Questão 8 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2021

Sejam a, b números reais positivos. Considere a sequência de polígonos P_1, P_2, \cdots, P_n, \cdots construídos da seguinte forma:

• P_1 é um retângulo de lados a e b, como mostra a figura 1;
• P_2 é obtido de P_1, retirando dele um retângulo de lados medindo a/2 e b/2, como mostra a figura 2;
• P_3 é obtido de P_1, retirando dele 3 retângulos de lados medindo a/3 e b/3, como mostra a figura 3;
• P_4 é obtido de P_1, retirando dele 6 retângulos de lados medindo a/4 e b/4, como mostra a figura 4;
• E assim, sucessivamente, P_n é obtido de P_1, como mostra a figura 5.

a) Determine o perímetro e o número de lados de P_{2021}.

b) Seja A_n a área do polígono P_n, e seja A a área do triângulo retângulo de catetos com medidas a e b. Encontre a razão R_n = \frac{A_n}{A}, para n arbitrário.