18=14, o que dá 32-14=18. ✓

f(8) = 18

c) Há dois casos.

Se 0\le x\le 5: f(x)=2x(10-x)-\dfrac{x^2}{2}=20x-\dfrac{5x^2}{2}.
Se 5\le x\le 10: a união é a faixa entre PQ e BC, e f(x)=50-\dfrac{x^2}{2}.

Nesse segundo caso, a interseção perde o canto que passa de BC, um triângulo de catetos 2x-10. Substituindo, 20x-2x^2-\frac{x^2}{2}+\frac{(2x-10)^2}{2}=50-\frac{x^2}{2}.

As duas expressões coincidem em x=5: ambas valem 37{,}5.

f(x)=20x-\dfrac{5x^2}{2} para 0\le x\le5; f(x)=50-\dfrac{x^2}{2} para 5\le x\le10

d) Para x\ge5, f(x)=50-\frac{x^2}{2} é decrescente, então o máximo nesse trecho é f(5)=37{,}5.

Para x\le5, f(x)=-\frac52x^2+20x é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em

x=\frac{-20}{2\cdot(-5/2)}=4,

com f(4)=80-40=40>37{,}5.

O máximo ocorre em x=4 (com f(4)=40).

Assuntos: Função quadrática, Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗