Seja a um número real e considere o polinômio , que tem como uma de suas raízes. a) Determine todos os valores de a tais que é a única raiz real. b) Determine todos os valores de a tais que as soluções de sejam números inteiros.

Questão 9 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2022

2º dia · Matemática

Seja a um número real e considere o polinômio f(x) = x^3 + (a + 1)x^2 + (a + 2)x + 2, que tem x = -1 como uma de suas raízes.

a) Determine todos os valores de a tais que x = -1 é a única raiz real.

b) Determine todos os valores de a tais que as soluções de f(x) = 0 sejam números inteiros.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a)
O enunciado nos diz que x = -1 é uma raiz. Isso significa que o polinômio é divisível por x - 1. Efetuando essa divisão, obtemos

x^3 + (a + 1)x^2 + (a + 2)x + 2 = (x + 1) \cdot (x^2 + ax + 2).

Seja q(x) = x^2 + ax + 2. Caso q(x) não tenha raízes reais, então x = -1 será a única raiz real de f(x). A condição para que x = -1 seja a única raiz real de f(x) é que o discriminante \Delta de q(x) seja menor ou igual a zero.

Como \Delta = a^2 - 8, segue que \Delta < 0 se, e só se, -2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}, e essa é a condição sobre a para que x = -1 seja a única raiz real.

b)
Das relações de Girard, temos que se x_1, x_2, x_3 são as soluções de

x^3 + (a + 1)x^2 + (a + 2)x + 2 = 0,

então x_1 x_2 x_3 = -2. Como uma das raízes já é x_1 = -1, ficamos com

x_2 x_3 = 2.

Queremos que x_2, x_3 sejam inteiros cujo produto é 2: assim, temos as possibilidades:

x_2 = 1, x_3 = 2 \text{ ou } x_2 = -1, x_3 = -2.

Outra relação de Girard nos diz que a soma das raízes é igual a -a - 1. Assim, como as raízes são -1,1,2 ou -1,-1,-2, temos duas possibilidades: 2 = -a - 1 ou -4 = -a - 1, o que nos dá a = -3 ou a = 3.

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Questão 9 no caderno CB da 2ª fase da UNICAMP 2022

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