Questão 9 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2021

Question

Em 2019, diversas praias brasileiras foram atingidas por manchas de óleo. Pesquisadores concentraram esforços na tentativa de localizar o ponto provável da emissão do óleo. Na figura abaixo, a origem do plano cartesiano está localizada no Distrito Federal e cada unidade equivale a 1.000 km.

Plano cartesiano com eixos x e y sobreposto ao mapa do litoral do Brasil e Oceano Atlântico, indicando os pontos F em (8, 14) e G em (8, -4) na costa, e um polígono hachurado no oceano com vértices A em (16, 9), B em (19, 5), C em (24, 9), D em (24, 15) e E em (19, h).

a) Numa primeira investigação sobre a origem do óleo, um navio fez uma sondagem numa área poligonal de 63.000.000\text{ km}^2, com vértices A, B, C, D e E, conforme indica a figura acima. Calcule o valor da ordenada h do ponto E = (19, h).

b) Após a investigação dos resíduos encontrados nas praias indicadas pelos pontos F e G, descobriu-se que a fonte provável do óleo encontrava-se no Oceano Atlântico, a uma distância de 12.000 km do ponto F e 18.000 km do ponto G. Encontre as coordenadas (x, y) da provável fonte do óleo.

Answer 1

Questão 9 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2021

2º dia · Matemática

Em 2019, diversas praias brasileiras foram atingidas por manchas de óleo. Pesquisadores concentraram esforços na tentativa de localizar o ponto provável da emissão do óleo. Na figura abaixo, a origem do plano cartesiano está localizada no Distrito Federal e cada unidade equivale a 1.000 km.

Plano cartesiano com eixos x e y sobreposto ao mapa do litoral do Brasil e Oceano Atlântico, indicando os pontos F em (8, 14) e G em (8, -4) na costa, e um polígono hachurado no oceano com vértices A em (16, 9), B em (19, 5), C em (24, 9), D em (24, 15) e E em (19, h).

a) Numa primeira investigação sobre a origem do óleo, um navio fez uma sondagem numa área poligonal de 63.000.000\text{ km}^2, com vértices A, B, C, D e E, conforme indica a figura acima. Calcule o valor da ordenada h do ponto E = (19, h).

b) Após a investigação dos resíduos encontrados nas praias indicadas pelos pontos F e G, descobriu-se que a fonte provável do óleo encontrava-se no Oceano Atlântico, a uma distância de 12.000 km do ponto F e 18.000 km do ponto G. Encontre as coordenadas (x, y) da provável fonte do óleo.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a)
Para calcularmos o valor da ordenada h do ponto E, podemos decompor a figura em um trapézio de vértices BCDE e em um triângulo de vértices ABE.

Neste caso, a área do triângulo é igual a A_{ABE} = 3(h - 5)/2 e a área do trapézio é A_{BCDE} = (h + 1) \times 5/2. Portanto,

\frac{3(h - 5)}{2} + \frac{5(h + 1)}{2} = 63,

o que nos dá h = 17.

b)
O enunciado nos diz que o ponto (x,y) dista 12.000 km do ponto A = (8,14) e 18.000 km do ponto B = (8,-4). Portanto, o ponto (x,y) satisfaz às equações

(x - 8)^2 + (y - 14)^2 = 12^2, \qquad (x - 8)^2 + (y + 4)^2 = 18^2.

Desenvolvendo as equações, temos

x^2 - 16x + y^2 - 28y = -116, \qquad x^2 - 16x + y^2 + 8y = 244.

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos -36y = -360; portanto, y = 10. Substituindo este valor em qualquer uma das equações (usaremos a equação que dá a distância até o ponto B), temos que

x^2 - 16x - 64 = 0.

Resolvendo esta equação e descartando a solução que corresponde a um ponto no continente, obtemos a resposta (x,y) = (8 + 8\sqrt{2}, 10).

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada unidade do plano vale 1.000 km, então 1 unidade² equivale a 10^6\ \text{km}^2. Logo, 63.000.000\ \text{km}^2 corresponde a 63 unidades de área.

Divido o polígono em duas partes: o triângulo ABC e o quadrilátero ACDE.

Triângulo ABC: a base AC é horizontal, com AC = 24-16 = 8. A altura é 9-5=4. A área é \frac{8\cdot 4}{2}=16.
Quadrilátero ACDE, com A(16,9), C(24,9), D(24,15), E(19,h). Pela fórmula do cálculo de área por coordenadas (vértices em ordem anti-horária):

2S = (16\cdot 9 - 24\cdot 9)+(24\cdot 15-24\cdot 9)+(24h-19\cdot 15)+(19\cdot 9-16h)

2S = -72+144+(24h-285)+(171-16h) = 8h-42

Assim, S = 4h-21.

A área total é 16 + 4h - 21 = 4h-5. Igualando a 63:

4h-5=63 \Rightarrow h=17

O valor é coerente com a figura, pois E fica acima de D, que tem ordenada 15.

h = 17

b) Sejam P=(x,y) a fonte, F=(8,14) e G=(8,-4). Em unidades de 1.000 km, PF=12 e PG=18:

(x-8)^2+(y-14)^2=144
(x-8)^2+(y+4)^2=324

Subtraindo (1) de (2), o termo em x some:

(y+4)^2-(y-14)^2 = 180 \Rightarrow 36y-180=180 \Rightarrow y=10

Substituindo em (1): (x-8)^2+16=144, ou seja, (x-8)^2=128, e então x-8=\pm 8\sqrt2.

A fonte está no Oceano Atlântico, a leste da reta x=8, então tomamos o sinal positivo: x = 8+8\sqrt2 \approx 19{,}3.

Conferindo em (2): 128 + 14^2 = 128+196 = 324 ✓.

(x,y) = (8+8\sqrt{2},\ 10)

Assuntos: geometria analítica, área de polígonos, distância entre pontos.

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Questão 9 no caderno CB da 2ª fase da UNICAMP 2021

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