A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, o gráfico de para x0 , em que os pontos A e B têm abscissas e , e O é a origem do sistema de coordenadas. a) Prove que os pontos A , B e são colineares. b) Para , determine o valor de a para o qual a distância da origem ao ponto A é igual à distância do ponto A ao ponto B .

Questão 8 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2020

2º dia · Matemática

A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, o gráfico de y = \sqrt{x} para x \ge 0, em que os pontos A e B têm abscissas x_A = a > 0 e x_B = b > a, e O é a origem do sistema de coordenadas.

Gráfico no primeiro quadrante do plano cartesiano com a curva da função y = raiz de x partindo da origem O. Na curva estão marcados o ponto A, com projeção tracejada no eixo x no ponto a, e o ponto B, com projeção tracejada no eixo x no ponto b.

a) Prove que os pontos A, B e C = (-\sqrt{ab}, 0) são colineares.

b) Para b = 3, determine o valor de a para o qual a distância da origem ao ponto A é igual à distância do ponto A ao ponto B.

Reportar erro na questão

Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a)
Como os pontos A e B pertencem ao gráfico de y = \sqrt{x}, eles têm coordenadas A = (a, \sqrt{a}) e B = (b, \sqrt{b}). Para provar que os pontos A, B e C são colineares basta verificar que o determinante da matriz \begin{bmatrix} a & \sqrt{a} & 1 \\ b & \sqrt{b} & 1 \\ -\sqrt{ab} & 0 & 1 \end{bmatrix} é nulo. Assim,

\begin{vmatrix} a & \sqrt{a} & 1 \\ b & \sqrt{b} & 1 \\ -\sqrt{ab} & 0 & 1 \end{vmatrix} = a\sqrt{b} - \sqrt{a}\sqrt{ab} + 0 + \sqrt{b}\sqrt{ab} - b\sqrt{a} - 0 =

a\sqrt{b} - \sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{a}\sqrt{b} - b\sqrt{a} = a\sqrt{b} - a\sqrt{b} + b\sqrt{a} - b\sqrt{a} = 0.

b)
A distância da origem O = (0,0) ao ponto A = (a, \sqrt{a}) é igual a

d_{OA} = \sqrt{(0 - a)^2 + (0 - \sqrt{a})^2} = \sqrt{a^2 + a}

e a distância do ponto A = (a, \sqrt{a}) ao ponto B = (b, \sqrt{b}) = (3, \sqrt{3}) é igual a

d_{AB} = \sqrt{(a - 3)^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{3})^2}.

Assim, se d_{OA} = d_{AB}, temos também que (d_{OA})^2 = (d_{AB})^2 e, portanto, a^2 + a = (a - 3)^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{3})^2.

a^2 + a = a^2 - 6a + 9 + a - 2\sqrt{a}\sqrt{3} + 3,

6a + 2\sqrt{3a} - 12 = 0. Dividindo essa equação por 2 e definindo c = \sqrt{3a}, obtemos uma equação quadrática na variável c, c^2 + c - 6 = 0. Logo, c = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-6)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}. Como c > 0, temos que c = \frac{-1 + 5}{2} = 2. Portanto, 2 = \sqrt{3a}, ou seja, a = 4/3.

Ver como a Comvest publicou

Publicada pela banca.

Ver como caiu na prova

Questão 8 no caderno CB da 2ª fase da UNICAMP 2020

Nos cadernos: CE 8CB 8CH 8