Questões de Matemática da 2ª fase da UNICAMP

Heloísa está brincando com uma urna que contém dez bolinhas, sendo três azuis, três verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica x_0, x_1, x_2, \text{...} de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência é x_0 = 1.

Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é conhecida como função logística. Originalmente utilizada para modelar problemas envolvendo crescimento populacional, atualmente tem muitas outras aplicações em ecologia, biomatemática, sociologia e ciências políticas.

Segundo a Revista Fapesp de maio de 2021, a média trienal de publicações científicas com pelo menos um autor sediado no Brasil passou de 18 mil em 2003-2005 para 64 mil em 2018-2020.

Seja a um número real e considere o polinômio f(x) = x^3 + (a + 1)x^2 + (a + 2)x + 2, que tem x = -1 como uma de suas raízes.

Uma escola com 960 alunos decidiu renovar seu mobiliário. Para decidir quantas cadeiras de canhotos será necessário comprar, fez-se um levantamento do número de alunos canhotos em cada turma. A tabela abaixo indica, na segunda linha, o número de turmas com o total de canhotos indicado na primeira linha.

Considere um número real t \in [0,2\pi) e defina a matriz

Sejam a, b números reais positivos. Considere a sequência de polígonos P_1, P_2, \cdots, P_n, \cdots construídos da seguinte forma:

Em 2019, diversas praias brasileiras foram atingidas por manchas de óleo. Pesquisadores concentraram esforços na tentativa de localizar o ponto provável da emissão do óleo. Na figura abaixo, a origem do plano cartesiano está localizada no Distrito Federal e cada unidade equivale a 1.000 km.

Seja f(x) = x^3 - 2x + 1 uma função polinomial real. A reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (a, f(a)) é definida pela equação y = mx + f(a) - ma, onde m = 3a^2 - 2.

Dois tipos de exames para a detecção de certo vírus foram aplicados em um grupo de 80 pacientes, dos quais, com certeza, 60 são portadores desse vírus e 20 não são. Os resultados dos exames estão organizados nas tabelas abaixo.

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento a = 5\text{ cm} e um dos ângulos internos igual a \theta, em que \cos \theta = 3/5.

Seja a matriz de ordem 2 \times 3, dada por A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.

A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, o gráfico de y = \sqrt{x} para x \ge 0, em que os pontos A e B têm abscissas x_A = a > 0 e x_B = b > a, e O é a origem do sistema de coordenadas.

Seja a função f(x) = \frac{2 + \sen x}{2 + \cos x}, definida para todo número real x.

A figura abaixo exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos a, b e c.

A eficiência de um veículo pode ser avaliada pela quantidade de quilômetros que ele é capaz de percorrer com um litro de combustível. Tal eficiência depende de vários fatores, entre eles a velocidade adotada. O gráfico abaixo exibe o número de quilômetros percorridos por litro de combustível, para um determinado veículo, em função da velocidade.

A figura abaixo representa um dado na forma de um tetraedro regular com os vértices numerados de 1 a 4. Em um lançamento desse dado, deve ser observado o número estampado no vértice superior.

número real x.

e B = (3,2).

a) Determine todos os valores de a e b para os quais A^T A = AA^T, em que A^T é a transposta da matriz A.